LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

/50

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)
అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:
ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.
సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.
స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.
ఆటోమేటిక్ సబ్మిషన్: 50 నిమిషాల సమయం ముగియగానే, మీరు సబ్మిట్ చేయకపోయినా మీ సమాధానాలు ఆటోమేటిక్‌గా సేవ్ చేయబడతాయి.
నావిగేషన్:
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్లడానికి 'Next' బటన్ నొక్కండి.
మునుపటి ప్రశ్నకు వెళ్లి సమాధానం మార్చుకోవడానికి 'Previous' బటన్ ఉపయోగించవచ్చు.
సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న **'Complaint Box'**లో తెలియజేయవచ్చు.

ఫలితాలు & : * పరీక్ష పూర్తయిన వెంటనే మీ మార్కులు (Marks) స్క్రీన్ పై కనిపిస్తాయి.

గమనిక: పరీక్ష మధ్యలో పేజీని 'Refresh' చేయకండి.
ఈ పరీక్షలపై అభిప్రాయాలను తప్పకుండా తెలియచేయండి. మా వెబ్సైటు subscribe చేసుకోండి.ప్రతి పరీక్ష upload చేసిన వెంటనే మీకు నోటిఫికేషన్ వస్తుంది. ఆల్ ది బెస్ట్ & press START
LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

1 / 50
1. 10,000 కంటే తక్కువ 36, 48, 72 మూడింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని?
How many numbers less than 10,000 are divisible by 36, 48 and 72?
A. 55
B. 69
C. 62
D. 66

LCM(36, 48, 72):
36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 72=2³×3²
LCM = 2⁴×3² = 144
⌊9999 ÷ 144⌋ = 69
తెలుగు: మూడింటితో భాగించబడాలంటే LCM = 144 యొక్క గుణిజాలు.
10,000 కంటే తక్కువ 144 గుణిజాలు: 144,288,...,9936 → 69 సంఖ్యలు.

2 / 50
2. ఒక సంఖ్యను 12, 15, 20 లతో భాగించినా 3 శేషం వస్తే, అతి చిన్న అలాంటి సంఖ్య?
A number leaves remainder 3 when divided by 12, 15, 20. Find the smallest such number.
A. 43
B. 63
C. 33
D. 73

LCM(12,15,20) = 60
Required numbers = 60k + 3
Smallest = 60×1 + 3 = 63
తెలుగు: 12, 15, 20 లన్నింటికీ 3 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 60k + 3.
అతి చిన్నది k=1 → 63.
Check: 63÷12=5 R3 ✓ | 63÷15=4 R3 ✓ | 63÷20=3 R3 ✓

3 / 50
3. రెండు సంఖ్యల LCM 48, GCD 8. ఒక సంఖ్య 16 అయితే రెండవ సంఖ్య ఎంత?
LCM=48, GCD=8, one number=16. Find the second number.
A. 32
B. 12
C. 24
D. 48

Formula: a × b = LCM × GCD
16 × b = 48 × 8 = 384 → b = 384 ÷ 16 = 24
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = LCM × GCD.
16 × ? = 48 × 8 = 384 → రెండవ సంఖ్య = 24.
Check: LCM(16,24)=48 ✓ | GCD(16,24)=8 ✓

4 / 50
4. రెండు సంఖ్యల LCM = 480, GCD = 8. ఒక సంఖ్య 96 అయితే రెండవ సంఖ్య, మరియు రెండు సంఖ్యల మొత్తం?
LCM=480, GCD=8, one number=96. Find second number and their sum.
A. 30 మరియు 126
B. 40 మరియు 136
C. 48 మరియు 144
D. 35 మరియు 131

a × b = LCM × GCD = 480 × 8 = 3840
96 × b = 3840 → b = 40
Sum = 96 + 40 = 136
Verify: LCM(96,40)=480 ✓ | GCD(96,40)=8 ✓
తెలుగు: 96 × ? = 480 × 8 = 3840 → రెండవ సంఖ్య = 40.
మొత్తం = 96 + 40 = 136.
Verify: LCM(96,40) = 480 ✓ | GCD(96,40) = 8 ✓

5 / 50
5. జతపరచండి: LCM మరియు HCF విలువలు
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
Match: LCM and HCF Values
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
A. B) 1-iii, 2-iv, 3-i, 4-ii
B. C) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i
C. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
D. D) 1-ii, 2-i, 3-iv, 4-iii

HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24.
HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24. కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

6 / 50
6. 144 మరియు 180 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 144 and 180?
A. 12
B. 18
C. 24
D. 36

144 = 2⁴ × 3² | 180 = 2² × 3² × 5
GCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 3 ఉమ్మడి primes.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3² → GCD = 4 × 9 = 36.
Check: 144÷36=4 ✓ | 180÷36=5 ✓

7 / 50
7. p మరియు q co-prime. p|n మరియు q|n అయితే pq|n అని చెప్పే theorem ఏది?
If p,q are co-prime, p|n and q|n, then pq|n. Which theorem states this?
A. Euclid's Lemma
B. Wilson's Theorem
C. Fermat's Little Theorem
D. Chinese Remainder Theorem

This is a corollary of the Chinese Remainder Theorem (CRT).
Also follows from: if GCD(p,q)=1, LCM(p,q)=pq, and both p,q divide n → pq divides n.
తెలుగు: p మరియు q co-prime, రెండూ n ని భాగిస్తే, pq కూడా n ని భాగిస్తుంది.
ఇది Chinese Remainder Theorem యొక్క consequence.
ఉదా: 4|60 మరియు 9|60, GCD(4,9)=1 → 36|60? 60÷36 = 1R24 ✗ — correct example: 4|36, 9|36, 36|36 ✓

8 / 50
8. సంఖ్యను 3, 5, 7 లతో భాగించినా వరుసగా 1, 3, 5 శేషాలు వస్తే అతి చిన్న సంఖ్య?
Remainders are 1,3,5 when divided by 3,5,7. Find smallest such number.
A. 113
B. 68
C. 52
D. 103

x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 5 (mod 7)
Try x = 103: 103÷3=34 R1 ✓ | 103÷5=20 R3 ✓ | 103÷7=14 R5 ✓
తెలుగు: ఒక్కో condition పరీక్షించాలి.
x=103: 3తో భాగిస్తే 1 శేషం ✓, 5తో భాగిస్తే 3 శేషం ✓, 7తో భాగిస్తే 5 శేషం ✓.

9 / 50
9. 4 గంటలకు ఒకసారి మరియు 6 గంటలకు ఒకసారి మోగే గంటలు ఉదయం 6కి కలిసి మోగాయి. తర్వాత ఎప్పుడు కలుస్తాయి?
Bells ring every 4 and 6 hours, rang together at 6 AM. Next time together?
A. రాత్రి 10కి
B. మధ్యాహ్నం 12కి
C. సాయంత్రం 6కి
D. మధ్యాహ్నం 2కి

LCM(4, 6) = 12 hours → They ring together after 12 hours.
6 AM + 12 hours = 6 PM
తెలుగు: 4 మరియు 6 గంటల LCM = 12 గంటలు.
ఉదయం 6 గంటలకు మోగాయి కాబట్టి తర్వాత సాయంత్రం 6 గంటలకు మోగుతాయి.

10 / 50
10. GCD(a,b) = 1 అయితే GCD(a+b, ab) ఎంత?
If GCD(a,b)=1, what is GCD(a+b, ab)?
A. a
B. 1
C. a+b
D. ab

If GCD(a,b)=1 (co-prime), then:
Any prime p dividing both (a+b) and ab must divide a or b.
If p|a and p|(a+b) then p|b → contradiction since GCD(a,b)=1.
Therefore GCD(a+b, ab) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime అయితే (a+b) మరియు ab కూడా co-prime.
ఉదా: a=3, b=5 → a+b=8, ab=15 → GCD(8,15)=1 ✓

11 / 50
11. GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — ఇది ఏ algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక?
GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — which algorithm is based on this?
A. Wilson's theorem
B. Chinese Remainder Theorem
C. Fermat's theorem
D. Euclid's Algorithm

This is the fundamental step of Euclid's Algorithm.
It works because: if d divides both a and b, then d also divides (a mod b).
So GCD doesn't change when we replace a with a mod b.
తెలుగు: ఇది Euclid's Algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక.
పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే GCD మారదు.
శేషం 0 వచ్చినప్పుడు చిన్న సంఖ్య = GCD.

