LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

/50

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)
అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:
ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.
సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.
స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.
ఆటోమేటిక్ సబ్మిషన్: 50 నిమిషాల సమయం ముగియగానే, మీరు సబ్మిట్ చేయకపోయినా మీ సమాధానాలు ఆటోమేటిక్‌గా సేవ్ చేయబడతాయి.
నావిగేషన్:
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్లడానికి 'Next' బటన్ నొక్కండి.
మునుపటి ప్రశ్నకు వెళ్లి సమాధానం మార్చుకోవడానికి 'Previous' బటన్ ఉపయోగించవచ్చు.
సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న **'Complaint Box'**లో తెలియజేయవచ్చు.

ఫలితాలు & : * పరీక్ష పూర్తయిన వెంటనే మీ మార్కులు (Marks) స్క్రీన్ పై కనిపిస్తాయి.

గమనిక: పరీక్ష మధ్యలో పేజీని 'Refresh' చేయకండి.
ఈ పరీక్షలపై అభిప్రాయాలను తప్పకుండా తెలియచేయండి. మా వెబ్సైటు subscribe చేసుకోండి.ప్రతి పరీక్ష upload చేసిన వెంటనే మీకు నోటిఫికేషన్ వస్తుంది. ఆల్ ది బెస్ట్ & press START
LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

1 / 50
1. 10,000 కంటే తక్కువ 36, 48, 72 మూడింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని?
How many numbers less than 10,000 are divisible by 36, 48 and 72?
A. 66
B. 55
C. 69
D. 62

LCM(36, 48, 72):
36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 72=2³×3²
LCM = 2⁴×3² = 144
⌊9999 ÷ 144⌋ = 69
తెలుగు: మూడింటితో భాగించబడాలంటే LCM = 144 యొక్క గుణిజాలు.
10,000 కంటే తక్కువ 144 గుణిజాలు: 144,288,...,9936 → 69 సంఖ్యలు.

2 / 50
2. 45 మరియు 60 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 45 and 60?
A. 15
B. 3
C. 5
D. 9

45 = 3² × 5 | 60 = 2² × 3 × 5 → GCD = 3¹ × 5¹ = 15
తెలుగు: రెండింటిలో 3 మరియు 5 ఉన్నాయి.
3 కనిష్టం → 3¹, 5 కనిష్టం → 5¹ → GCD = 15.

3 / 50
3. n!(n factorial) యొక్క అన్ని కారణాంకాల LCM ఎంత?
What is the LCM of all factors of n! (n factorial)?
A. n!+1
B. n!/2
C. (n-1)!
D. n!

n! is divisible by all its factors.
The LCM of all factors of n! = n! itself
(because n! is the largest factor and is divisible by all others)
తెలుగు: n! యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలో n! అతి పెద్దది.
అన్ని కారణాంకాలు n! ని భాగిస్తాయి కాబట్టి LCM = n! itself.
ఉదా: 6 యొక్క కారణాంకాలు: 1,2,3,6 → LCM(1,2,3,6) = 6 ✓

4 / 50
4. Euler's totient φ(12) ఎంత? (12కి co-prime అయి 12 కంటే తక్కువ సంఖ్యలు)
What is Euler's totient φ(12)?
A. 6
B. 3
C. 8
D. 4

φ(n) = n × ∏(1 - 1/p) for all prime p dividing n
12 = 2² × 3 → φ(12) = 12 × (1-1/2) × (1-1/3) = 12 × 1/2 × 2/3 = 4
Numbers co-prime to 12: {1, 5, 7, 11} → 4 numbers ✓
తెలుగు: 12 కంటే తక్కువ, 12 కి co-prime సంఖ్యలు: 1,5,7,11.
మొత్తం 4 సంఖ్యలు → φ(12) = 4.

5 / 50
5. ప్రతి 36 సెకన్లకు ఒక వాహనం, ప్రతి 48 సెకన్లకు మరొకటి signal వద్ద ఆగుతాయి. 10 నిమిషాల్లో ఎన్నిసార్లు ఒకేసారి ఆగుతాయి?
Vehicles stop at signal every 36 and 48 seconds. How many times do they stop together in 10 minutes?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 4

LCM(36, 48) = 144 seconds
10 minutes = 600 seconds
Number of times = 600 ÷ 144 = 4.16 → 4 times (after start)
తెలుగు: LCM = 144 సెకన్లకు ఒకసారి కలుసుకుంటాయి.
10 నిమిషాలు = 600 సెకన్లు.
600 ÷ 144 = 4 సార్లు (మొదటి కలయిక వదిలి).

