LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

/50

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)
అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:
ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.
సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.
స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.
ఆటోమేటిక్ సబ్మిషన్: 50 నిమిషాల సమయం ముగియగానే, మీరు సబ్మిట్ చేయకపోయినా మీ సమాధానాలు ఆటోమేటిక్‌గా సేవ్ చేయబడతాయి.
నావిగేషన్:
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్లడానికి 'Next' బటన్ నొక్కండి.
మునుపటి ప్రశ్నకు వెళ్లి సమాధానం మార్చుకోవడానికి 'Previous' బటన్ ఉపయోగించవచ్చు.
సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న **'Complaint Box'**లో తెలియజేయవచ్చు.

ఫలితాలు & : * పరీక్ష పూర్తయిన వెంటనే మీ మార్కులు (Marks) స్క్రీన్ పై కనిపిస్తాయి.

గమనిక: పరీక్ష మధ్యలో పేజీని 'Refresh' చేయకండి.
ఈ పరీక్షలపై అభిప్రాయాలను తప్పకుండా తెలియచేయండి. మా వెబ్సైటు subscribe చేసుకోండి.ప్రతి పరీక్ష upload చేసిన వెంటనే మీకు నోటిఫికేషన్ వస్తుంది. ఆల్ ది బెస్ట్ & press START
LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

1 / 50
1. జతపరచండి: HCF మరియు LCM – రెండు సంఖ్యలు కనుగొనడం
Column A: 1. HCF=4, LCM=48, ఒక సంఖ్య=12; రెండవది=? 2. HCF=6, LCM=72, ఒక సంఖ్య=18; రెండవది=? 3. HCF=5, LCM=100, ఒక సంఖ్య=25; రెండవది=? 4. HCF=3, LCM=90, ఒక సంఖ్య=9; రెండవది=?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
Match: Finding Numbers from HCF and LCM
Column A: 1. HCF=4,LCM=48,one=12; other? 2. HCF=6,LCM=72,one=18; other? 3. HCF=5,LCM=100,one=25; other? 4. HCF=3,LCM=90,one=9; other?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
A. B) 1-iii, 2-iv, 3-ii, 4-i
B. D) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
C. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
D. C) 1-ii, 2-iii, 3-i, 4-iv

Other number = HCF×LCM / known number. 4×48/12=16. 6×72/18=24. 5×100/25=20. 3×90/9=30.
రెండవ సంఖ్య = HCF×LCM / తెలిసిన సంఖ్య. 48×4/12=16. 72×6/18=24. 100×5/25=20. 90×3/9=30.

2 / 50
2. రెండు అభాజ్య సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి ఎన్ని రెట్లు?
LCM of two different prime numbers is how many times their GCD?
A. p-q
B. p+q
C. p×q రెట్లు
D. 1

Two different primes p and q:
GCD(p,q) = 1 (they are co-prime)
LCM(p,q) = p × q
Ratio = LCM/GCD = pq/1 = pq
తెలుగు: రెండు వేర్వేరు అభాజ్య సంఖ్యల GCD = 1.
LCM = వాటి లబ్ధం = pq.
LCM/GCD = pq ÷ 1 = pq రెట్లు.

3 / 50
3. 8 మరియు 20 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8 and 20?
A. 20
B. 32
C. 40
D. 24

8 = 2³ | 20 = 2² × 5 → LCM = 2³ × 5 = 40
తెలుగు: 2 యొక్క అత్యధిక శక్తి → 2³, 5 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 8 × 5 = 40.
Check: 40 ÷ 8 = 5 ✓ | 40 ÷ 20 = 2 ✓

4 / 50
4. a, b, c లు పరస్పర co-prime అయితే LCM(ab, bc, ca) ఎంత?
If a, b, c are pairwise co-prime, what is LCM(ab, bc, ca)?
A. a+b+c
B. ab
C. a²b²c²
D. abc

Since a,b,c are pairwise co-prime, each prime appears in at most one of them.
ab contains primes of a and b
bc contains primes of b and c
ca contains primes of c and a
LCM = all primes together = abc
తెలుగు: a,b,c పరస్పర co-prime కాబట్టి వాటి prime factors వేర్వేరు.
ab, bc, ca మూడింటిలో కలిసిన prime factors = a, b, c అన్నీ.
LCM = abc.
ఉదా: a=2,b=3,c=5 → LCM(6,15,10) = 30 = 2×3×5 ✓

