LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

/50

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)
అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:
ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.
సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.
స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.
ఆటోమేటిక్ సబ్మిషన్: 50 నిమిషాల సమయం ముగియగానే, మీరు సబ్మిట్ చేయకపోయినా మీ సమాధానాలు ఆటోమేటిక్‌గా సేవ్ చేయబడతాయి.
నావిగేషన్:
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్లడానికి 'Next' బటన్ నొక్కండి.
మునుపటి ప్రశ్నకు వెళ్లి సమాధానం మార్చుకోవడానికి 'Previous' బటన్ ఉపయోగించవచ్చు.
సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న **'Complaint Box'**లో తెలియజేయవచ్చు.

ఫలితాలు & : * పరీక్ష పూర్తయిన వెంటనే మీ మార్కులు (Marks) స్క్రీన్ పై కనిపిస్తాయి.

గమనిక: పరీక్ష మధ్యలో పేజీని 'Refresh' చేయకండి.
ఈ పరీక్షలపై అభిప్రాయాలను తప్పకుండా తెలియచేయండి. మా వెబ్సైటు subscribe చేసుకోండి.ప్రతి పరీక్ష upload చేసిన వెంటనే మీకు నోటిఫికేషన్ వస్తుంది. ఆల్ ది బెస్ట్ & press START
LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

1 / 50
1. 15 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15 and 25?
A. 5
B. 1
C. 3
D. 15

15 = 3 × 5 | 25 = 5² → GCD = take lowest powers → 5¹ = 5
తెలుగు: GCD కు రెండు సంఖ్యలలో కనీస శక్తులు తీసుకోవాలి.
రెండింటిలో 5 ఉంది, కానీ 15 లో 5 ఒకసారి మాత్రమే → GCD = 5.

2 / 50
2. జతపరచండి: HCF మరియు LCM – రెండు సంఖ్యలు కనుగొనడం
Column A: 1. HCF=4, LCM=48, ఒక సంఖ్య=12; రెండవది=? 2. HCF=6, LCM=72, ఒక సంఖ్య=18; రెండవది=? 3. HCF=5, LCM=100, ఒక సంఖ్య=25; రెండవది=? 4. HCF=3, LCM=90, ఒక సంఖ్య=9; రెండవది=?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
Match: Finding Numbers from HCF and LCM
Column A: 1. HCF=4,LCM=48,one=12; other? 2. HCF=6,LCM=72,one=18; other? 3. HCF=5,LCM=100,one=25; other? 4. HCF=3,LCM=90,one=9; other?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
A. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
B. C) 1-ii, 2-iii, 3-i, 4-iv
C. D) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
D. B) 1-iii, 2-iv, 3-ii, 4-i

Other number = HCF×LCM / known number. 4×48/12=16. 6×72/18=24. 5×100/25=20. 3×90/9=30.
రెండవ సంఖ్య = HCF×LCM / తెలిసిన సంఖ్య. 48×4/12=16. 72×6/18=24. 100×5/25=20. 90×3/9=30.

3 / 50
3. Euler's totient φ(12) ఎంత? (12కి co-prime అయి 12 కంటే తక్కువ సంఖ్యలు)
What is Euler's totient φ(12)?
A. 8
B. 4
C. 3
D. 6

φ(n) = n × ∏(1 - 1/p) for all prime p dividing n
12 = 2² × 3 → φ(12) = 12 × (1-1/2) × (1-1/3) = 12 × 1/2 × 2/3 = 4
Numbers co-prime to 12: {1, 5, 7, 11} → 4 numbers ✓
తెలుగు: 12 కంటే తక్కువ, 12 కి co-prime సంఖ్యలు: 1,5,7,11.
మొత్తం 4 సంఖ్యలు → φ(12) = 4.

4 / 50
4. 12 మరియు 18 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 12 and 18?
A. 36
B. 24
C. 72
D. 18

LCM = Least Common Multiple → Smallest number divisible by both.
12 = 2² × 3 | 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
తెలుగు: LCM అంటే రెండు సంఖ్యలూ నిక్షేపంగా భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య.
12 మరియు 18 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 36.