12 / 50
12. 16 మరియు 24 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 16 and 24?
A. 16
B. 8
C. 2
D. 4

16 = 2⁴ | 24 = 2³ × 3 → GCD = 2³ = 8 (lowest power of common prime 2)
తెలుగు: రెండింటిలో 2 అనే prime ఉంది.
16 లో 2 నాలుగు సార్లు, 24 లో మూడు సార్లు → కనిష్టం మూడు → GCD = 2³ = 8.

13 / 50
13. రెండు సంఖ్యల LCM × GCD = 720, GCD = 12. a+b యొక్క కనీస విలువ ఎంత?
LCM × GCD = 720, GCD = 12. Find minimum value of a+b.
A. 72
B. 60
C. 96
D. 84

LCM = 720÷12 = 60
a = 12x, b = 12y, LCM = 12xy = 60 → xy = 5
Co-prime pairs: (1,5) → a=12, b=60 → sum=72
(5,1) → same pair
Minimum sum = 72
తెలుగు: LCM=60, a=12x, b=12y, xy=5.
Co-prime జత (1,5) → a=12, b=60 → a+b=72 (కనీసం).

14 / 50
14. 45 మరియు 60 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 45 and 60?
A. 15
B. 3
C. 5
D. 9

45 = 3² × 5 | 60 = 2² × 3 × 5 → GCD = 3¹ × 5¹ = 15
తెలుగు: రెండింటిలో 3 మరియు 5 ఉన్నాయి.
3 కనిష్టం → 3¹, 5 కనిష్టం → 5¹ → GCD = 15.

15 / 50
15. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2:3, LCM 36. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 2:3 and LCM=36. What are the numbers?
A. 6 మరియు 9
B. 10 మరియు 15
C. 12 మరియు 18
D. 8 మరియు 12

Numbers = 2k and 3k → LCM(2k, 3k) = 6k (since GCD(2,3)=1)
6k = 36 → k = 6 → Numbers = 12 and 18
తెలుగు: 2:3 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 2k మరియు 3k.
LCM = 6k = 36 → k = 6 → సంఖ్యలు 12 మరియు 18.
Check: LCM(12,18) = 36 ✓ | Ratio = 12:18 = 2:3 ✓

16 / 50
16. 100 కంటే తక్కువ సంఖ్యలలో 6తో భాగిస్తే 4 శేషం, 9తో భాగిస్తే 7 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు ఎన్ని?
Numbers <100 giving remainder 4 with 6 and remainder 7 with 9. Count them.
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5

x≡4(mod6) and x≡7(mod9)
LCM(6,9)=18. Find x in first cycle: x=16 satisfies both.
Numbers: 16, 34, 52, 70, 88 (add 18 each time) = 5 numbers
తెలుగు: మొదట x=16 కనుగొనాలి (రెండు conditions తీర్చుతుంది).
తర్వాత 18 (LCM) కూడుతూ వెళ్ళాలి: 16,34,52,70,88 → 5 సంఖ్యలు.

17 / 50
17. LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b ను నిరూపించడానికి ఏ method వాడతారు?
Which method proves LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b?
A. Contradiction method
B. Induction method
C. Prime factorization method
D. Direct proof

Using Prime Factorization:
For each prime p: max(α,β) + min(α,β) = α + β
where a = ∏p^α, b = ∏p^β
LCM uses max powers, GCD uses min powers → their product = a×b
తెలుగు: Prime factorization method వాడి నిరూపించవచ్చు.
ప్రతి prime కు: max + min = α + β.
కాబట్టి LCM × GCD = a × b.
ఉదా: a=12=2²×3, b=18=2×3² → LCM=36, GCD=6 → 36×6=216=12×18 ✓

18 / 50
18. GCD ను rapidly కనుగొనడానికి Euclid's Algorithm time complexity ఎంత?
What is the time complexity of Euclid's Algorithm for finding GCD?
A. O(n²)
B. O(√n)
C. O(log n)
D. O(n)

Euclid's Algorithm runs in O(log(min(a,b))) time.
Each step reduces the problem size significantly (Fibonacci worst case).
This is much faster than trial division O(√n).
తెలుగు: Euclid's Algorithm O(log n) time లో పని చేస్తుంది.
ఇది చాలా efficient — పెద్ద సంఖ్యలకు కూడా వేగంగా GCD కనుగొంటుంది.
Competitive exams లో ఈ method వాడటం తప్పనిసరి.