6 / 50
6. 450, 540, 630 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 450, 540 and 630?
A. 60
B. 45
C. 90
D. 30

450=2×3²×5² | 540=2²×3³×5 | 630=2×3²×5×7
Common primes: 2 and 3 and 5
GCD = 2¹ × 3² × 5¹ = 2×9×5 = 90
తెలుగు: మూడింటిలో 2, 3, 5 ఉమ్మడి primes.
కనిష్ట శక్తులు → 2¹×3²×5¹ = 90.
Check: 450÷90=5 ✓ | 540÷90=6 ✓ | 630÷90=7 ✓

7 / 50
7. LCM × GCD = రెండు సంఖ్యల ____
LCM × GCD = ____ of the two numbers
A. భాగఫలం
B. మొత్తం
C. భేదం
D. లబ్ధం

Key Formula: LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b
Example: LCM(4,6)=12, GCD(4,6)=2 → 12×2=24 = 4×6 ✓
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల LCM మరియు GCD లబ్ధం = ఆ సంఖ్యల లబ్ధం.
ఇది చాలా ముఖ్యమైన సూత్రం — exam లో తరచుగా వస్తుంది!

8 / 50
8. 9 మరియు 27 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 9 and 27?
A. 27
B. 9
C. 6
D. 3

9 = 3² | 27 = 3³ → GCD = 3² = 9
When one number divides the other → GCD = the smaller number.
తెలుగు: 27 = 9 × 3, అంటే 9 అనేది 27 ని భాగిస్తుంది.
కాబట్టి GCD = చిన్న సంఖ్య = 9.

9 / 50
9. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 24 రెట్లు. వాటి మొత్తం 50. సంఖ్యలు ఏవి?
LCM is 24 times GCD. Sum of numbers = 50. Find the numbers.
A. 2 మరియు 48
B. 6 మరియు 44
C. 10 మరియు 40
D. 8 మరియు 42

LCM = 24×GCD = 24d, numbers = dx, dy (co-prime)
d(x+y) = 50, LCM = dxy = 24d → xy = 24
d(x+y) = 50 → possibilities: d=1:x+y=50,xy=24; d=2:x+y=25,xy=24; d=5:x+y=10,xy=24(no)
d=2: x+y=25, xy=24 → x=1,y=24 (1×24=24✓,1+24=25✓, GCD(1,24)=1✓)
Numbers: 2×1=2 and 2×24=48
తెలుగు: d=2, x=1, y=24 → సంఖ్యలు 2 మరియు 48.
Check: 2+48=50 ✓ | LCM(2,48)=48, GCD=2, 48=24×2 ✓

10 / 50
10. జతపరచండి: ప్రధాన కారణాంక విభజన – HCF
Column A: 1. 36=2²×3², 48=2⁴×3; HCF=? 2. 84=2²×3×7, 90=2×3²×5; HCF=? 3. 72=2³×3², 120=2³×3×5; HCF=? 4. 45=3²×5, 75=3×5²; HCF=?
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
Match: Prime Factorisation – HCF
Column A: 1. 36,48 2. 84,90 3. 72,120 4. 45,75
Column B: i. 6 ii. 12 iii. 15 iv. 24
A. D) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
B. B) 1-iv, 2-i, 3-ii, 4-iii
C. A) 1-iii, 2-i, 3-iv, 4-ii
D. C) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i

HCF=product of common prime factors with lowest powers. 36,48: HCF=2²×3=12. 84,90: HCF=2×3=6. 72,120: HCF=2³×3=24. 45,75: HCF=3×5=15.
HCF=ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం (తక్కువ ఘాతాంకాలతో). 36,48:12. 84,90:6. 72,120:24. 45,75:15.