5 / 50
5. ఒక సంఖ్యను 8, 12, 15 లతో భాగించినా 5 శేషం వస్తే, అతి చిన్న 4 అంకెల సంఖ్య?
A number gives remainder 5 when divided by 8, 12, 15. Smallest 4-digit such number?
A. 1205
B. 1085
C. 1120
D. 1005

LCM(8,12,15) = 120
Numbers = 120k + 5
120×9 + 5 = 1085 (first 4-digit)
తెలుగు: 8, 12, 15 లకు 5 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 120k + 5.
1000 కంటే ≥ కావాలి → k=9 → 120×9+5 = 1085.
Check: 1085÷8=135 R5 ✓ | 1085÷12=90 R5 ✓ | 1085÷15=72 R5 ✓

6 / 50
6. A ప్రతి 12 నిమిషాలకు, B ప్రతి 18 నిమిషాలకు ఒక తోటను చుట్టి వస్తారు. ఒకే చోటు నుండి start చేస్తే ఎన్ని నిమిషాలకు కలుస్తారు?
A takes 12 min, B takes 18 min for one round. When do they meet at start?
A. 24 నిమిషాలు
B. 36 నిమిషాలు
C. 30 నిమిషాలు
D. 18 నిమిషాలు

They meet at starting point after LCM(12, 18) minutes.
LCM(12,18) = 2² × 3² = 36 minutes
తెలుగు: ఇద్దరూ మళ్ళీ ఒకే చోటికి వచ్చే సమయం = LCM.
A 36 నిమిషాల్లో 3 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷12=3 ✓).
B 36 నిమిషాల్లో 2 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷18=2 ✓).

7 / 50
7. 1 నుండి 20 వరకు అన్ని సంఖ్యల LCM ఎంత?
What is the LCM of all numbers from 1 to 20?
A. 232792560
B. 3603600
C. 116396280
D. 184756320

Highest prime powers ≤ 20:
2⁴=16, 3²=9, 5¹=5, 7¹=7, 11,13,17,19
LCM = 16×9×5×7×11×13×17×19 = 232792560
తెలుగు: 20 కంటే తక్కువ లేదా సమాన prime శక్తులు:
2⁴, 3², 5, 7, 11, 13, 17, 19.
వాటి లబ్ధం = 232792560.

8 / 50
8. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, వాటి GCD 12. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 3:4, GCD=12. What are the numbers?
A. 24 మరియు 32
B. 15 మరియు 20
C. 12 మరియు 16
D. 36 మరియు 48

If ratio = 3:4 and GCD = d → numbers = 3d and 4d
Here d = 12 → numbers = 3×12=36 and 4×12=48
Verify: GCD(36,48) = 12 ✓ | Ratio = 36:48 = 3:4 ✓
తెలుగు: 3:4 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 3k మరియు 4k అని.
GCD = k = 12 → సంఖ్యలు 36 మరియు 48.

9 / 50
9. జతపరచండి: HCF–LCM అనుప్రయోగాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యలు 12, 18. HCF=6 అయితే LCM=? 2. LCM=60, HCF=5, ఒక సంఖ్య 15 అయితే రెండవ సంఖ్య? 3. HCF=8, సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, పెద్దది? 4. తక్కువ సమయంలో కలిసే కాలానికి LCM ఉపయోగం
Column B: i. 20 ii. 32 iii. 36 iv. కలిసే కాలం
Match: HCF-LCM Applications
Column A: 1. Numbers 12,18; HCF=6; LCM=? 2. LCM=60,HCF=5,one number=15; other=? 3. HCF=8, ratio 3:4; larger number? 4. When do they meet again?
Column B: i. 20 ii. 32 iii. 36 iv. LCM gives meeting time
A. B) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
B. C) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
C. A) 1-i, 2-iii, 3-ii, 4-iv
D. D) 1-ii, 2-iv, 3-i, 4-iii

LCM=HCF×product/HCF=12×18/6=36. Other number=LCM×HCF/15=60×5/15=20. Larger=8×4=32. LCM finds meeting time.
LCM=12×18/6=36. రెండవ సంఖ్య=60×5/15=20. పెద్దది=8×4=32. కలిసే సమయానికి LCM వాడతాం.

10 / 50
10. 24 మరియు 36 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 24 and 36?
A. 12
B. 4
C. 8
D. 6

24 = 2³ × 3 | 36 = 2² × 3² → GCD = 2² × 3¹ = 12
తెలుగు: రెండింటిలో కనిష్ట శక్తులు తీసుకోవాలి.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3¹ → GCD = 4 × 3 = 12.

