LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

/50

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)
అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:
ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.
సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.
స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.
ఆటోమేటిక్ సబ్మిషన్: 50 నిమిషాల సమయం ముగియగానే, మీరు సబ్మిట్ చేయకపోయినా మీ సమాధానాలు ఆటోమేటిక్‌గా సేవ్ చేయబడతాయి.
నావిగేషన్:
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్లడానికి 'Next' బటన్ నొక్కండి.
మునుపటి ప్రశ్నకు వెళ్లి సమాధానం మార్చుకోవడానికి 'Previous' బటన్ ఉపయోగించవచ్చు.
సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న **'Complaint Box'**లో తెలియజేయవచ్చు.

ఫలితాలు & : * పరీక్ష పూర్తయిన వెంటనే మీ మార్కులు (Marks) స్క్రీన్ పై కనిపిస్తాయి.

గమనిక: పరీక్ష మధ్యలో పేజీని 'Refresh' చేయకండి.
ఈ పరీక్షలపై అభిప్రాయాలను తప్పకుండా తెలియచేయండి. మా వెబ్సైటు subscribe చేసుకోండి.ప్రతి పరీక్ష upload చేసిన వెంటనే మీకు నోటిఫికేషన్ వస్తుంది. ఆల్ ది బెస్ట్ & press START
LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

1 / 50
1. n!(n factorial) యొక్క అన్ని కారణాంకాల LCM ఎంత?
What is the LCM of all factors of n! (n factorial)?
A. n!+1
B. (n-1)!
C. n!/2
D. n!

n! is divisible by all its factors.
The LCM of all factors of n! = n! itself
(because n! is the largest factor and is divisible by all others)
తెలుగు: n! యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలో n! అతి పెద్దది.
అన్ని కారణాంకాలు n! ని భాగిస్తాయి కాబట్టి LCM = n! itself.
ఉదా: 6 యొక్క కారణాంకాలు: 1,2,3,6 → LCM(1,2,3,6) = 6 ✓

2 / 50
2. n×(n+1)×(n+2) అనే వరుస మూడు సంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ దేనితో భాగించబడుతుంది?
Product of three consecutive numbers n(n+1)(n+2) is always divisible by?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Among any 3 consecutive integers, at least one is divisible by 3, and at least one (possibly another) by 2.
Also one is divisible by 2, so product is divisible by 2×3=6.
In fact, it's always divisible by 6. Actually n(n+1)(n+2) = 6 × C(n+2,3) → divisible by 6.
తెలుగు: వరుస మూడు సంఖ్యలలో ఒకటి 3తో, ఒకటి 2తో భాగించబడుతుంది.
కాబట్టి లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ 6తో భాగించబడుతుంది.
ఉదా: 3×4×5=60, 60÷6=10 ✓ | 5×6×7=210, 210÷6=35 ✓

3 / 50
3. ఒక సంఖ్యను 12, 15, 20 లతో భాగించినా 3 శేషం వస్తే, అతి చిన్న అలాంటి సంఖ్య?
A number leaves remainder 3 when divided by 12, 15, 20. Find the smallest such number.
A. 33
B. 43
C. 73
D. 63

LCM(12,15,20) = 60
Required numbers = 60k + 3
Smallest = 60×1 + 3 = 63
తెలుగు: 12, 15, 20 లన్నింటికీ 3 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 60k + 3.
అతి చిన్నది k=1 → 63.
Check: 63÷12=5 R3 ✓ | 63÷15=4 R3 ✓ | 63÷20=3 R3 ✓

4 / 50
4. n మరియు n+1 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of n and n+1?
A. n(n+1)
B. n
C. n+1
D. n²+1

Consecutive numbers n and n+1 are always co-prime → GCD = 1
Formula: LCM = (n × (n+1)) / GCD = n(n+1) / 1 = n(n+1)
తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ co-prime (GCD=1).
కాబట్టి LCM = n × (n+1).
ఉదా: LCM(5,6) = 30 = 5×6 ✓ | LCM(7,8) = 56 = 7×8 ✓

5 / 50
5. 14 మరియు 21 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 14 and 21?
A. 2
B. 7
C. 21
D. 14

14 = 2 × 7 | 21 = 3 × 7 → Common prime = 7 → GCD = 7
తెలుగు: 14 మరియు 21 రెండింటిలో 7 ఉమ్మడి కారణాంకం.
14 ÷ 7 = 2 ✓ | 21 ÷ 7 = 3 ✓ → GCD = 7.