11 / 50
11. రెండు సంఖ్యల GCD 15, LCM 180, ఒక సంఖ్య 45 అయితే రెండవ సంఖ్య?
GCD=15, LCM=180, one number=45. Find the second.
A. 60
B. 45
C. 30
D. 36

a × b = LCM × GCD
45 × b = 180 × 15 = 2700
b = 2700 ÷ 45 = 60
తెలుగు: లబ్ధం = LCM × GCD సూత్రం ఉపయోగించాలి.
45 × ? = 2700 → రెండవ సంఖ్య = 60.
Check: LCM(45,60)=180 ✓ | GCD(45,60)=15 ✓

12 / 50
12. A ప్రతి 8 రోజులకు, B ప్రతి 12 రోజులకు library వెళతారు. Jan 1న ఒకేసారి వెళితే తర్వాత ఎప్పుడు కలుస్తారు?
A goes to library every 8 days, B every 12 days. Met on Jan 1. Next meeting?
A. February 1
B. January 13
C. January 20
D. January 25

They meet again after LCM(8, 12) days.
LCM(8,12) = 2³ × 3 = 24 days
Jan 1 + 24 days = January 25
తెలుగు: మళ్ళీ కలిసే రోజు = LCM(8,12) = 24 రోజుల తర్వాత.
January 1 + 24 = January 25న కలుస్తారు.

13 / 50
13. 12, 18 మరియు 24 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 12, 18 and 24?
A. 144
B. 72
C. 36
D. 48

12 = 2²×3 | 18 = 2×3² | 24 = 2³×3
LCM = highest powers = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
తెలుగు: మూడు సంఖ్యల LCM కనుగొనాలంటే అన్నింటిలో అత్యధిక శక్తులు తీసుకోవాలి.
2 యొక్క maximum = 2³, 3 యొక్క maximum = 3² → LCM = 72.

14 / 50
14. 24 మరియు 36 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 24 and 36?
A. 6
B. 12
C. 8
D. 4

24 = 2³ × 3 | 36 = 2² × 3² → GCD = 2² × 3¹ = 12
తెలుగు: రెండింటిలో కనిష్ట శక్తులు తీసుకోవాలి.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3¹ → GCD = 4 × 3 = 12.

15 / 50
15. 1 నుండి 20 వరకు అన్ని సంఖ్యల LCM ఎంత?
What is the LCM of all numbers from 1 to 20?
A. 3603600
B. 116396280
C. 184756320
D. 232792560

Highest prime powers ≤ 20:
2⁴=16, 3²=9, 5¹=5, 7¹=7, 11,13,17,19
LCM = 16×9×5×7×11×13×17×19 = 232792560
తెలుగు: 20 కంటే తక్కువ లేదా సమాన prime శక్తులు:
2⁴, 3², 5, 7, 11, 13, 17, 19.
వాటి లబ్ధం = 232792560.

16 / 50
16. 2 మరియు 8 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 2 and 8?
A. 8
B. 2
C. 4
D. 6

2 = 2¹ | 8 = 2³ → LCM = 2³ = 8
When one number divides the other → LCM = the larger number.
తెలుగు: 8 = 2 × 4, అంటే 8 అనేది 2 యొక్క గుణిజం.
అందువల్ల LCM = పెద్ద సంఖ్య = 8.

17 / 50
17. 3 మరియు 5 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 3 and 5?
A. 15
B. 20
C. 8
D. 10

3 and 5 are co-prime (no common factor except 1).
When two numbers are co-prime → LCM = their product = 3 × 5 = 15
తెలుగు: 3 మరియు 5 co-prime సంఖ్యలు (ఉమ్మడి కారణాంకం 1 మాత్రమే).
అలాంటప్పుడు LCM = రెండి లబ్ధం = 15.

18 / 50
18. రెండు సంఖ్యల LCM = 480, GCD = 8. ఒక సంఖ్య 96 అయితే రెండవ సంఖ్య, మరియు రెండు సంఖ్యల మొత్తం?
LCM=480, GCD=8, one number=96. Find second number and their sum.
A. 48 మరియు 144
B. 35 మరియు 131
C. 30 మరియు 126
D. 40 మరియు 136

a × b = LCM × GCD = 480 × 8 = 3840
96 × b = 3840 → b = 40
Sum = 96 + 40 = 136
Verify: LCM(96,40)=480 ✓ | GCD(96,40)=8 ✓
తెలుగు: 96 × ? = 480 × 8 = 3840 → రెండవ సంఖ్య = 40.
మొత్తం = 96 + 40 = 136.
Verify: LCM(96,40) = 480 ✓ | GCD(96,40) = 8 ✓

19 / 50
19. ఒక సంఖ్య యొక్క సన్నిహిత కారణాంకాల (n మరియు n+1 రూపంలో) జత ఉందా? GCD మరియు LCM వివరించండి.
Do consecutive divisors (form n, n+1) exist for any number? Explain using GCD and LCM.
A. అసాధ్యం
B. ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే
C. n+n+1 తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి
D. n(n+1) తప్పనిసరిగా N ని భాగించాలి