11 / 50
11. ప్రతి 36 సెకన్లకు ఒక వాహనం, ప్రతి 48 సెకన్లకు మరొకటి signal వద్ద ఆగుతాయి. 10 నిమిషాల్లో ఎన్నిసార్లు ఒకేసారి ఆగుతాయి?
Vehicles stop at signal every 36 and 48 seconds. How many times do they stop together in 10 minutes?
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3

LCM(36, 48) = 144 seconds
10 minutes = 600 seconds
Number of times = 600 ÷ 144 = 4.16 → 4 times (after start)
తెలుగు: LCM = 144 సెకన్లకు ఒకసారి కలుసుకుంటాయి.
10 నిమిషాలు = 600 సెకన్లు.
600 ÷ 144 = 4 సార్లు (మొదటి కలయిక వదిలి).

12 / 50
12. Co-prime సంఖ్యల GCD ఎంత ఉంటుంది?
What is the GCD of co-prime numbers?
A. వేరే సంఖ్య
B. 0
C. 2
D. 1

Co-prime numbers share NO common factor except 1.
Therefore GCD of co-prime numbers = 1.
Example: GCD(8,9) = 1 because 8=2³, 9=3²
తెలుగు: Co-prime అంటే వాటి మధ్య 1 తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
కాబట్టి వాటి GCD ఎల్లప్పుడూ 1 మాత్రమే.

13 / 50
13. 126 మరియు 198 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 126 and 198?
A. 18
B. 6
C. 36
D. 9

Euclid's Algorithm:
198 = 126×1 + 72 → GCD(198,126) = GCD(126,72)
126 = 72×1 + 54 → GCD(126,72) = GCD(72,54)
72 = 54×1 + 18 → GCD(72,54) = GCD(54,18)
54 = 18×3 + 0 → GCD = 18
తెలుగు: ప్రతిసారి పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే చివరికి GCD = 18.

14 / 50
14. జతపరచండి: భాగింత సంఖ్యల నమూనాలు
Column A: 1. 4,6 రెండింటిచే భాగింపబడే అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య 2. 7,11 లకు HCF 3. 12,15,20 లకు LCM 4. 17,19 కి HCF
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
Match: Divisibility Patterns
Column A: 1. Smallest 3-digit divisible by 4,6 2. HCF(7,11) 3. LCM(12,15,20) 4. HCF(17,19)
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
A. D) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
B. B) 1-iv, 2-ii, 3-i, 4-iii
C. A) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
D. C) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii

LCM(4,6)=12; smallest 3-digit=108. HCF(7,11)=1 (co-primes). LCM(12,15,20)=60. HCF(17,19)=1 (both primes).
LCM(4,6)=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. 7,11 సహ-అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1. LCM(12,15,20)=60. 17,19 అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1.

15 / 50
15. 36, 48 మరియు 60 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 36, 48 and 60?
A. 720
B. 360
C. 600
D. 480

36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 60=2²×3×5
LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 16 × 9 × 5 = 720
తెలుగు: మూడింటిలో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2→2⁴, 3→3², 5→5¹ → LCM = 720.
Check: 720÷36=20 ✓ | 720÷48=15 ✓ | 720÷60=12 ✓

16 / 50
16. ఒక సంఖ్య యొక్క సన్నిహిత కారణాంకాల (n మరియు n+1 రూపంలో) జత ఉందా? GCD మరియు LCM వివరించండి.
Do consecutive divisors (form n, n+1) exist for any number? Explain using GCD and LCM.
A. అసాధ్యం
B. n(n+1) తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి
C. ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే
D. n+n+1 తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి

If n and n+1 both divide N, then LCM(n,n+1) must divide N.
Since GCD(n,n+1)=1, LCM(n,n+1) = n(n+1).
So n(n+1) | N — N must be a multiple of n(n+1).
Example: N=12, divisors include 3 and 4 → LCM(3,4)=12 divides 12 ✓
తెలుగు: n మరియు n+1 రెండూ N ని భాగిస్తే, n(n+1) కూడా N ని భాగించాలి.
ఉదా: 12 ని 3 మరియు 4 రెండూ భాగిస్తాయి → LCM(3,4)=12 | 12 ✓.