5 / 50
5. 252 మరియు 360 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 252 and 360?
A. 2160
B. 1260
C. 2520
D. 1680

252 = 2² × 3² × 7 | 360 = 2³ × 3² × 5
LCM = 2³ × 3² × 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520
తెలుగు: రెండింటిలో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోండి.
2→2³, 3→3², 5→5¹, 7→7¹ → LCM = 2520.
Check: 2520÷252=10 ✓ | 2520÷360=7 ✓

6 / 50
6. జతపరచండి: భాగింత సంఖ్యల నమూనాలు
Column A: 1. 4,6 రెండింటిచే భాగింపబడే అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య 2. 7,11 లకు HCF 3. 12,15,20 లకు LCM 4. 17,19 కి HCF
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
Match: Divisibility Patterns
Column A: 1. Smallest 3-digit divisible by 4,6 2. HCF(7,11) 3. LCM(12,15,20) 4. HCF(17,19)
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
A. B) 1-iv, 2-ii, 3-i, 4-iii
B. A) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
C. C) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
D. D) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv

LCM(4,6)=12; smallest 3-digit=108. HCF(7,11)=1 (co-primes). LCM(12,15,20)=60. HCF(17,19)=1 (both primes).
LCM(4,6)=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. 7,11 సహ-అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1. LCM(12,15,20)=60. 17,19 అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1.

7 / 50
7. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2:3, LCM 36. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 2:3 and LCM=36. What are the numbers?
A. 12 మరియు 18
B. 10 మరియు 15
C. 8 మరియు 12
D. 6 మరియు 9

Numbers = 2k and 3k → LCM(2k, 3k) = 6k (since GCD(2,3)=1)
6k = 36 → k = 6 → Numbers = 12 and 18
తెలుగు: 2:3 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 2k మరియు 3k.
LCM = 6k = 36 → k = 6 → సంఖ్యలు 12 మరియు 18.
Check: LCM(12,18) = 36 ✓ | Ratio = 12:18 = 2:3 ✓

8 / 50
8. LCM × GCD = రెండు సంఖ్యల ____
LCM × GCD = ____ of the two numbers
A. మొత్తం
B. భాగఫలం
C. లబ్ధం
D. భేదం

Key Formula: LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b
Example: LCM(4,6)=12, GCD(4,6)=2 → 12×2=24 = 4×6 ✓
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల LCM మరియు GCD లబ్ధం = ఆ సంఖ్యల లబ్ధం.
ఇది చాలా ముఖ్యమైన సూత్రం — exam లో తరచుగా వస్తుంది!

9 / 50
9. జతపరచండి: LCM మరియు HCF విలువలు
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
Match: LCM and HCF Values
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
A. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
B. D) 1-ii, 2-i, 3-iv, 4-iii
C. C) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i
D. B) 1-iii, 2-iv, 3-i, 4-ii

HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24.
HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24. కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

10 / 50
10. 12 మరియు 18 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 12 and 18?
A. 36
B. 72
C. 18
D. 24

LCM = Least Common Multiple → Smallest number divisible by both.
12 = 2² × 3 | 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
తెలుగు: LCM అంటే రెండు సంఖ్యలూ నిక్షేపంగా భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య.
12 మరియు 18 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 36.

11 / 50
11. p అభాజ్య సంఖ్య. GCD(p, n) యొక్క సాధ్యమైన విలువలు ఏవి?
p is prime. What are the possible values of GCD(p, n)?
A. 1 మాత్రమే
B. 1, p, లేదా p²
C. p మాత్రమే
D. 1 లేదా p

p is prime, so its only divisors are 1 and p.
Case 1: p divides n → GCD(p,n) = p
Case 2: p does not divide n → GCD(p,n) = 1
Therefore GCD(p,n) is either 1 or p.
తెలుగు: అభాజ్య సంఖ్య p యొక్క కారణాంకాలు 1 మరియు p మాత్రమే.
n, p యొక్క గుణిజం అయితే GCD = p.
కాకపోతే GCD = 1.
GCD(p,n) ∈ {1, p} మాత్రమే.