6 / 50
6. Fibonacci: GCD(F₁₂, F₈) = F(GCD(12,8)). F₄ = 3 అయితే GCD ఎంత?
GCD(F₁₂, F₈) = F(GCD(12,8)). Given F₄=3, find the GCD.
A. 8
B. 1
C. 5
D. 3

Fibonacci GCD Property: GCD(Fₘ, Fₙ) = F(GCD(m,n))
GCD(12, 8) = 4
Therefore GCD(F₁₂, F₈) = F₄ = 3
తెలుగు: Fibonacci సంఖ్యల యొక్క GCD ప్రత్యేక గుణం.
ముందు GCD(12,8) = 4 కనుగొనాలి.
తర్వాత F₄ = 3 → అదే answer.

7 / 50
7. ఒక సంఖ్యను 5, 6, 7, 8 లతో భాగించినా 3 శేషం వస్తే అతి చిన్న 4 అంకెల సంఖ్య?
Remainder is 3 when divided by 5,6,7,8. Smallest 4-digit such number?
A. 3363
B. 843
C. 2523
D. 1683

LCM(5,6,7,8) = 840
Numbers = 840k + 3
k=1 → 843 (3 digits)
k=2 → 1683 (4 digits!) ✓
తెలుగు: 5,6,7,8 కు 3 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 840k+3.
843 మూడు అంకెలు, 1683 నాలుగు అంకెలు → 1683.
Check: 1683÷5=336R3 ✓|÷6=280R3 ✓|÷7=240R3 ✓|÷8=210R3 ✓

8 / 50
8. జతపరచండి: HCF మరియు LCM సంబంధాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2. అభాజ్య సంఖ్యల HCF 3. సహ-అభాజ్యాల LCM 4. HCF × LCM
Column B: i. రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం ii. వాటి లబ్ధం iii. 1 iv. 1
Match: HCF-LCM Relations
Column A: 1. Product of two numbers 2. HCF of primes 3. LCM of co-primes 4. HCF × LCM
Column B: i. Equals product of numbers ii. Their product iii. 1 iv. 1
A. C) 1-iv, 2-iii, 3-i, 4-ii
B. A) 1-ii, 2-iv, 3-iii, 4-i
C. B) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
D. D) 1-i, 2-ii, 3-iv, 4-iii

Product of two numbers = HCF × LCM. HCF of primes = 1 (no common factors). LCM of co-primes = their product. HCF × LCM = product of numbers.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM. అభాజ్యాల HCF=1. సహ-అభాజ్యాల LCM = వాటి లబ్ధం.

9 / 50
9. 20 మరియు 30 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 20 and 30?
A. 20
B. 5
C. 2
D. 10

20 = 2² × 5 | 30 = 2 × 3 × 5 → GCD = 2¹ × 5¹ = 10
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 5 ఉన్నాయి.
కనిష్ట శక్తులు తీసుకుంటే → 2¹ × 5¹ = 10. అదే GCD.