17 / 50
17. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:5, LCM 75. GCD ఎంత?
Two numbers in ratio 3:5, LCM=75. Find GCD.
A. 3
B. 5
C. 15
D. 25

Numbers = 3k and 5k → LCM(3k,5k) = 15k = 75 → k = 5
Numbers = 15 and 25 → GCD(15,25) = 5
తెలుగు: 3k మరియు 5k → LCM = 15k = 75 → k=5.
సంఖ్యలు 15 మరియు 25 → GCD = 5.

18 / 50
18. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి మొత్తానికి 3 రెట్లు, GCD = 8. అతి చిన్న జత?
LCM = 3 times the sum of two numbers. GCD=8. Find smallest pair.
A. 16 మరియు 48
B. 32 మరియు 96
C. 8 మరియు 24
D. 24 మరియు 72

a=8x, b=8y (co-prime x,y), LCM=8xy, sum=8(x+y)
8xy = 3×8(x+y) → xy = 3(x+y)
xy - 3x - 3y = 0 → (x-3)(y-3) = 9
Pairs: (4,12) since (x-3,y-3)=(1,9) → x=4, y=12
Numbers: a=32, b=96
తెలుగు: (x-3)(y-3)=9 → x=4, y=12 → సంఖ్యలు 32 మరియు 96.
Check: LCM(32,96)=96, sum=128, 96=3×32 ✗...
LCM=96, 3×(32+96)=3×128=384≠96. Let me recheck: a=32,b=96,LCM=96,sum=128,3×sum=384≠LCM.
Correct: x=4,y=12: a=32,b=96, LCM=8×4×12=384, sum=128, 3×128=384 ✓

19 / 50
19. మూడు సంఖ్యల మొత్తం 108, అవి 2:3:4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వాటి LCM ఎంత?
Sum of three numbers = 108, ratio 2:3:4. Find their LCM.
A. 108
B. 144
C. 72
D. 96

Numbers = 2k, 3k, 4k → sum = 9k = 108 → k = 12
Numbers = 24, 36, 48
LCM(24,36,48): 24=2³×3, 36=2²×3², 48=2⁴×3
LCM = 2⁴×3² = 144
తెలుగు: 2k+3k+4k = 9k = 108 → k = 12.
సంఖ్యలు 24, 36, 48.
LCM(24,36,48) = 2⁴×3² = 144.

20 / 50
20. 8 మరియు 20 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8 and 20?
A. 32
B. 40
C. 20
D. 24

8 = 2³ | 20 = 2² × 5 → LCM = 2³ × 5 = 40
తెలుగు: 2 యొక్క అత్యధిక శక్తి → 2³, 5 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 8 × 5 = 40.
Check: 40 ÷ 8 = 5 ✓ | 40 ÷ 20 = 2 ✓

21 / 50
21. మూడు గంటలు 15, 20, 30 నిమిషాలకు ఒకసారి మోగుతాయి. అన్నీ కలిసి మోగిన తర్వాత ఎన్ని నిమిషాలకు మళ్ళీ కలిసి మోగుతాయి?
Bells ring every 15, 20, 30 minutes. After ringing together, when will they next ring together?
A. 30 నిమిషాలు
B. 60 నిమిషాలు
C. 120 నిమిషాలు
D. 90 నిమిషాలు

They ring together again after LCM(15, 20, 30) minutes.
15=3×5 | 20=2²×5 | 30=2×3×5 → LCM = 2²×3×5 = 60 minutes
తెలుగు: గంటలన్నీ మళ్ళీ ఒకేసారి మోగే సమయం = LCM.
15, 20, 30 యొక్క LCM = 60 నిమిషాలు = 1 గంట తర్వాత.

22 / 50
22. GCD(a², b²) = (GCD(a,b))². ఇది నిజమా? a=6, b=10 తో verify చేయండి.
Is GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))²? Verify with a=6, b=10.
A. నిజమే, GCD = 16
B. తప్పు, GCD = 8
C. తప్పు, GCD = 2
D. నిజమే, GCD = 4

GCD(6,10) = 2 → (GCD)² = 4
GCD(36, 100): 36=2²×3², 100=2²×5² → GCD=2²=4 ✓
So GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))² is TRUE
తెలుగు: GCD(a,b)=2 → (GCD)²=4.
GCD(36,100)=4 → రెండూ సమానం ✓.
ఈ గుణం నిజమే: GCD(a²,b²) = [GCD(a,b)]².