If n and n+1 both divide N, then LCM(n,n+1) must divide N.
Since GCD(n,n+1)=1, LCM(n,n+1) = n(n+1).
So n(n+1) | N — N must be a multiple of n(n+1).
Example: N=12, divisors include 3 and 4 → LCM(3,4)=12 divides 12 ✓
తెలుగు: n మరియు n+1 రెండూ N ని భాగిస్తే, n(n+1) కూడా N ని భాగించాలి.
ఉదా: 12 ని 3 మరియు 4 రెండూ భాగిస్తాయి → LCM(3,4)=12 | 12 ✓.

20 / 50
20. రెండు సంఖ్యల LCM 90, ఒక సంఖ్య 18, GCD 6 అయితే రెండవ సంఖ్య?
LCM=90, one number=18, GCD=6. Find the second number.
A. 45
B. 60
C. 30
D. 15

Formula: a × b = LCM × GCD
18 × b = 90 × 6 = 540
b = 540 ÷ 18 = 30
తెలుగు: a × b = LCM × GCD సూత్రం వాడాలి.
18 × ? = 540 → రెండవ సంఖ్య = 30.
Check: LCM(18,30)=90 ✓ | GCD(18,30)=6 ✓

21 / 50
21. 5 మరియు 7 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 5 and 7?
A. 35
B. 12
C. 45
D. 25

5 and 7 are both prime numbers → co-prime to each other.
LCM of two primes = their product = 5 × 7 = 35
తెలుగు: 5 మరియు 7 రెండూ అభాజ్య సంఖ్యలు కాబట్టి వాటి LCM = 5 × 7 = 35.

22 / 50
22. p మరియు q co-prime. p|n మరియు q|n అయితే pq|n అని చెప్పే theorem ఏది?
If p,q are co-prime, p|n and q|n, then pq|n. Which theorem states this?
A. Wilson's Theorem
B. Fermat's Little Theorem
C. Euclid's Lemma
D. Chinese Remainder Theorem

This is a corollary of the Chinese Remainder Theorem (CRT).
Also follows from: if GCD(p,q)=1, LCM(p,q)=pq, and both p,q divide n → pq divides n.
తెలుగు: p మరియు q co-prime, రెండూ n ని భాగిస్తే, pq కూడా n ని భాగిస్తుంది.
ఇది Chinese Remainder Theorem యొక్క consequence.
ఉదా: 4|60 మరియు 9|60, GCD(4,9)=1 → 36|60? 60÷36 = 1R24 ✗ — correct example: 4|36, 9|36, 36|36 ✓

23 / 50
23. a, b, c లు పరస్పర co-prime అయితే LCM(ab, bc, ca) ఎంత?
If a, b, c are pairwise co-prime, what is LCM(ab, bc, ca)?
A. ab
B. a²b²c²
C. a+b+c
D. abc

Since a,b,c are pairwise co-prime, each prime appears in at most one of them.
ab contains primes of a and b
bc contains primes of b and c
ca contains primes of c and a
LCM = all primes together = abc
తెలుగు: a,b,c పరస్పర co-prime కాబట్టి వాటి prime factors వేర్వేరు.
ab, bc, ca మూడింటిలో కలిసిన prime factors = a, b, c అన్నీ.
LCM = abc.
ఉదా: a=2,b=3,c=5 → LCM(6,15,10) = 30 = 2×3×5 ✓

24 / 50
24. రెండు అభాజ్య సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి ఎన్ని రెట్లు?
LCM of two different prime numbers is how many times their GCD?
A. p+q
B. p×q రెట్లు
C. p-q
D. 1

Two different primes p and q:
GCD(p,q) = 1 (they are co-prime)
LCM(p,q) = p × q
Ratio = LCM/GCD = pq/1 = pq
తెలుగు: రెండు వేర్వేరు అభాజ్య సంఖ్యల GCD = 1.
LCM = వాటి లబ్ధం = pq.
LCM/GCD = pq ÷ 1 = pq రెట్లు.