19 / 50
19. రెండు సంఖ్యల LCM 90, ఒక సంఖ్య 18, GCD 6 అయితే రెండవ సంఖ్య?
LCM=90, one number=18, GCD=6. Find the second number.
A. 60
B. 30
C. 45
D. 15

Formula: a × b = LCM × GCD
18 × b = 90 × 6 = 540
b = 540 ÷ 18 = 30
తెలుగు: a × b = LCM × GCD సూత్రం వాడాలి.
18 × ? = 540 → రెండవ సంఖ్య = 30.
Check: LCM(18,30)=90 ✓ | GCD(18,30)=6 ✓

20 / 50
20. 5 మరియు 7 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 5 and 7?
A. 45
B. 25
C. 35
D. 12

5 and 7 are both prime numbers → co-prime to each other.
LCM of two primes = their product = 5 × 7 = 35
తెలుగు: 5 మరియు 7 రెండూ అభాజ్య సంఖ్యలు కాబట్టి వాటి LCM = 5 × 7 = 35.

21 / 50
21. రెండు సంఖ్యల GCD 7. వాటి చతురస్రాల మొత్తం 1225. సంఖ్యలు ఏవి?
GCD of two numbers is 7. Sum of their squares = 1225. Find the numbers.
A. 7 మరియు 42
B. 14 మరియు 35
C. 21 మరియు 28
D. 14 మరియు 21

a=7x, b=7y (co-prime x,y)
49(x²+y²) = 1225 → x²+y² = 25
Co-prime pairs: (3,4)→9+16=25 ✓ GCD(3,4)=1 ✓
a=21, b=28
తెలుగు: a=7x, b=7y అనుకోండి.
x²+y² = 25 → (x,y) = (3,4).
GCD(3,4) = 1 ✓ → సంఖ్యలు 21 మరియు 28.
Check: GCD(21,28)=7 ✓ | 21²+28²=441+784=1225 ✓

22 / 50
22. 15, 20 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15, 20 and 25?
A. 5
B. 15
C. 3
D. 1

15 = 3×5 | 20 = 2²×5 | 25 = 5²
Common prime = 5 only → GCD = 5¹ = 5
తెలుగు: మూడు సంఖ్యలన్నింటిలో ఉమ్మడి prime కారణాంకం 5 మాత్రమే.
అందులో కనిష్ట శక్తి 5¹ → GCD = 5.

23 / 50
23. జతపరచండి: HCF మరియు LCM సంబంధాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2. అభాజ్య సంఖ్యల HCF 3. సహ-అభాజ్యాల LCM 4. HCF × LCM
Column B: i. రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం ii. వాటి లబ్ధం iii. 1 iv. 1
Match: HCF-LCM Relations
Column A: 1. Product of two numbers 2. HCF of primes 3. LCM of co-primes 4. HCF × LCM
Column B: i. Equals product of numbers ii. Their product iii. 1 iv. 1
A. A) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i
B. D) 1-i, 2-ii, 3-iv, 4-iii
C. C) 1-iv, 2-iii, 3-i, 4-ii
D. B) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv

Product of two numbers = HCF × LCM. HCF of primes = 1 (no common factors). LCM of co-primes = their product. HCF × LCM = product of numbers.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM. అభాజ్యాల HCF=1. సహ-అభాజ్యాల LCM = వాటి లబ్ధం.

24 / 50
24. ప్రతి 36 సెకన్లకు ఒక వాహనం, ప్రతి 48 సెకన్లకు మరొకటి signal వద్ద ఆగుతాయి. 10 నిమిషాల్లో ఎన్నిసార్లు ఒకేసారి ఆగుతాయి?
Vehicles stop at signal every 36 and 48 seconds. How many times do they stop together in 10 minutes?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 2

LCM(36, 48) = 144 seconds
10 minutes = 600 seconds
Number of times = 600 ÷ 144 = 4.16 → 4 times (after start)
తెలుగు: LCM = 144 సెకన్లకు ఒకసారి కలుసుకుంటాయి.
10 నిమిషాలు = 600 సెకన్లు.
600 ÷ 144 = 4 సార్లు (మొదటి కలయిక వదిలి).