12 / 50
12. 8 మరియు 12 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 8 and 12?
A. 6
B. 4
C. 2
D. 8

GCD = Greatest Common Divisor → Largest number that divides both.
8 = 2³ | 12 = 2² × 3 → GCD = 2² = 4
తెలుగు: GCD అంటే రెండు సంఖ్యలను భాగించగలిగే అతి పెద్ద సంఖ్య.
8 మరియు 12 రెండింటినీ భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య 4.

13 / 50
13. రెండు సంఖ్యల LCM 48, GCD 8. ఒక సంఖ్య 16 అయితే రెండవ సంఖ్య ఎంత?
LCM=48, GCD=8, one number=16. Find the second number.
A. 24
B. 48
C. 32
D. 12

Formula: a × b = LCM × GCD
16 × b = 48 × 8 = 384 → b = 384 ÷ 16 = 24
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = LCM × GCD.
16 × ? = 48 × 8 = 384 → రెండవ సంఖ్య = 24.
Check: LCM(16,24)=48 ✓ | GCD(16,24)=8 ✓

14 / 50
14. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 10 రెట్లు. GCD = 8 అయితే LCM ఎంత?
LCM is 10 times the GCD. GCD=8. Find LCM.
A. 8
B. 800
C. 18
D. 80

Given: LCM = 10 × GCD
LCM = 10 × 8 = 80
తెలుగు: LCM = 10 × GCD అని చెప్పారు.
GCD = 8 అయితే LCM = 10 × 8 = 80.
Note: LCM ఎల్లప్పుడూ GCD యొక్క గుణిజం అవుతుంది.

15 / 50
15. 30 మరియు 45 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 30 and 45?
A. 10
B. 3
C. 5
D. 15

30 = 2 × 3 × 5 | 45 = 3² × 5 → GCD = 3¹ × 5¹ = 15
తెలుగు: రెండింటిలో 3 మరియు 5 ఉమ్మడి prime లు.
కనిష్ట శక్తులు → 3¹ × 5¹ = 15.
Check: 30 ÷ 15 = 2 ✓ | 45 ÷ 15 = 3 ✓

16 / 50
16. 9 మరియు 27 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 9 and 27?
A. 27
B. 6
C. 3
D. 9

9 = 3² | 27 = 3³ → GCD = 3² = 9
When one number divides the other → GCD = the smaller number.
తెలుగు: 27 = 9 × 3, అంటే 9 అనేది 27 ని భాగిస్తుంది.
కాబట్టి GCD = చిన్న సంఖ్య = 9.

17 / 50
17. 5 మరియు 8 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 5 and 8?
A. 13
B. 40
C. 80
D. 20

5 = 5¹ | 8 = 2³ → No common prime → co-prime
LCM = 5 × 8 = 40
తెలుగు: 5 మరియు 8 మధ్య ఉమ్మడి prime కారణాంకం లేదు.
Co-prime సంఖ్యల LCM = వాటి లబ్ధం = 40.
Check: 40 ÷ 5 = 8 ✓ | 40 ÷ 8 = 5 ✓

18 / 50
18. A ప్రతి 12 నిమిషాలకు, B ప్రతి 18 నిమిషాలకు ఒక తోటను చుట్టి వస్తారు. ఒకే చోటు నుండి start చేస్తే ఎన్ని నిమిషాలకు కలుస్తారు?
A takes 12 min, B takes 18 min for one round. When do they meet at start?
A. 36 నిమిషాలు
B. 18 నిమిషాలు
C. 24 నిమిషాలు
D. 30 నిమిషాలు

They meet at starting point after LCM(12, 18) minutes.
LCM(12,18) = 2² × 3² = 36 minutes
తెలుగు: ఇద్దరూ మళ్ళీ ఒకే చోటికి వచ్చే సమయం = LCM.
A 36 నిమిషాల్లో 3 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷12=3 ✓).
B 36 నిమిషాల్లో 2 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷18=2 ✓).