10 / 50
10. 144 మరియు 180 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 144 and 180?
A. 36
B. 18
C. 12
D. 24

144 = 2⁴ × 3² | 180 = 2² × 3² × 5
GCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
తెలుగు: రెండింటిలో 2 మరియు 3 ఉమ్మడి primes.
2 కనిష్టం → 2², 3 కనిష్టం → 3² → GCD = 4 × 9 = 36.
Check: 144÷36=4 ✓ | 180÷36=5 ✓

11 / 50
11. 75 మరియు 100 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 75 and 100?
A. 25
B. 15
C. 5
D. 10

75 = 3 × 5² | 100 = 2² × 5²
Common prime = 5 → GCD = 5² = 25
తెలుగు: రెండింటిలో 5 మాత్రమే ఉమ్మడి prime.
5 యొక్క minimum power → 5² → GCD = 25.
Check: 75÷25=3 ✓ | 100÷25=4 ✓

12 / 50
12. GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — ఇది ఏ algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక?
GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) — which algorithm is based on this?
A. Fermat's theorem
B. Chinese Remainder Theorem
C. Euclid's Algorithm
D. Wilson's theorem

This is the fundamental step of Euclid's Algorithm.
It works because: if d divides both a and b, then d also divides (a mod b).
So GCD doesn't change when we replace a with a mod b.
తెలుగు: ఇది Euclid's Algorithm యొక్క ప్రాతిపదిక.
పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే GCD మారదు.
శేషం 0 వచ్చినప్పుడు చిన్న సంఖ్య = GCD.

13 / 50
13. 8, 12 మరియు 16 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8, 12 and 16?
A. 96
B. 32
C. 48
D. 24

8 = 2³ | 12 = 2² × 3 | 16 = 2⁴
LCM = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48
తెలుగు: మూడింటిలో 2 యొక్క maximum = 2⁴ = 16, 3 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 16 × 3 = 48.
Check: 48÷8=6 ✓ | 48÷12=4 ✓ | 48÷16=3 ✓

14 / 50
14. సంఖ్యను 3, 5, 7 లతో భాగించినా వరుసగా 1, 3, 5 శేషాలు వస్తే అతి చిన్న సంఖ్య?
Remainders are 1,3,5 when divided by 3,5,7. Find smallest such number.
A. 103
B. 113
C. 68
D. 52

x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 5 (mod 7)
Try x = 103: 103÷3=34 R1 ✓ | 103÷5=20 R3 ✓ | 103÷7=14 R5 ✓
తెలుగు: ఒక్కో condition పరీక్షించాలి.
x=103: 3తో భాగిస్తే 1 శేషం ✓, 5తో భాగిస్తే 3 శేషం ✓, 7తో భాగిస్తే 5 శేషం ✓.

15 / 50
15. a, b, c లు పరస్పర co-prime అయితే LCM(ab, bc, ca) ఎంత?
If a, b, c are pairwise co-prime, what is LCM(ab, bc, ca)?
A. a+b+c
B. abc
C. ab
D. a²b²c²

Since a,b,c are pairwise co-prime, each prime appears in at most one of them.
ab contains primes of a and b
bc contains primes of b and c
ca contains primes of c and a
LCM = all primes together = abc
తెలుగు: a,b,c పరస్పర co-prime కాబట్టి వాటి prime factors వేర్వేరు.
ab, bc, ca మూడింటిలో కలిసిన prime factors = a, b, c అన్నీ.
LCM = abc.
ఉదా: a=2,b=3,c=5 → LCM(6,15,10) = 30 = 2×3×5 ✓

16 / 50
16. జతపరచండి: HCF–LCM అనుప్రయోగాలు
Column A: 1. రెండు సంఖ్యలు 12, 18. HCF=6 అయితే LCM=? 2. LCM=60, HCF=5, ఒక సంఖ్య 15 అయితే రెండవ సంఖ్య? 3. HCF=8, సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, పెద్దది? 4. తక్కువ సమయంలో కలిసే కాలానికి LCM ఉపయోగం
Column B: i. 20 ii. 32 iii. 36 iv. కలిసే కాలం
Match: HCF-LCM Applications
Column A: 1. Numbers 12,18; HCF=6; LCM=? 2. LCM=60,HCF=5,one number=15; other=? 3. HCF=8, ratio 3:4; larger number? 4. When do they meet again?
Column B: i. 20 ii. 32 iii. 36 iv. LCM gives meeting time
A. C) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
B. B) 1-iv, 2-i, 3-iii, 4-ii
C. A) 1-i, 2-iii, 3-ii, 4-iv
D. D) 1-ii, 2-iv, 3-i, 4-iii

LCM=HCF×product/HCF=12×18/6=36. Other number=LCM×HCF/15=60×5/15=20. Larger=8×4=32. LCM finds meeting time.
LCM=12×18/6=36. రెండవ సంఖ్య=60×5/15=20. పెద్దది=8×4=32. కలిసే సమయానికి LCM వాడతాం.