25 / 50
25. ఒక సంఖ్యను 8, 12, 15 లతో భాగించినా 5 శేషం వస్తే, అతి చిన్న 4 అంకెల సంఖ్య?
A number gives remainder 5 when divided by 8, 12, 15. Smallest 4-digit such number?
A. 1005
B. 1085
C. 1205
D. 1120

LCM(8,12,15) = 120
Numbers = 120k + 5
120×9 + 5 = 1085 (first 4-digit)
తెలుగు: 8, 12, 15 లకు 5 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 120k + 5.
1000 కంటే ≥ కావాలి → k=9 → 120×9+5 = 1085.
Check: 1085÷8=135 R5 ✓ | 1085÷12=90 R5 ✓ | 1085÷15=72 R5 ✓

26 / 50
26. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 24 రెట్లు. వాటి మొత్తం 50. సంఖ్యలు ఏవి?
LCM is 24 times GCD. Sum of numbers = 50. Find the numbers.
A. 2 మరియు 48
B. 10 మరియు 40
C. 8 మరియు 42
D. 6 మరియు 44

LCM = 24×GCD = 24d, numbers = dx, dy (co-prime)
d(x+y) = 50, LCM = dxy = 24d → xy = 24
d(x+y) = 50 → possibilities: d=1:x+y=50,xy=24; d=2:x+y=25,xy=24; d=5:x+y=10,xy=24(no)
d=2: x+y=25, xy=24 → x=1,y=24 (1×24=24✓,1+24=25✓, GCD(1,24)=1✓)
Numbers: 2×1=2 and 2×24=48
తెలుగు: d=2, x=1, y=24 → సంఖ్యలు 2 మరియు 48.
Check: 2+48=50 ✓ | LCM(2,48)=48, GCD=2, 48=24×2 ✓

27 / 50
27. 14 మరియు 21 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 14 and 21?
A. 14
B. 2
C. 7
D. 21

14 = 2 × 7 | 21 = 3 × 7 → Common prime = 7 → GCD = 7
తెలుగు: 14 మరియు 21 రెండింటిలో 7 ఉమ్మడి కారణాంకం.
14 ÷ 7 = 2 ✓ | 21 ÷ 7 = 3 ✓ → GCD = 7.

28 / 50
28. GCD(a², b²) = (GCD(a,b))². ఇది నిజమా? a=6, b=10 తో verify చేయండి.
Is GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))²? Verify with a=6, b=10.
A. తప్పు, GCD = 8
B. తప్పు, GCD = 2
C. నిజమే, GCD = 16
D. నిజమే, GCD = 4

GCD(6,10) = 2 → (GCD)² = 4
GCD(36, 100): 36=2²×3², 100=2²×5² → GCD=2²=4 ✓
So GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))² is TRUE
తెలుగు: GCD(a,b)=2 → (GCD)²=4.
GCD(36,100)=4 → రెండూ సమానం ✓.
ఈ గుణం నిజమే: GCD(a²,b²) = [GCD(a,b)]².

29 / 50
29. GCD(a,b) మరియు LCM(a,b) ఉపయోగించి a² + b² కనుగొనగలమా? GCD=6, LCM=72 అయితే a²+b² = ?
GCD=6, LCM=72. Find a²+b².
A. 864
B. 900
C. 720
D. 780

a×b = GCD×LCM = 6×72 = 432
(a+b)² = a²+2ab+b² and (a-b)² = a²-2ab+b²
Numbers with GCD=6: a=6x, b=6y, LCM=6xy=72 → xy=12
Co-prime pairs: (1,12)→sum=13×6=78, (3,4)→sum=7×6=42
Try (3,4): a=18, b=24 → a²+b² = 324+576 = 900
తెలుగు: GCD=6, LCM=72 → xy=12, co-prime జత (3,4) → a=18, b=24.
a²+b² = 18²+24² = 324+576 = 900.

30 / 50
30. 18 మరియు 27 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 18 and 27?
A. 9
B. 18
C. 3
D. 6

18 = 2 × 3² | 27 = 3³ → Common prime = 3 → GCD = 3² = 9
తెలుగు: 18 మరియు 27 రెండింటిలో 3 ఉమ్మడి prime.
18 లో 3 రెండుసార్లు, 27 లో మూడుసార్లు → కనిష్టం రెండు → GCD = 9.