19 / 50
19. GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1) ఎంత? (Formula: GCD(2^m-1, 2^n-1) = 2^GCD(m,n)-1)
Find GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1).
A. 63
B. 7
C. 15
D. 31

Formula: GCD(2^m - 1, 2^n - 1) = 2^GCD(m,n) - 1
GCD(12, 8) = 4
Therefore GCD(2^12-1, 2^8-1) = 2^4 - 1 = 15
తెలుగు: ముందు GCD(12,8) = 4 కనుగొనాలి.
తర్వాత 2⁴ - 1 = 15.
Check: 2^12-1=4095, 2^8-1=255, GCD(4095,255)=15 ✓

20 / 50
20. జతపరచండి: HCF మరియు LCM సంబంధాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2. అభాజ్య సంఖ్యల HCF 3. సహ-అభాజ్యాల LCM 4. HCF × LCM
Column B: i. రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం ii. వాటి లబ్ధం iii. 1 iv. 1
Match: HCF-LCM Relations
Column A: 1. Product of two numbers 2. HCF of primes 3. LCM of co-primes 4. HCF × LCM
Column B: i. Equals product of numbers ii. Their product iii. 1 iv. 1
A. D) 1-i, 2-ii, 3-iv, 4-iii
B. C) 1-iv, 2-iii, 3-i, 4-ii
C. B) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
D. A) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i

Product of two numbers = HCF × LCM. HCF of primes = 1 (no common factors). LCM of co-primes = their product. HCF × LCM = product of numbers.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM. అభాజ్యాల HCF=1. సహ-అభాజ్యాల LCM = వాటి లబ్ధం.

21 / 50
21. 126 మరియు 198 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 126 and 198?
A. 18
B. 36
C. 9
D. 6

Euclid's Algorithm:
198 = 126×1 + 72 → GCD(198,126) = GCD(126,72)
126 = 72×1 + 54 → GCD(126,72) = GCD(72,54)
72 = 54×1 + 18 → GCD(72,54) = GCD(54,18)
54 = 18×3 + 0 → GCD = 18
తెలుగు: ప్రతిసారి పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే చివరికి GCD = 18.

22 / 50
22. మూడు గంటలు 15, 20, 30 నిమిషాలకు ఒకసారి మోగుతాయి. అన్నీ కలిసి మోగిన తర్వాత ఎన్ని నిమిషాలకు మళ్ళీ కలిసి మోగుతాయి?
Bells ring every 15, 20, 30 minutes. After ringing together, when will they next ring together?
A. 90 నిమిషాలు
B. 120 నిమిషాలు
C. 30 నిమిషాలు
D. 60 నిమిషాలు

They ring together again after LCM(15, 20, 30) minutes.
15=3×5 | 20=2²×5 | 30=2×3×5 → LCM = 2²×3×5 = 60 minutes
తెలుగు: గంటలన్నీ మళ్ళీ ఒకేసారి మోగే సమయం = LCM.
15, 20, 30 యొక్క LCM = 60 నిమిషాలు = 1 గంట తర్వాత.

23 / 50
23. LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b ను నిరూపించడానికి ఏ method వాడతారు?
Which method proves LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b?
A. Direct proof
B. Induction method
C. Prime factorization method
D. Contradiction method

Using Prime Factorization:
For each prime p: max(α,β) + min(α,β) = α + β
where a = ∏p^α, b = ∏p^β
LCM uses max powers, GCD uses min powers → their product = a×b
తెలుగు: Prime factorization method వాడి నిరూపించవచ్చు.
ప్రతి prime కు: max + min = α + β.
కాబట్టి LCM × GCD = a × b.
ఉదా: a=12=2²×3, b=18=2×3² → LCM=36, GCD=6 → 36×6=216=12×18 ✓

24 / 50
24. n మరియు n+1 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of n and n+1?
A. n(n+1)
B. n²+1
C. n+1
D. n

Consecutive numbers n and n+1 are always co-prime → GCD = 1
Formula: LCM = (n × (n+1)) / GCD = n(n+1) / 1 = n(n+1)
తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ co-prime (GCD=1).
కాబట్టి LCM = n × (n+1).
ఉదా: LCM(5,6) = 30 = 5×6 ✓ | LCM(7,8) = 56 = 7×8 ✓

25 / 50
25. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, వాటి GCD 12. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 3:4, GCD=12. What are the numbers?
A. 15 మరియు 20
B. 36 మరియు 48
C. 12 మరియు 16
D. 24 మరియు 32

If ratio = 3:4 and GCD = d → numbers = 3d and 4d
Here d = 12 → numbers = 3×12=36 and 4×12=48
Verify: GCD(36,48) = 12 ✓ | Ratio = 36:48 = 3:4 ✓
తెలుగు: 3:4 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 3k మరియు 4k అని.
GCD = k = 12 → సంఖ్యలు 36 మరియు 48.