23 / 50
23. LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b ను నిరూపించడానికి ఏ method వాడతారు?
Which method proves LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b?
A. Contradiction method
B. Direct proof
C. Prime factorization method
D. Induction method

Using Prime Factorization:
For each prime p: max(α,β) + min(α,β) = α + β
where a = ∏p^α, b = ∏p^β
LCM uses max powers, GCD uses min powers → their product = a×b
తెలుగు: Prime factorization method వాడి నిరూపించవచ్చు.
ప్రతి prime కు: max + min = α + β.
కాబట్టి LCM × GCD = a × b.
ఉదా: a=12=2²×3, b=18=2×3² → LCM=36, GCD=6 → 36×6=216=12×18 ✓

24 / 50
24. LCM × GCD = రెండు సంఖ్యల ____
LCM × GCD = ____ of the two numbers
A. లబ్ధం
B. భేదం
C. మొత్తం
D. భాగఫలం

Key Formula: LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b
Example: LCM(4,6)=12, GCD(4,6)=2 → 12×2=24 = 4×6 ✓
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల LCM మరియు GCD లబ్ధం = ఆ సంఖ్యల లబ్ధం.
ఇది చాలా ముఖ్యమైన సూత్రం — exam లో తరచుగా వస్తుంది!

25 / 50
25. n మరియు n+1 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of n and n+1?
A. n(n+1)
B. n
C. n+1
D. n²+1

Consecutive numbers n and n+1 are always co-prime → GCD = 1
Formula: LCM = (n × (n+1)) / GCD = n(n+1) / 1 = n(n+1)
తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ co-prime (GCD=1).
కాబట్టి LCM = n × (n+1).
ఉదా: LCM(5,6) = 30 = 5×6 ✓ | LCM(7,8) = 56 = 7×8 ✓

26 / 50
26. 4 మరియు 6 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 4 and 6?
A. 12
B. 24
C. 8
D. 6

4 = 2² | 6 = 2 × 3 → LCM = 2² × 3 = 12
తెలుగు: 4 మరియు 6 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 12.
12 ÷ 4 = 3 ✓ | 12 ÷ 6 = 2 ✓

27 / 50
27. సంఖ్యను 3, 5, 7 లతో భాగించినా వరుసగా 1, 3, 5 శేషాలు వస్తే అతి చిన్న సంఖ్య?
Remainders are 1,3,5 when divided by 3,5,7. Find smallest such number.
A. 52
B. 113
C. 68
D. 103

x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 5 (mod 7)
Try x = 103: 103÷3=34 R1 ✓ | 103÷5=20 R3 ✓ | 103÷7=14 R5 ✓
తెలుగు: ఒక్కో condition పరీక్షించాలి.
x=103: 3తో భాగిస్తే 1 శేషం ✓, 5తో భాగిస్తే 3 శేషం ✓, 7తో భాగిస్తే 5 శేషం ✓.

28 / 50
28. రెండు అభాజ్య సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి ఎన్ని రెట్లు?
LCM of two different prime numbers is how many times their GCD?
A. 1
B. p×q రెట్లు
C. p+q
D. p-q

Two different primes p and q:
GCD(p,q) = 1 (they are co-prime)
LCM(p,q) = p × q
Ratio = LCM/GCD = pq/1 = pq
తెలుగు: రెండు వేర్వేరు అభాజ్య సంఖ్యల GCD = 1.
LCM = వాటి లబ్ధం = pq.
LCM/GCD = pq ÷ 1 = pq రెట్లు.

29 / 50
29. 15, 20 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15, 20 and 25?
A. 1
B. 3
C. 15
D. 5

15 = 3×5 | 20 = 2²×5 | 25 = 5²
Common prime = 5 only → GCD = 5¹ = 5
తెలుగు: మూడు సంఖ్యలన్నింటిలో ఉమ్మడి prime కారణాంకం 5 మాత్రమే.
అందులో కనిష్ట శక్తి 5¹ → GCD = 5.

30 / 50
30. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 528, GCD 24. అటువంటి జతలు ఎన్ని సాధ్యం?
Sum of two numbers=528, GCD=24. How many such pairs exist?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Let numbers = 24x and 24y, GCD(x,y)=1, x+y = 528/24 = 22
Co-prime pairs (x,y) with x+y=22: (1,21),(3,19),(5,17),(7,15),(9,13) = 5 pairs
తెలుగు: సంఖ్యలు 24x మరియు 24y అనుకోండి, x+y=22.
x మరియు y co-prime అయిన జతలు: 5 జతలు.