25 / 50
25. Fibonacci: GCD(F₁₂, F₈) = F(GCD(12,8)). F₄ = 3 అయితే GCD ఎంత?
GCD(F₁₂, F₈) = F(GCD(12,8)). Given F₄=3, find the GCD.
A. 1
B. 5
C. 3
D. 8

Fibonacci GCD Property: GCD(Fₘ, Fₙ) = F(GCD(m,n))
GCD(12, 8) = 4
Therefore GCD(F₁₂, F₈) = F₄ = 3
తెలుగు: Fibonacci సంఖ్యల యొక్క GCD ప్రత్యేక గుణం.
ముందు GCD(12,8) = 4 కనుగొనాలి.
తర్వాత F₄ = 3 → అదే answer.

26 / 50
26. రెండు సంఖ్యల LCM 48, GCD 8. ఒక సంఖ్య 16 అయితే రెండవ సంఖ్య ఎంత?
LCM=48, GCD=8, one number=16. Find the second number.
A. 48
B. 32
C. 12
D. 24

Formula: a × b = LCM × GCD
16 × b = 48 × 8 = 384 → b = 384 ÷ 16 = 24
తెలుగు: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = LCM × GCD.
16 × ? = 48 × 8 = 384 → రెండవ సంఖ్య = 24.
Check: LCM(16,24)=48 ✓ | GCD(16,24)=8 ✓

27 / 50
27. 12 మరియు 18 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 12 and 18?
A. 36
B. 24
C. 72
D. 18

LCM = Least Common Multiple → Smallest number divisible by both.
12 = 2² × 3 | 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
తెలుగు: LCM అంటే రెండు సంఖ్యలూ నిక్షేపంగా భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య.
12 మరియు 18 రెండింటినీ భాగించే అతి చిన్న సంఖ్య 36.

28 / 50
28. a మరియు b co-prime అయితే LCM(2a, 3b) ఎంత?
If a and b are co-prime, what is LCM(2a, 3b)?
A. 3ab
B. 6ab
C. ab
D. 2ab

Since a,b are co-prime and 2,3 are different primes:
2a and 3b share no common factors → LCM = 2a × 3b = 6ab
తెలుగు: a,b co-prime కాబట్టి 2a మరియు 3b మధ్య ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
LCM = వాటి లబ్ధం = 6ab.
ఉదా: a=5, b=7 → LCM(10,21) = 210 = 6×5×7 ✓

29 / 50
29. 126 మరియు 198 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 126 and 198?
A. 9
B. 6
C. 36
D. 18

Euclid's Algorithm:
198 = 126×1 + 72 → GCD(198,126) = GCD(126,72)
126 = 72×1 + 54 → GCD(126,72) = GCD(72,54)
72 = 54×1 + 18 → GCD(72,54) = GCD(54,18)
54 = 18×3 + 0 → GCD = 18
తెలుగు: ప్రతిసారి పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే చివరికి GCD = 18.

30 / 50
30. 1000 కంటే తక్కువ సంఖ్యలలో 12 మరియు 18 రెండింటితో భాగించబడేవి ఎన్ని?
How many numbers less than 1000 are divisible by both 12 and 18?
A. 25
B. 22
C. 30
D. 27

Must be divisible by LCM(12,18) = 36
Count of multiples of 36 less than 1000:
⌊999 ÷ 36⌋ = 27
తెలుగు: 12 మరియు 18 రెండింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు = LCM(12,18)=36 యొక్క గుణిజాలు.
1000 కంటే తక్కువ 36 గుణిజాలు: 36,72,...,972 → మొత్తం 27 సంఖ్యలు.

31 / 50
31. GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — ఇది ఏ algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక?
GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — which algorithm is based on this?
A. Wilson's theorem
B. Fermat's theorem
C. Euclid's Algorithm
D. Chinese Remainder Theorem

This is the fundamental step of Euclid's Algorithm.
It works because: if d divides both a and b, then d also divides (a mod b).
So GCD doesn't change when we replace a with a mod b.
తెలుగు: ఇది Euclid's Algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక.
పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే GCD మారదు.
శేషం 0 వచ్చినప్పుడు చిన్న సంఖ్య = GCD.