26 / 50
26. 15 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15 and 25?
A. 3
B. 5
C. 15
D. 1

15 = 3 × 5 | 25 = 5² → GCD = take lowest powers → 5¹ = 5
తెలుగు: GCD కు రెండు సంఖ్యలలో కనీస శక్తులు తీసుకోవాలి.
రెండింటిలో 5 ఉంది, కానీ 15 లో 5 ఒకసారి మాత్రమే → GCD = 5.

27 / 50
27. ఒక సంఖ్యను 13, 17 లతో భాగించినా వరుసగా 5, 8 శేషాలు వస్తే అతి చిన్న అలాంటి సంఖ్య?
Remainders are 5 and 8 when divided by 13 and 17. Find the smallest such number.
A. 108
B. 44
C. 161
D. 221

x ≡ 5 (mod 13) and x ≡ 8 (mod 17)
From first: x = 13k + 5
Substitute: 13k+5 ≡ 8 (mod 17) → 13k ≡ 3 (mod 17)
13×4=52≡1(mod17) → inverse of 13 is 4
k ≡ 4×3 = 12 (mod 17) → k=12 → x = 13×12+5 = 161
తెలుగు: x = 13k+5 ను 17తో భాగించినా 8 శేషం రావాలి.
k=12 → x = 156+5 = 161.
Check: 161÷13=12R5 ✓ | 161÷17=9R8 ✓

28 / 50
28. 84 మరియు 108 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 84 and 108?
A. 24
B. 6
C. 18
D. 12

Euclid's Algorithm: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b)
108 = 84×1 + 24 → GCD(108,84) = GCD(84,24)
84 = 24×3 + 12 → GCD(84,24) = GCD(24,12)
24 = 12×2 + 0 → GCD = 12
తెలుగు: Euclid's Algorithm — పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకోవాలి.
చివరికి శేషం 0 వచ్చినప్పుడు చిన్న సంఖ్యే GCD = 12.

29 / 50
29. 16 మరియు 24 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 16 and 24?
A. 2
B. 8
C. 4
D. 16

16 = 2⁴ | 24 = 2³ × 3 → GCD = 2³ = 8 (lowest power of common prime 2)
తెలుగు: రెండింటిలో 2 అనే prime ఉంది.
16 లో 2 నాలుగు సార్లు, 24 లో మూడు సార్లు → కనిష్టం మూడు → GCD = 2³ = 8.

30 / 50
30. మూడు సంఖ్యలు 6:7:8 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి LCM 1344. సంఖ్యలు ఏవి?
Three numbers in ratio 6:7:8, LCM=1344. Find the numbers.
A. 36,42,48
B. 60,70,80
C. 42,49,56
D. 48,56,64

Numbers = 6k, 7k, 8k
LCM(6k,7k,8k) = k × LCM(6,7,8)
LCM(6,7,8) = 168 → 168k = 1344 → k = 8
Numbers = 48, 56, 64
తెలుగు: 6k, 7k, 8k అనుకోండి.
LCM = 168k = 1344 → k = 8.
సంఖ్యలు 48, 56, 64.
Check: GCD(48,56,64)=8 ✓

31 / 50
31. n!(n factorial) యొక్క అన్ని కారణాంకాల LCM ఎంత?
What is the LCM of all factors of n! (n factorial)?
A. n!/2
B. n!+1
C. (n-1)!
D. n!

n! is divisible by all its factors.
The LCM of all factors of n! = n! itself
(because n! is the largest factor and is divisible by all others)
తెలుగు: n! యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలో n! అతి పెద్దది.
అన్ని కారణాంకాలు n! ని భాగిస్తాయి కాబట్టి LCM = n! itself.
ఉదా: 6 యొక్క కారణాంకాలు: 1,2,3,6 → LCM(1,2,3,6) = 6 ✓

32 / 50
32. 20 మరియు 30 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 20 and 30?
A. 20
B. 10
C. 2
D. 5

20 = 2² × 5 | 30 = 2 × 3 × 5 → GCD = 2¹ × 5¹ = 10
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 5 ఉన్నాయి.
కనిష్ట శక్తులు తీసుకుంటే → 2¹ × 5¹ = 10. అదే GCD.