31 / 50
31. 56 మరియు 98 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 56 and 98?
A. 392
B. 280
C. 196
D. 336

56 = 2³ × 7 | 98 = 2 × 7²
LCM = 2³ × 7² = 8 × 49 = 392
తెలుగు: 2 యొక్క maximum = 2³, 7 యొక్క maximum = 7².
LCM = 8 × 49 = 392.
Check: 392 ÷ 56 = 7 ✓ | 392 ÷ 98 = 4 ✓

32 / 50
32. జతపరచండి: ప్రధాన కారణాంక విభజన – HCF
Column A: 1. 36=2²×3², 48=2⁴×3; HCF=? 2. 84=2²×3×7, 90=2×3²×5; HCF=? 3. 72=2³×3², 120=2³×3×5; HCF=? 4. 45=3²×5, 75=3×5²; HCF=?
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
Match: Prime Factorisation – HCF
Column A: 1. 36,48 2. 84,90 3. 72,120 4. 45,75
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
A. B) 1-iv, 2-i, 3-ii, 4-iii
B. D) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
C. C) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
D. A) 1-iii, 2-i, 3-iv, 4-ii

HCF=product of common prime factors with lowest powers. 36,48: HCF=2²×3=12. 84,90: HCF=2×3=6. 72,120: HCF=2³×3=24. 45,75: HCF=3×5=15.
HCF=ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం (తక్కువ ఘాతాంకాలతో). 36,48:12. 84,90:6. 72,120:24. 45,75:15.

33 / 50
33. p అభాజ్య సంఖ్య. GCD(p, n) యొక్క సాధ్యమైన విలువలు ఏవి?
p is prime. What are the possible values of GCD(p, n)?
A. 1, p, లేదా p²
B. 1 మాత్రమే
C. 1 లేదా p
D. p మాత్రమే

p is prime, so its only divisors are 1 and p.
Case 1: p divides n → GCD(p,n) = p
Case 2: p does not divide n → GCD(p,n) = 1
Therefore GCD(p,n) is either 1 or p.
తెలుగు: అభాజ్య సంఖ్య p యొక్క కారణాంకాలు 1 మరియు p మాత్రమే.
n, p యొక్క గుణిజం అయితే GCD = p.
కాకపోతే GCD = 1.
GCD(p,n) ∈ {1, p} మాత్రమే.

34 / 50
34. GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1) ఎంత? (Formula: GCD(2^m-1, 2^n-1) = 2^GCD(m,n)-1)
Find GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1).
A. 31
B. 7
C. 63
D. 15

Formula: GCD(2^m - 1, 2^n - 1) = 2^GCD(m,n) - 1
GCD(12, 8) = 4
Therefore GCD(2^12-1, 2^8-1) = 2^4 - 1 = 15
తెలుగు: ముందు GCD(12,8) = 4 కనుగొనాలి.
తర్వాత 2⁴ - 1 = 15.
Check: 2^12-1=4095, 2^8-1=255, GCD(4095,255)=15 ✓

35 / 50
35. 75 మరియు 100 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 75 and 100?
A. 5
B. 15
C. 25
D. 10

75 = 3 × 5² | 100 = 2² × 5²
Common prime = 5 → GCD = 5² = 25
తెలుగు: రెండింటిలో 5 మాత్రమే ఉమ్మడి prime.
5 యొక్క minimum power → 5² → GCD = 25.
Check: 75÷25=3 ✓ | 100÷25=4 ✓

36 / 50
36. జతపరచండి: HCF మరియు LCM సంబంధాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2. అభాజ్య సంఖ్యల HCF 3. సహ-అభాజ్యాల LCM 4. HCF × LCM
Column B: i. రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం ii. వాటి లబ్ధం iii. 1 iv. 1
Match: HCF-LCM Relations
Column A: 1. Product of two numbers 2. HCF of primes 3. LCM of co-primes 4. HCF × LCM
Column B: i. Equals product of numbers ii. Their product iii. 1 iv. 1
A. C) 1-iv, 2-iii, 3-i, 4-ii
B. B) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
C. A) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i
D. D) 1-i, 2-ii, 3-iv, 4-iii

Product of two numbers = HCF × LCM. HCF of primes = 1 (no common factors). LCM of co-primes = their product. HCF × LCM = product of numbers.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM. అభాజ్యాల HCF=1. సహ-అభాజ్యాల LCM = వాటి లబ్ధం.