31 / 50
31. 36, 48 మరియు 60 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 36, 48 and 60?
A. 600
B. 360
C. 720
D. 480

36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 60=2²×3×5
LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 16 × 9 × 5 = 720
తెలుగు: మూడింటిలో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2→2⁴, 3→3², 5→5¹ → LCM = 720.
Check: 720÷36=20 ✓ | 720÷48=15 ✓ | 720÷60=12 ✓

32 / 50
32. 6 మరియు 9 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 6 and 9?
A. 18
B. 6
C. 9
D. 12

6 = 2 × 3 | 9 = 3² → LCM = take highest powers → 2¹ × 3² = 18
తెలుగు: Prime factorization లో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2 ఒకసారి, 3 రెండుసార్లు వస్తుంది → LCM = 18.

33 / 50
33. జతపరచండి: ప్రధాన కారణాంక విభజన – HCF
Column A: 1. 36=2²×3², 48=2⁴×3; HCF=? 2. 84=2²×3×7, 90=2×3²×5; HCF=? 3. 72=2³×3², 120=2³×3×5; HCF=? 4. 45=3²×5, 75=3×5²; HCF=?
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
Match: Prime Factorisation – HCF
Column A: 1. 36,48 2. 84,90 3. 72,120 4. 45,75
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
A. C) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
B. A) 1-iii, 2-i, 3-iv, 4-ii
C. D) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
D. B) 1-iv, 2-i, 3-ii, 4-iii

HCF=product of common prime factors with lowest powers. 36,48: HCF=2²×3=12. 84,90: HCF=2×3=6. 72,120: HCF=2³×3=24. 45,75: HCF=3×5=15.
HCF=ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం (తక్కువ ఘాతాంకాలతో). 36,48:12. 84,90:6. 72,120:24. 45,75:15.

34 / 50
34. LCM × GCD = రెండు సంఖ్యల ____
LCM × GCD = ____ of the two numbers
A. మొత్తం
B. లబ్ధం
C. భేదం
D. భాగఫలం

Key Formula: LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b
Example: LCM(4,6)=12, GCD(4,6)=2 → 12×2=24 = 4×6 ✓
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల LCM మరియు GCD లబ్ధం = ఆ సంఖ్యల లబ్ధం.
ఇది చాలా ముఖ్యమైన సూత్రం — exam లో తరచుగా వస్తుంది!

35 / 50
35. ఒక సంఖ్య యొక్క సన్నిహిత కారణాంకాల (n మరియు n+1 రూపంలో) జత ఉందా? GCD మరియు LCM వివరించండి.
Do consecutive divisors (form n, n+1) exist for any number? Explain using GCD and LCM.
A. n(n+1) తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి
B. n+n+1 తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి
C. ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే
D. అసాధ్యం

If n and n+1 both divide N, then LCM(n,n+1) must divide N.
Since GCD(n,n+1)=1, LCM(n,n+1) = n(n+1).
So n(n+1) | N — N must be a multiple of n(n+1).
Example: N=12, divisors include 3 and 4 → LCM(3,4)=12 divides 12 ✓
తెలుగు: n మరియు n+1 రెండూ N ని భాగిస్తే, n(n+1) కూడా N ని భాగించాలి.
ఉదా: 12 ని 3 మరియు 4 రెండూ భాగిస్తాయి → LCM(3,4)=12 | 12 ✓.

36 / 50
36. A ప్రతి 8 రోజులకు, B ప్రతి 12 రోజులకు library వెళతారు. Jan 1న ఒకేసారి వెళితే తర్వాత ఎప్పుడు కలుస్తారు?
A goes to library every 8 days, B every 12 days. Met on Jan 1. Next meeting?
A. January 25
B. February 1
C. January 13
D. January 20

They meet again after LCM(8, 12) days.
LCM(8,12) = 2³ × 3 = 24 days
Jan 1 + 24 days = January 25
తెలుగు: మళ్ళీ కలిసే రోజు = LCM(8,12) = 24 రోజుల తర్వాత.
January 1 + 24 = January 25న కలుస్తారు.