33 / 50
33. 36, 48 మరియు 60 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 36, 48 and 60?
A. 720
B. 600
C. 480
D. 360

36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 60=2²×3×5
LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 16 × 9 × 5 = 720
తెలుగు: మూడింటిలో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2→2⁴, 3→3², 5→5¹ → LCM = 720.
Check: 720÷36=20 ✓ | 720÷48=15 ✓ | 720÷60=12 ✓

34 / 50
34. 100 కంటే తక్కువ సంఖ్యలలో 6తో భాగిస్తే 4 శేషం, 9తో భాగిస్తే 7 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు ఎన్ని?
Numbers <100 giving remainder 4 with 6 and remainder 7 with 9. Count them.
A. 3
B. 2
C. 4
D. 5

x≡4(mod6) and x≡7(mod9)
LCM(6,9)=18. Find x in first cycle: x=16 satisfies both.
Numbers: 16, 34, 52, 70, 88 (add 18 each time) = 5 numbers
తెలుగు: మొదట x=16 కనుగొనాలి (రెండు conditions తీర్చుతుంది).
తర్వాత 18 (LCM) కూడుతూ వెళ్ళాలి: 16,34,52,70,88 → 5 సంఖ్యలు.

35 / 50
35. 10,000 కంటే తక్కువ 36, 48, 72 మూడింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని?
How many numbers less than 10,000 are divisible by 36, 48 and 72?
A. 66
B. 69
C. 55
D. 62

LCM(36, 48, 72):
36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 72=2³×3²
LCM = 2⁴×3² = 144
⌊9999 ÷ 144⌋ = 69
తెలుగు: మూడింటితో భాగించబడాలంటే LCM = 144 యొక్క గుణిజాలు.
10,000 కంటే తక్కువ 144 గుణిజాలు: 144,288,...,9936 → 69 సంఖ్యలు.

36 / 50
36. Co-prime సంఖ్యల GCD ఎంత ఉంటుంది?
What is the GCD of co-prime numbers?
A. వేరే సంఖ్య
B. 2
C. 1
D. 0

Co-prime numbers share NO common factor except 1.
Therefore GCD of co-prime numbers = 1.
Example: GCD(8,9) = 1 because 8=2³, 9=3²
తెలుగు: Co-prime అంటే వాటి మధ్య 1 తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
కాబట్టి వాటి GCD ఎల్లప్పుడూ 1 మాత్రమే.

37 / 50
37. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 24 రెట్లు. వాటి మొత్తం 50. సంఖ్యలు ఏవి?
LCM is 24 times GCD. Sum of numbers = 50. Find the numbers.
A. 8 మరియు 42
B. 2 మరియు 48
C. 10 మరియు 40
D. 6 మరియు 44

LCM = 24×GCD = 24d, numbers = dx, dy (co-prime)
d(x+y) = 50, LCM = dxy = 24d → xy = 24
d(x+y) = 50 → possibilities: d=1:x+y=50,xy=24; d=2:x+y=25,xy=24; d=5:x+y=10,xy=24(no)
d=2: x+y=25, xy=24 → x=1,y=24 (1×24=24✓,1+24=25✓, GCD(1,24)=1✓)
Numbers: 2×1=2 and 2×24=48
తెలుగు: d=2, x=1, y=24 → సంఖ్యలు 2 మరియు 48.
Check: 2+48=50 ✓ | LCM(2,48)=48, GCD=2, 48=24×2 ✓

38 / 50
38. 75 మరియు 100 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 75 and 100?
A. 10
B. 15
C. 5
D. 25