17 / 50
17. జతపరచండి: Euclidean Algorithm – HCF
Column A: 1. HCF(48,18) 2. HCF(56,98) 3. HCF(100,75) 4. HCF(144,60)
Column B: i. 12 ii. 14 iii. 25 iv. 6
Match: Euclidean Algorithm – HCF
Column A: 1. HCF(48,18) 2. HCF(56,98) 3. HCF(100,75) 4. HCF(144,60)
Column B: i. 12 ii. 14 iii. 25 iv. 6
A. C) 1-iii, 2-iv, 3-i, 4-ii
B. D) 1-i, 2-iii, 3-ii, 4-iv
C. B) 1-ii, 2-i, 3-iv, 4-iii
D. A) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i

HCF(48,18): 48=2×18+12; 18=1×12+6; 12=2×6 → HCF=6. HCF(56,98): 98=1×56+42; 56=1×42+14 → HCF=14. HCF(100,75)=25. HCF(144,60)=12.
Euclidean: పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదిచే భాగించి శేషం తీసుకుంటూ శేషం 0 అయ్యే వరకు చేయాలి.

18 / 50
18. 9 మరియు 27 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 9 and 27?
A. 6
B. 3
C. 27
D. 9

9 = 3² | 27 = 3³ → GCD = 3² = 9
When one number divides the other → GCD = the smaller number.
తెలుగు: 27 = 9 × 3, అంటే 9 అనేది 27 ని భాగిస్తుంది.
కాబట్టి GCD = చిన్న సంఖ్య = 9.

19 / 50
19. జతపరచండి: LCM అనుప్రయోగ సమస్యలు
Column A: 1. 3,4,5 మిని నిమిషాలకు ఒకసారి మోగే గంటలు కలిసే కాలం 2. 12,15,18 సంఖ్యలకు కనిష్ట సంఖ్య 3. 4,6 చే భాగింపబడే 3 అంకెల చిన్న సంఖ్య 4. 5,6,7 చే భాగింపబడే అతిచిన్న సంఖ్య
Column B: i. 180 ii. 60 iii. 108 iv. 210
Match: LCM Application Problems
Column A: 1. Bells ringing every 3,4,5 min; meet after? 2. Smallest number divisible by 12,15,18 3. Smallest 3-digit number divisible by 4,6 4. Smallest divisible by 5,6,7
Column B: i. 180 ii. 60 iii. 108 iv. 210
A. C) 1-ii, 2-iv, 3-i, 4-iii
B. A) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv
C. D) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
D. B) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i

LCM(3,4,5)=60 min. LCM(12,15,18)=180. LCM(4,6)=12; smallest 3-digit = 108. LCM(5,6,7)=210.
LCM(3,4,5)=60. LCM(12,15,18)=180. 4,6 కి LCM=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. LCM(5,6,7)=210.

20 / 50
20. 126 మరియు 198 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 126 and 198?
A. 18
B. 9
C. 6
D. 36

Euclid's Algorithm:
198 = 126×1 + 72 → GCD(198,126) = GCD(126,72)
126 = 72×1 + 54 → GCD(126,72) = GCD(72,54)
72 = 54×1 + 18 → GCD(72,54) = GCD(54,18)
54 = 18×3 + 0 → GCD = 18
తెలుగు: ప్రతిసారి పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదితో భాగించి శేషం తీసుకుంటే చివరికి GCD = 18.