32 / 50
32. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2:3, LCM 36. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 2:3 and LCM=36. What are the numbers?
A. 10 మరియు 15
B. 6 మరియు 9
C. 8 మరియు 12
D. 12 మరియు 18

Numbers = 2k and 3k → LCM(2k, 3k) = 6k (since GCD(2,3)=1)
6k = 36 → k = 6 → Numbers = 12 and 18
తెలుగు: 2:3 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 2k మరియు 3k.
LCM = 6k = 36 → k = 6 → సంఖ్యలు 12 మరియు 18.
Check: LCM(12,18) = 36 ✓ | Ratio = 12:18 = 2:3 ✓

33 / 50
33. 15 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15 and 25?
A. 1
B. 5
C. 15
D. 3

15 = 3 × 5 | 25 = 5² → GCD = take lowest powers → 5¹ = 5
తెలుగు: GCD కు రెండు సంఖ్యలలో కనీస శక్తులు తీసుకోవాలి.
రెండింటిలో 5 ఉంది, కానీ 15 లో 5 ఒకసారి మాత్రమే → GCD = 5.

34 / 50
34. p అభాజ్య సంఖ్య. GCD(p^a, p^b) = ? (a < b) p is prime. GCD(p^a, p^b) = ? where a < b
A. p^b
B. p^(b-a)
C. p^(a+b)
D. p^a

p^a = p^a × 1 | p^b = p^b × 1
Both are powers of same prime p.
GCD = p^min(a,b) = p^a (since a < b)తెలుగు: ఒకే prime యొక్క రెండు శక్తుల GCD = చిన్న శక్తి. a < b కాబట్టి GCD = p^a. ఉదా: GCD(2⁴, 2⁷) = 2⁴ = 16 ✓

35 / 50
35. జతపరచండి: HCF మరియు LCM సంబంధాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2. అభాజ్య సంఖ్యల HCF 3. సహ-అభాజ్యాల LCM 4. HCF × LCM
Column B: i. రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం ii. వాటి లబ్ధం iii. 1 iv. 1
Match: HCF-LCM Relations
Column A: 1. Product of two numbers 2. HCF of primes 3. LCM of co-primes 4. HCF × LCM
Column B: i. Equals product of numbers ii. Their product iii. 1 iv. 1
A. C) 1-iv, 2-iii, 3-i, 4-ii
B. A) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i
C. B) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
D. D) 1-i, 2-ii, 3-iv, 4-iii

Product of two numbers = HCF × LCM. HCF of primes = 1 (no common factors). LCM of co-primes = their product. HCF × LCM = product of numbers.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM. అభాజ్యాల HCF=1. సహ-అభాజ్యాల LCM = వాటి లబ్ధం.

36 / 50
36. జతపరచండి: మూడు సంఖ్యల HCF
Column A: 1. HCF(6,9,12) 2. HCF(12,18,24) 3. HCF(15,20,25) 4. HCF(8,16,24)
Column B: i. 8 ii. 3 iii. 5 iv. 6
Match: HCF of Three Numbers
Column A: 1. HCF(6,9,12) 2. HCF(12,18,24) 3. HCF(15,20,25) 4. HCF(8,16,24)
Column B: i. 8 ii. 3 iii. 5 iv. 6
A. C) 1-iii, 2-ii, 3-iv, 4-i
B. D) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i
C. A) 1-iv, 2-i, 3-ii, 4-iii
D. B) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii

HCF(6,9,12)=3. HCF(12,18,24)=6. HCF(15,20,25)=5. HCF(8,16,24)=8.
మూడు సంఖ్యల HCF: ముందు రెండింటి HCF తీసుకొని మూడవ సంఖ్యతో HCF కనుగొనాలి.

37 / 50
37. 8 మరియు 20 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8 and 20?
A. 32
B. 24
C. 40
D. 20

8 = 2³ | 20 = 2² × 5 → LCM = 2³ × 5 = 40
తెలుగు: 2 యొక్క అత్యధిక శక్తి → 2³, 5 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 8 × 5 = 40.
Check: 40 ÷ 8 = 5 ✓ | 40 ÷ 20 = 2 ✓

38 / 50
38. మూడు గంటలు 15, 20, 30 నిమిషాలకు ఒకసారి మోగుతాయి. అన్నీ కలిసి మోగిన తర్వాత ఎన్ని నిమిషాలకు మళ్ళీ కలిసి మోగుతాయి?
Bells ring every 15, 20, 30 minutes. After ringing together, when will they next ring together?
A. 120 నిమిషాలు
B. 30 నిమిషాలు
C. 60 నిమిషాలు
D. 90 నిమిషాలు

They ring together again after LCM(15, 20, 30) minutes.
15=3×5 | 20=2²×5 | 30=2×3×5 → LCM = 2²×3×5 = 60 minutes
తెలుగు: గంటలన్నీ మళ్ళీ ఒకేసారి మోగే సమయం = LCM.
15, 20, 30 యొక్క LCM = 60 నిమిషాలు = 1 గంట తర్వాత.