37 / 50
37. 8, 12 మరియు 16 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8, 12 and 16?
A. 96
B. 48
C. 32
D. 24

8 = 2³ | 12 = 2² × 3 | 16 = 2⁴
LCM = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48
తెలుగు: మూడింటిలో 2 యొక్క maximum = 2⁴ = 16, 3 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 16 × 3 = 48.
Check: 48÷8=6 ✓ | 48÷12=4 ✓ | 48÷16=3 ✓

38 / 50
38. n మరియు n+1 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of n and n+1?
A. n+1
B. n
C. n(n+1)
D. n²+1

Consecutive numbers n and n+1 are always co-prime → GCD = 1
Formula: LCM = (n × (n+1)) / GCD = n(n+1) / 1 = n(n+1)
తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ co-prime (GCD=1).
కాబట్టి LCM = n × (n+1).
ఉదా: LCM(5,6) = 30 = 5×6 ✓ | LCM(7,8) = 56 = 7×8 ✓

39 / 50
39. 5 మరియు 8 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 5 and 8?
A. 20
B. 40
C. 80
D. 13

5 = 5¹ | 8 = 2³ → No common prime → co-prime
LCM = 5 × 8 = 40
తెలుగు: 5 మరియు 8 మధ్య ఉమ్మడి prime కారణాంకం లేదు.
Co-prime సంఖ్యల LCM = వాటి లబ్ధం = 40.
Check: 40 ÷ 5 = 8 ✓ | 40 ÷ 8 = 5 ✓

40 / 50
40. a మరియు b co-prime అయితే LCM(2a, 3b) ఎంత?
If a and b are co-prime, what is LCM(2a, 3b)?
A. 3ab
B. ab
C. 6ab
D. 2ab

Since a,b are co-prime and 2,3 are different primes:
2a and 3b share no common factors → LCM = 2a × 3b = 6ab
తెలుగు: a,b co-prime కాబట్టి 2a మరియు 3b మధ్య ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
LCM = వాటి లబ్ధం = 6ab.
ఉదా: a=5, b=7 → LCM(10,21) = 210 = 6×5×7 ✓

41 / 50
41. 4 మరియు 6 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 4 and 6?
A. 24
B. 12
C. 6
D. 8

4 = 2² | 6 = 2 × 3 → LCM = 2² × 3 = 12
తెలుగు: 4 మరియు 6 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 12.
12 ÷ 4 = 3 ✓ | 12 ÷ 6 = 2 ✓

42 / 50
42. రెండు సంఖ్యల LCM = 2^10 × 3^5, GCD = 2^3 × 3^2. ఒక సంఖ్య = 2^7 × 3^5 అయితే రెండవ సంఖ్య?
LCM=2¹⁰×3⁵, GCD=2³×3². One number=2⁷×3⁵. Find the other.
A. 2¹⁰×3²
B. 2¹⁰×3⁵
C. 2³×3⁵
D. 2³×3²

For each prime:
2: max(7, ?)=10 → ?=10 | min(7, ?)=3 → satisfied since 10>3 ✓
3: max(5, ?)=5 → ?≤5 | min(5, ?)=2 → ?=2
Second number = 2^10 × 3^2
తెలుగు: LCM లో maximum power, GCD లో minimum power.
2 కు: max(7,x)=10 → x=10 | 3 కు: min(5,y)=2 → y=2.
రెండవ సంఖ్య = 2¹⁰ × 3².

43 / 50
43. 75 మరియు 100 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 75 and 100?
A. 25
B. 5
C. 10
D. 15

75 = 3 × 5² | 100 = 2² × 5²
Common prime = 5 → GCD = 5² = 25
తెలుగు: రెండింటిలో 5 మాత్రమే ఉమ్మడి prime.
5 యొక్క minimum power → 5² → GCD = 25.
Check: 75÷25=3 ✓ | 100÷25=4 ✓

44 / 50
44. 12 మరియు 18 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 12 and 18?
A. 36
B. 24
C. 72
D. 18

LCM = Least Common Multiple → Smallest number divisible by both.
12 = 2² × 3 | 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
తెలుగు: LCM అంటే రెండు సంఖ్యలూ నిక్షేపంగా భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య.
12 మరియు 18 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 36.

45 / 50
45. 11 మరియు 22 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 11 and 22?
A. 11
B. 44
C. 22
D. 33

22 = 11 × 2 → 11 divides 22 → LCM = 22
తెలుగు: 22 అనేది 11 యొక్క రెట్టింపు.
ఒక సంఖ్య మరొకదాన్ని భాగిస్తే LCM = పెద్ద సంఖ్య.
అందువల్ల LCM = 22.