21 / 50
21. 8 మరియు 20 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 8 and 20?
A. 40
B. 24
C. 20
D. 32

8 = 2³ | 20 = 2² × 5 → LCM = 2³ × 5 = 40
తెలుగు: 2 యొక్క అత్యధిక శక్తి → 2³, 5 ఒకసారి వస్తుంది.
LCM = 8 × 5 = 40.
Check: 40 ÷ 8 = 5 ✓ | 40 ÷ 20 = 2 ✓

22 / 50
22. జతపరచండి: LCM మరియు HCF విలువలు
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
Match: LCM and HCF Values
Column A: 1. HCF(12,18) 2. LCM(4,6) 3. HCF(15,25) 4. LCM(8,12)
Column B: i. 5 ii. 24 iii. 12 iv. 6
A. A) 1-i, 2-iii, 3-iv, 4-ii
B. C) 1-iv, 2-ii, 3-iii, 4-i
C. D) 1-ii, 2-i, 3-iv, 4-iii
D. B) 1-iii, 2-iv, 3-i, 4-ii

HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24.
HCF(12,18)=6. LCM(4,6)=12. HCF(15,25)=5. LCM(8,12)=24. కారణాంక విభజన పద్ధతి ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

23 / 50
23. LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b ను నిరూపించడానికి ఏ method వాడతారు?
Which method proves LCM(a,b) × GCD(a,b) = a × b?
A. Direct proof
B. Induction method
C. Contradiction method
D. Prime factorization method

Using Prime Factorization:
For each prime p: max(α,β) + min(α,β) = α + β
where a = ∏p^α, b = ∏p^β
LCM uses max powers, GCD uses min powers → their product = a×b
తెలుగు: Prime factorization method వాడి నిరూపించవచ్చు.
ప్రతి prime కు: max + min = α + β.
కాబట్టి LCM × GCD = a × b.
ఉదా: a=12=2²×3, b=18=2×3² → LCM=36, GCD=6 → 36×6=216=12×18 ✓

24 / 50
24. రెండు సంఖ్యల LCM = 2^10 × 3^5, GCD = 2^3 × 3^2. ఒక సంఖ్య = 2^7 × 3^5 అయితే రెండవ సంఖ్య?
LCM=2¹⁰×3⁵, GCD=2³×3². One number=2⁷×3⁵. Find the other.
A. 2³×3⁵
B. 2¹⁰×3⁵
C. 2³×3²
D. 2¹⁰×3²

For each prime:
2: max(7, ?)=10 → ?=10 | min(7, ?)=3 → satisfied since 10>3 ✓
3: max(5, ?)=5 → ?≤5 | min(5, ?)=2 → ?=2
Second number = 2^10 × 3^2
తెలుగు: LCM లో maximum power, GCD లో minimum power.
2 కు: max(7,x)=10 → x=10 | 3 కు: min(5,y)=2 → y=2.
రెండవ సంఖ్య = 2¹⁰ × 3².

25 / 50
25. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి GCDకి 10 రెట్లు. GCD = 8 అయితే LCM ఎంత?
LCM is 10 times the GCD. GCD=8. Find LCM.
A. 18
B. 800
C. 8
D. 80

Given: LCM = 10 × GCD
LCM = 10 × 8 = 80
తెలుగు: LCM = 10 × GCD అని చెప్పారు.
GCD = 8 అయితే LCM = 10 × 8 = 80.
Note: LCM ఎల్లప్పుడూ GCD యొక్క గుణిజం అవుతుంది.

26 / 50
26. ఒక సంఖ్యను 13, 17 లతో భాగించినా వరుసగా 5, 8 శేషాలు వస్తే అతి చిన్న అలాంటి సంఖ్య?
Remainders are 5 and 8 when divided by 13 and 17. Find the smallest such number.
A. 161
B. 108
C. 44
D. 221

x ≡ 5 (mod 13) and x ≡ 8 (mod 17)
From first: x = 13k + 5
Substitute: 13k+5 ≡ 8 (mod 17) → 13k ≡ 3 (mod 17)
13×4=52≡1(mod17) → inverse of 13 is 4
k ≡ 4×3 = 12 (mod 17) → k=12 → x = 13×12+5 = 161
తెలుగు: x = 13k+5 ను 17తో భాగించినా 8 శేషం రావాలి.
k=12 → x = 156+5 = 161.
Check: 161÷13=12R5 ✓ | 161÷17=9R8 ✓