75 = 3 × 5² | 100 = 2² × 5²
Common prime = 5 → GCD = 5² = 25
తెలుగు: రెండింటిలో 5 మాత్రమే ఉమ్మడి prime.
5 యొక్క minimum power → 5² → GCD = 25.
Check: 75÷25=3 ✓ | 100÷25=4 ✓

39 / 50
39. రెండు సంఖ్యల LCM 90, ఒక సంఖ్య 18, GCD 6 అయితే రెండవ సంఖ్య?
LCM=90, one number=18, GCD=6. Find the second number.
A. 45
B. 60
C. 15
D. 30

Formula: a × b = LCM × GCD
18 × b = 90 × 6 = 540
b = 540 ÷ 18 = 30
తెలుగు: a × b = LCM × GCD సూత్రం వాడాలి.
18 × ? = 540 → రెండవ సంఖ్య = 30.
Check: LCM(18,30)=90 ✓ | GCD(18,30)=6 ✓

40 / 50
40. రెండు సంఖ్యల GCD 7. వాటి చతురస్రాల మొత్తం 1225. సంఖ్యలు ఏవి?
GCD of two numbers is 7. Sum of their squares = 1225. Find the numbers.
A. 21 మరియు 28
B. 14 మరియు 35
C. 7 మరియు 42
D. 14 మరియు 21

a=7x, b=7y (co-prime x,y)
49(x²+y²) = 1225 → x²+y² = 25
Co-prime pairs: (3,4)→9+16=25 ✓ GCD(3,4)=1 ✓
a=21, b=28
తెలుగు: a=7x, b=7y అనుకోండి.
x²+y² = 25 → (x,y) = (3,4).
GCD(3,4) = 1 ✓ → సంఖ్యలు 21 మరియు 28.
Check: GCD(21,28)=7 ✓ | 21²+28²=441+784=1225 ✓

41 / 50
41. 144 మరియు 180 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 144 and 180?
A. 24
B. 36
C. 12
D. 18

144 = 2⁴ × 3² | 180 = 2² × 3² × 5
GCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 3 ఉమ్మడి primes.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3² → GCD = 4 × 9 = 36.
Check: 144÷36=4 ✓ | 180÷36=5 ✓

42 / 50
42. 14 మరియు 21 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 14 and 21?
A. 14
B. 2
C. 21
D. 7

14 = 2 × 7 | 21 = 3 × 7 → Common prime = 7 → GCD = 7
తెలుగు: 14 మరియు 21 రెండింటిలో 7 ఉమ్మడి కారణాంకం.
14 ÷ 7 = 2 ✓ | 21 ÷ 7 = 3 ✓ → GCD = 7.

43 / 50
43. GCD ను rapidly కనుగొనడానికి Euclid's Algorithm time complexity ఎంత?
What is the time complexity of Euclid's Algorithm for finding GCD?
A. O(n)
B. O(n²)
C. O(√n)
D. O(log n)

Euclid's Algorithm runs in O(log(min(a,b))) time.
Each step reduces the problem size significantly (Fibonacci worst case).
This is much faster than trial division O(√n).
తెలుగు: Euclid's Algorithm O(log n) time లో పని చేస్తుంది.
ఇది చాలా efficient — పెద్ద సంఖ్యలకు కూడా వేగంగా GCD కనుగొంటుంది.
Competitive exams లో ఈ method వాడటం తప్పనిసరి.

44 / 50
44. జతపరచండి: మూడు సంఖ్యల LCM
Column A: 1. LCM(2,3,4) 2. LCM(3,4,6) 3. LCM(4,6,9) 4. LCM(5,10,15)
Column B: i. 30 ii. 12 iii. 36 iv. 12
Match: LCM of Three Numbers
Column A: 1. LCM(2,3,4) 2. LCM(3,4,6) 3. LCM(4,6,9) 4. LCM(5,10,15)
Column B: i. 30 ii. 12 iii. 36 iv. 12
A. A) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i
B. B) 1-ii, 2-iv, 3-i, 4-iii
C. C) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
D. D) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii

LCM(2,3,4)=12. LCM(3,4,6)=12. LCM(4,6,9)=36. LCM(5,10,15)=30.
LCM(2,3,4)=12. LCM(3,4,6)=12. LCM(4,6,9)=36. LCM(5,10,15)=30. ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి వాడాలి.