39 / 50
39. జతపరచండి: HCF మరియు LCM – రెండు సంఖ్యలు కనుగొనడం
Column A: 1. HCF=4, LCM=48, ఒక సంఖ్య=12; రెండవది=? 2. HCF=6, LCM=72, ఒక సంఖ్య=18; రెండవది=? 3. HCF=5, LCM=100, ఒక సంఖ్య=25; రెండవది=? 4. HCF=3, LCM=90, ఒక సంఖ్య=9; రెండవది=?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
Match: Finding Numbers from HCF and LCM
Column A: 1. HCF=4,LCM=48,one=12; other? 2. HCF=6,LCM=72,one=18; other? 3. HCF=5,LCM=100,one=25; other? 4. HCF=3,LCM=90,one=9; other?
Column B: i. 20 ii. 16 iii. 24 iv. 30
A. B) 1-iii, 2-iv, 3-ii, 4-i
B. D) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
C. C) 1-ii, 2-iii, 3-i, 4-iv
D. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii

Other number = HCF×LCM / known number. 4×48/12=16. 6×72/18=24. 5×100/25=20. 3×90/9=30.
రెండవ సంఖ్య = HCF×LCM / తెలిసిన సంఖ్య. 48×4/12=16. 72×6/18=24. 100×5/25=20. 90×3/9=30.

40 / 50
40. 8 మరియు 12 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 8 and 12?
A. 8
B. 4
C. 6
D. 2

GCD = Greatest Common Divisor → Largest number that divides both.
8 = 2³ | 12 = 2² × 3 → GCD = 2² = 4
తెలుగు: GCD అంటే రెండు సంఖ్యలను భాగించగలిగే అతి పెద్ద సంఖ్య.
8 మరియు 12 రెండింటినీ భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య 4.

41 / 50
41. 144 మరియు 180 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 144 and 180?
A. 24
B. 18
C. 12
D. 36

144 = 2⁴ × 3² | 180 = 2² × 3² × 5
GCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 3 ఉమ్మడి primes.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3² → GCD = 4 × 9 = 36.
Check: 144÷36=4 ✓ | 180÷36=5 ✓

42 / 50
42. GCD(a,b) మరియు LCM(a,b) ఉపయోగించి a² + b² కనుగొనగలమా? GCD=6, LCM=72 అయితే a²+b² = ?
GCD=6, LCM=72. Find a²+b².
A. 720
B. 780
C. 864
D. 900

a×b = GCD×LCM = 6×72 = 432
(a+b)² = a²+2ab+b² and (a-b)² = a²-2ab+b²
Numbers with GCD=6: a=6x, b=6y, LCM=6xy=72 → xy=12
Co-prime pairs: (1,12)→sum=13×6=78, (3,4)→sum=7×6=42
Try (3,4): a=18, b=24 → a²+b² = 324+576 = 900
తెలుగు: GCD=6, LCM=72 → xy=12, co-prime జత (3,4) → a=18, b=24.
a²+b² = 18²+24² = 324+576 = 900.

43 / 50
43. 11 మరియు 22 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 11 and 22?
A. 11
B. 44
C. 33
D. 22

22 = 11 × 2 → 11 divides 22 → LCM = 22
తెలుగు: 22 అనేది 11 యొక్క రెట్టింపు.
ఒక సంఖ్య మరొకదాన్ని భాగిస్తే LCM = పెద్ద సంఖ్య.
అందువల్ల LCM = 22.

44 / 50
44. వరుస సంఖ్యలు n మరియు (n+1) యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of consecutive numbers n and (n+1)?
A. 1
B. 2
C. n+1
D. n

Consecutive integers always differ by 1.
Any common divisor of n and n+1 must also divide their difference = 1.
Therefore GCD(n, n+1) = 1 always. They are always co-prime!
తెలుగు: వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం 1.
వాటి ఉమ్మడి కారణాంకం 1 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
ఉదా: GCD(7,8)=1 ✓ | GCD(15,16)=1 ✓