37 / 50
37. 18 మరియు 27 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 18 and 27?
A. 18
B. 6
C. 3
D. 9

18 = 2 × 3² | 27 = 3³ → Common prime = 3 → GCD = 3² = 9
తెలుగు: 18 మరియు 27 రెండింటిలో 3 ఉమ్మడి prime.
18 లో 3 రెండుసార్లు, 27 లో మూడుసార్లు → కనిష్టం రెండు → GCD = 9.

38 / 50
38. p మరియు q రెండు వేర్వేరు అభాజ్య సంఖ్యలు. LCM(p², q², pq) ఎంత?
p and q are distinct primes. What is LCM(p², q², pq)?
A. p²q²
B. pq
C. p²q
D. pq²

p² = p² × q⁰ | q² = p⁰ × q² | pq = p¹ × q¹
LCM = max powers = p² × q²
తెలుగు: మూడింటిలో p యొక్క maximum = p², q యొక్క maximum = q².
LCM = p²q².
ఉదా: p=2, q=3 → LCM(4,9,6) = 36 = 4×9 ✓

39 / 50
39. a, b, c లు పరస్పర co-prime అయితే LCM(ab, bc, ca) ఎంత?
If a, b, c are pairwise co-prime, what is LCM(ab, bc, ca)?
A. ab
B. a+b+c
C. a²b²c²
D. abc

Since a,b,c are pairwise co-prime, each prime appears in at most one of them.
ab contains primes of a and b
bc contains primes of b and c
ca contains primes of c and a
LCM = all primes together = abc
తెలుగు: a,b,c పరస్పర co-prime కాబట్టి వాటి prime factors వేర్వేరు.
ab, bc, ca మూడింటిలో కలిసిన prime factors = a, b, c అన్నీ.
LCM = abc.
ఉదా: a=2,b=3,c=5 → LCM(6,15,10) = 30 = 2×3×5 ✓

40 / 50
40. ఒక సంఖ్యను 5, 6, 7, 8 లతో భాగించినా 3 శేషం వస్తే అతి చిన్న 4 అంకెల సంఖ్య?
Remainder is 3 when divided by 5,6,7,8. Smallest 4-digit such number?
A. 2523
B. 843
C. 3363
D. 1683

LCM(5,6,7,8) = 840
Numbers = 840k + 3
k=1 → 843 (3 digits)
k=2 → 1683 (4 digits!) ✓
తెలుగు: 5,6,7,8 కు 3 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 840k+3.
843 మూడు అంకెలు, 1683 నాలుగు అంకెలు → 1683.
Check: 1683÷5=336R3 ✓|÷6=280R3 ✓|÷7=240R3 ✓|÷8=210R3 ✓

41 / 50
41. 1 నుండి 10 వరకు అన్ని సంఖ్యల LCM ఎంత?
What is the LCM of all numbers from 1 to 10?
A. 2160
B. 2016
C. 2520
D. 1260

Take highest prime powers ≤ 10:
2³=8, 3²=9, 5¹=5, 7¹=7
LCM = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520
తెలుగు: 1 నుండి 10 వరకు అన్ని prime శక్తులు:
2³, 3², 5, 7 → LCM = 8×9×5×7 = 2520.

42 / 50
42. 8 మరియు 12 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 8 and 12?
A. 4
B. 8
C. 2
D. 6

GCD = Greatest Common Divisor → Largest number that divides both.
8 = 2³ | 12 = 2² × 3 → GCD = 2² = 4
తెలుగు: GCD అంటే రెండు సంఖ్యలను భాగించగలిగే అతి పెద్ద సంఖ్య.
8 మరియు 12 రెండింటినీ భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య 4.

43 / 50
43. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 10 రెట్లు. GCD = 8 అయితే LCM ఎంత?
LCM is 10 times the GCD. GCD=8. Find LCM.
A. 18
B. 80
C. 8
D. 800

Given: LCM = 10 × GCD
LCM = 10 × 8 = 80
తెలుగు: LCM = 10 × GCD అని చెప్పారు.
GCD = 8 అయితే LCM = 10 × 8 = 80.
Note: LCM ఎల్లప్పుడూ GCD యొక్క గుణిజం అవుతుంది.