45 / 50
45. మూడు సంఖ్యల మొత్తం 108, అవి 2:3:4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి LCM ఎంత?
Sum of three numbers = 108, ratio 2:3:4. Find their LCM.
A. 96
B. 72
C. 108
D. 144

Numbers = 2k, 3k, 4k → sum = 9k = 108 → k = 12
Numbers = 24, 36, 48
LCM(24,36,48): 24=2³×3, 36=2²×3², 48=2⁴×3
LCM = 2⁴×3² = 144
తెలుగు: 2k+3k+4k = 9k = 108 → k = 12.
సంఖ్యలు 24, 36, 48.
LCM(24,36,48) = 2⁴×3² = 144.

46 / 50
46. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:5, LCM 75. GCD ఎంత?
Two numbers in ratio 3:5, LCM=75. Find GCD.
A. 25
B. 3
C. 15
D. 5

Numbers = 3k and 5k → LCM(3k,5k) = 15k = 75 → k = 5
Numbers = 15 and 25 → GCD(15,25) = 5
తెలుగు: 3k మరియు 5k → LCM = 15k = 75 → k=5.
సంఖ్యలు 15 మరియు 25 → GCD = 5.

47 / 50
47. 1000 కంటే తక్కువ సంఖ్యలలో 12 మరియు 18 రెండింటితో భాగించబడేవి ఎన్ని?
How many numbers less than 1000 are divisible by both 12 and 18?
A. 27
B. 30
C. 25
D. 22

Must be divisible by LCM(12,18) = 36
Count of multiples of 36 less than 1000:
⌊999 ÷ 36⌋ = 27
తెలుగు: 12 మరియు 18 రెండింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు = LCM(12,18)=36 యొక్క గుణిజాలు.
1000 కంటే తక్కువ 36 గుణిజాలు: 36,72,...,972 → మొత్తం 27 సంఖ్యలు.

48 / 50
48. p మరియు q రెండు వేర్వేరు అభాజ్య సంఖ్యలు. LCM(p², q², pq) ఎంత?
p and q are distinct primes. What is LCM(p², q², pq)?
A. pq
B. p²q²
C. p²q
D. pq²

p² = p² × q⁰ | q² = p⁰ × q² | pq = p¹ × q¹
LCM = max powers = p² × q²
తెలుగు: మూడింటిలో p యొక్క maximum = p², q యొక్క maximum = q².
LCM = p²q².
ఉదా: p=2, q=3 → LCM(4,9,6) = 36 = 4×9 ✓

49 / 50
49. GCD(a,b) = 1 అయితే GCD(a+b, ab) ఎంత?
If GCD(a,b)=1, what is GCD(a+b, ab)?
A. ab
B. 1
C. a
D. a+b

If GCD(a,b)=1 (co-prime), then:
Any prime p dividing both (a+b) and ab must divide a or b.
If p|a and p|(a+b) then p|b → contradiction since GCD(a,b)=1.
Therefore GCD(a+b, ab) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime అయితే (a+b) మరియు ab కూడా co-prime.
ఉదా: a=3, b=5 → a+b=8, ab=15 → GCD(8,15)=1 ✓

50 / 50
50. GCD(a,b) = 1 మరియు GCD(a,c) = 1 అయితే GCD(a, bc) ఎంత?
GCD(a,b)=1 and GCD(a,c)=1. What is GCD(a, bc)?
A. a
B. b+c
C. bc
D. 1

If GCD(a,b)=1 and GCD(a,c)=1, then a shares no prime factor with b or c.
Therefore a shares no prime factor with bc either.
GCD(a, bc) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime, a మరియు c co-prime అంటే a కు b లేదా c తో ఉమ్మడి prime లేదు.
అందువల్ల a మరియు bc కూడా co-prime → GCD = 1.
ఉదా: a=7, b=4, c=9 → GCD(7,36)=1 ✓

LinkedIn Facebook VKontakte
0%
Anonymous feedback

Post Views: 205

LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.

స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.

సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న 'Complaint Box'లో తెలియజేయవచ్చు.

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Report a question

​ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

​అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

​ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

​సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.