45 / 50
45. జతపరచండి: Euclidean Algorithm – HCF
Column A: 1. HCF(48,18) 2. HCF(56,98) 3. HCF(100,75) 4. HCF(144,60)
Column B: i. 12 ii. 14 iii. 25 iv. 6
Match: Euclidean Algorithm – HCF
Column A: 1. HCF(48,18) 2. HCF(56,98) 3. HCF(100,75) 4. HCF(144,60)
Column B: i. 12 ii. 14 iii. 25 iv. 6
A. B) 1-ii, 2-i, 3-iv, 4-iii
B. D) 1-i, 2-iii, 3-ii, 4-iv
C. C) 1-iii, 2-iv, 3-i, 4-ii
D. A) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i

HCF(48,18): 48=2×18+12; 18=1×12+6; 12=2×6 → HCF=6. HCF(56,98): 98=1×56+42; 56=1×42+14 → HCF=14. HCF(100,75)=25. HCF(144,60)=12.
Euclidean: పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదిచే భాగించి శేషం తీసుకుంటూ శేషం 0 అయ్యే వరకు చేయాలి.

46 / 50
46. 8, 12 మరియు 16 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8, 12 and 16?
A. 24
B. 96
C. 32
D. 48

8 = 2³ | 12 = 2² × 3 | 16 = 2⁴
LCM = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48
తెలుగు: మూడింటిలో 2 యొక్క maximum = 2⁴ = 16, 3 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 16 × 3 = 48.
Check: 48÷8=6 ✓ | 48÷12=4 ✓ | 48÷16=3 ✓

47 / 50
47. జతపరచండి: LCM అనుప్రయోగ సమస్యలు
Column A: 1. 3,4,5 మిని నిమిషాలకు ఒకసారి మోగే గంటలు కలిసే కాలం 2. 12,15,18 సంఖ్యలకు కనిష్ట సంఖ్య 3. 4,6 చే భాగింపబడే 3 అంకెల చిన్న సంఖ్య 4. 5,6,7 చే భాగింపబడే అతిచిన్న సంఖ్య
Column B: i. 180 ii. 60 iii. 108 iv. 210
Match: LCM Application Problems
Column A: 1. Bells ringing every 3,4,5 min; meet after? 2. Smallest number divisible by 12,15,18 3. Smallest 3-digit number divisible by 4,6 4. Smallest divisible by 5,6,7
Column B: i. 180 ii. 60 iii. 108 iv. 210
A. B) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i
B. D) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
C. C) 1-ii, 2-iv, 3-i, 4-iii
D. A) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv

LCM(3,4,5)=60 min. LCM(12,15,18)=180. LCM(4,6)=12; smallest 3-digit = 108. LCM(5,6,7)=210.
LCM(3,4,5)=60. LCM(12,15,18)=180. 4,6 కి LCM=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. LCM(5,6,7)=210.

48 / 50
48. 20 మరియు 30 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 20 and 30?
A. 20
B. 10
C. 2
D. 5

20 = 2² × 5 | 30 = 2 × 3 × 5 → GCD = 2¹ × 5¹ = 10
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 5 ఉన్నాయి.
కనిష్ట శక్తులు తీసుకుంటే → 2¹ × 5¹ = 10. అదే GCD.

49 / 50
49. GCD(a,b) = 1 అయితే GCD(a+b, ab) ఎంత?
If GCD(a,b)=1, what is GCD(a+b, ab)?
A. a
B. a+b
C. 1
D. ab

If GCD(a,b)=1 (co-prime), then:
Any prime p dividing both (a+b) and ab must divide a or b.
If p|a and p|(a+b) then p|b → contradiction since GCD(a,b)=1.
Therefore GCD(a+b, ab) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime అయితే (a+b) మరియు ab కూడా co-prime.
ఉదా: a=3, b=5 → a+b=8, ab=15 → GCD(8,15)=1 ✓

50 / 50
50. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, వాటి GCD 12. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 3:4, GCD=12. What are the numbers?
A. 24 మరియు 32
B. 36 మరియు 48
C. 12 మరియు 16
D. 15 మరియు 20

If ratio = 3:4 and GCD = d → numbers = 3d and 4d
Here d = 12 → numbers = 3×12=36 and 4×12=48
Verify: GCD(36,48) = 12 ✓ | Ratio = 36:48 = 3:4 ✓
తెలుగు: 3:4 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 3k మరియు 4k అని.
GCD = k = 12 → సంఖ్యలు 36 మరియు 48.

LinkedIn Facebook VKontakte
0%
Anonymous feedback

Post Views: 156

LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.

స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.

సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న 'Complaint Box'లో తెలియజేయవచ్చు.

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Report a question

​ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

​అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

​ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

​సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.