44 / 50
44. 20 మరియు 30 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 20 and 30?
A. 2
B. 20
C. 5
D. 10

20 = 2² × 5 | 30 = 2 × 3 × 5 → GCD = 2¹ × 5¹ = 10
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 5 ఉన్నాయి.
కనిష్ట శక్తులు తీసుకుంటే → 2¹ × 5¹ = 10. అదే GCD.

45 / 50
45. 6 మరియు 10 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 6 and 10?
A. 20
B. 15
C. 30
D. 60

6 = 2 × 3 | 10 = 2 × 5 → LCM = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30
తెలుగు: అన్ని prime factors తీసుకోవాలి — 2, 3, 5.
LCM = 2 × 3 × 5 = 30.
Check: 30 ÷ 6 = 5 ✓ | 30 ÷ 10 = 3 ✓

46 / 50
46. ఒక సంఖ్యను 6, 7, 8 లతో భాగించినా 2 శేషం వస్తే, అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య ఏది?
A number gives remainder 2 when divided by 6, 7, 8. Find smallest 3-digit such number.
A. 170
B. 168
C. 176
D. 164

Numbers of this type = LCM(6,7,8) × k + 2
LCM(6,7,8) = 168
k=1 → 170 (3 digits!) ✓
తెలుగు: 6, 7, 8 లతో భాగించినా 2 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 168k + 2.
k=1 → 170 అనేది మొదటి 3 అంకెల సంఖ్య.

47 / 50
47. GCD(a,b) = 1 అయితే GCD(a+b, ab) ఎంత?
If GCD(a,b)=1, what is GCD(a+b, ab)?
A. ab
B. a+b
C. 1
D. a

If GCD(a,b)=1 (co-prime), then:
Any prime p dividing both (a+b) and ab must divide a or b.
If p|a and p|(a+b) then p|b → contradiction since GCD(a,b)=1.
Therefore GCD(a+b, ab) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime అయితే (a+b) మరియు ab కూడా co-prime.
ఉదా: a=3, b=5 → a+b=8, ab=15 → GCD(8,15)=1 ✓

48 / 50
48. రెండు సంఖ్యల GCD 15, LCM 180, ఒక సంఖ్య 45 అయితే రెండవ సంఖ్య?
GCD=15, LCM=180, one number=45. Find the second.
A. 45
B. 60
C. 30
D. 36

a × b = LCM × GCD
45 × b = 180 × 15 = 2700
b = 2700 ÷ 45 = 60
తెలుగు: లబ్ధం = LCM × GCD సూత్రం ఉపయోగించాలి.
45 × ? = 2700 → రెండవ సంఖ్య = 60.
Check: LCM(45,60)=180 ✓ | GCD(45,60)=15 ✓

49 / 50
49. p మరియు q co-prime. p|n మరియు q|n అయితే pq|n అని చెప్పే theorem ఏది?
If p,q are co-prime, p|n and q|n, then pq|n. Which theorem states this?
A. Euclid's Lemma
B. Wilson's Theorem
C. Fermat's Little Theorem
D. Chinese Remainder Theorem

This is a corollary of the Chinese Remainder Theorem (CRT).
Also follows from: if GCD(p,q)=1, LCM(p,q)=pq, and both p,q divide n → pq divides n.
తెలుగు: p మరియు q co-prime, రెండూ n ని భాగిస్తే, pq కూడా n ని భాగిస్తుంది.
ఇది Chinese Remainder Theorem యొక్క consequence.
ఉదా: 4|60 మరియు 9|60, GCD(4,9)=1 → 36|60? 60÷36 = 1R24 ✗ — correct example: 4|36, 9|36, 36|36 ✓

50 / 50
50. 6 మరియు 9 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 6 and 9?
A. 12
B. 6
C. 18
D. 9

6 = 2 × 3 | 9 = 3² → LCM = take highest powers → 2¹ × 3² = 18
తెలుగు: Prime factorization లో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2 ఒకసారి, 3 రెండుసార్లు వస్తుంది → LCM = 18.

LinkedIn Facebook VKontakte
0%
Anonymous feedback

Post Views: 108

LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.

స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.

సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న 'Complaint Box'లో తెలియజేయవచ్చు.

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Report a question

​ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

​అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

​ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

​సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.