46 / 50
46. జతపరచండి: HCF మరియు LCM – రెండు సంఖ్యలు కనుగొనడం
Column A: 1. HCF=4, LCM=48, ఒక సంఖ్య=12; రెండవది=? 2. HCF=6, LCM=72, ఒక సంఖ్య=18; రెండవది=? 3. HCF=5, LCM=100, ఒక సంఖ్య=25; రెండవది=? 4. HCF=3, LCM=90, ఒక సంఖ్య=9; రెండవది=?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
Match: Finding Numbers from HCF and LCM
Column A: 1. HCF=4,LCM=48,one=12; other? 2. HCF=6,LCM=72,one=18; other? 3. HCF=5,LCM=100,one=25; other? 4. HCF=3,LCM=90,one=9; other?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
A. D) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
B. C) 1-ii, 2-iii, 3-i, 4-iv
C. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
D. B) 1-iii, 2-iv, 3-ii, 4-i

Other number = HCF×LCM / known number. 4×48/12=16. 6×72/18=24. 5×100/25=20. 3×90/9=30.
రెండవ సంఖ్య = HCF×LCM / తెలిసిన సంఖ్య. 48×4/12=16. 72×6/18=24. 100×5/25=20. 90×3/9=30.

47 / 50
47. Euclid's Algorithm లో GCD(56, 98) దశలు ఏమిటి? చివరి GCD విలువ?
Find GCD(56, 98) using Euclid's Algorithm.
A. 7
B. 28
C. 14
D. 56

Step 1: 98 = 56×1 + 42 → GCD(98,56) = GCD(56,42)
Step 2: 56 = 42×1 + 14 → GCD(56,42) = GCD(42,14)
Step 3: 42 = 14×3 + 0 → GCD = 14
తెలుగు: పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకోవాలి.
శేషం 0 వచ్చినప్పుడు ఆగాలి — ఆ సమయంలో చిన్న సంఖ్యే GCD.
GCD(56,98) = 14.

48 / 50
48. రెండు సంఖ్యల GCD 15, LCM 180, ఒక సంఖ్య 45 అయితే రెండవ సంఖ్య?
GCD=15, LCM=180, one number=45. Find the second.
A. 36
B. 60
C. 30
D. 45

a × b = LCM × GCD
45 × b = 180 × 15 = 2700
b = 2700 ÷ 45 = 60
తెలుగు: లబ్ధం = LCM × GCD సూత్రం ఉపయోగించాలి.
45 × ? = 2700 → రెండవ సంఖ్య = 60.
Check: LCM(45,60)=180 ✓ | GCD(45,60)=15 ✓

49 / 50
49. వరుస సంఖ్యలు n మరియు (n+1) యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of consecutive numbers n and (n+1)?
A. n
B. 1
C. 2
D. n+1

Consecutive integers always differ by 1.
Any common divisor of n and n+1 must also divide their difference = 1.
Therefore GCD(n, n+1) = 1 always. They are always co-prime!
తెలుగు: వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం 1.
వాటి ఉమ్మడి కారణాంకం 1 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
ఉదా: GCD(7,8)=1 ✓ | GCD(15,16)=1 ✓

50 / 50
50. జతపరచండి: భాగింత సంఖ్యల నమూనాలు
Column A: 1. 4,6 రెండింటిచే భాగింపబడే అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య 2. 7,11 లకు HCF 3. 12,15,20 లకు LCM 4. 17,19 కి HCF
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
Match: Divisibility Patterns
Column A: 1. Smallest 3-digit divisible by 4,6 2. HCF(7,11) 3. LCM(12,15,20) 4. HCF(17,19)
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
A. A) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
B. D) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
C. C) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
D. B) 1-iv, 2-ii, 3-i, 4-iii

LCM(4,6)=12; smallest 3-digit=108. HCF(7,11)=1 (co-primes). LCM(12,15,20)=60. HCF(17,19)=1 (both primes).
LCM(4,6)=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. 7,11 సహ-అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1. LCM(12,15,20)=60. 17,19 అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1.

LinkedIn Facebook VKontakte
0%
Anonymous feedback

Post Views: 155

LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.

స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.

సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న 'Complaint Box'లో తెలియజేయవచ్చు.

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Report a question

​ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

​అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

​ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

​సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.