27 / 50
27. 10,000 కంటే తక్కువ 36, 48, 72 మూడింటితో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని?
How many numbers less than 10,000 are divisible by 36, 48 and 72?
A. 66
B. 55
C. 62
D. 69

LCM(36, 48, 72):
36=2²×3² | 48=2⁴×3 | 72=2³×3²
LCM = 2⁴×3² = 144
⌊9999 ÷ 144⌋ = 69
తెలుగు: మూడింటితో భాగించబడాలంటే LCM = 144 యొక్క గుణిజాలు.
10,000 కంటే తక్కువ 144 గుణిజాలు: 144,288,...,9936 → 69 సంఖ్యలు.

28 / 50
28. ఒక సంఖ్యను 6, 7, 8 లతో భాగించినా 2 శేషం వస్తే, అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య ఏది?
A number gives remainder 2 when divided by 6, 7, 8. Find smallest 3-digit such number.
A. 168
B. 170
C. 176
D. 164

Numbers of this type = LCM(6,7,8) × k + 2
LCM(6,7,8) = 168
k=1 → 170 (3 digits!) ✓
తెలుగు: 6, 7, 8 లతో భాగించినా 2 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు = 168k + 2.
k=1 → 170 అనేది మొదటి 3 అంకెల సంఖ్య.

29 / 50
29. A ప్రతి 12 నిమిషాలకు, B ప్రతి 18 నిమిషాలకు ఒక తోటను చుట్టి వస్తారు. ఒకే చోటు నుండి start చేస్తే ఎన్ని నిమిషాలకు కలుస్తారు?
A takes 12 min, B takes 18 min for one round. When do they meet at start?
A. 18 నిమిషాలు
B. 36 నిమిషాలు
C. 30 నిమిషాలు
D. 24 నిమిషాలు

They meet at starting point after LCM(12, 18) minutes.
LCM(12,18) = 2² × 3² = 36 minutes
తెలుగు: ఇద్దరూ మళ్ళీ ఒకే చోటికి వచ్చే సమయం = LCM.
A 36 నిమిషాల్లో 3 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷12=3 ✓).
B 36 నిమిషాల్లో 2 rounds పూర్తి చేస్తాడు (36÷18=2 ✓).

30 / 50
30. 100 కంటే తక్కువ సంఖ్యలలో 6తో భాగిస్తే 4 శేషం, 9తో భాగిస్తే 7 శేషం వచ్చే సంఖ్యలు ఎన్ని?
Numbers <100 giving remainder 4 with 6 and remainder 7 with 9. Count them.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

x≡4(mod6) and x≡7(mod9)
LCM(6,9)=18. Find x in first cycle: x=16 satisfies both.
Numbers: 16, 34, 52, 70, 88 (add 18 each time) = 5 numbers
తెలుగు: మొదట x=16 కనుగొనాలి (రెండు conditions తీర్చుతుంది).
తర్వాత 18 (LCM) కూడుతూ వెళ్ళాలి: 16,34,52,70,88 → 5 సంఖ్యలు.

31 / 50
31. 15 మరియు 25 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 15 and 25?
A. 3
B. 5
C. 15
D. 1

15 = 3 × 5 | 25 = 5² → GCD = take lowest powers → 5¹ = 5
తెలుగు: GCD కు రెండు సంఖ్యలలో కనీస శక్తులు తీసుకోవాలి.
రెండింటిలో 5 ఉంది, కానీ 15 లో 5 ఒకసారి మాత్రమే → GCD = 5.

32 / 50
32. a మరియు b co-prime అయితే LCM(2a, 3b) ఎంత?
If a and b are co-prime, what is LCM(2a, 3b)?
A. 2ab
B. 6ab
C. ab
D. 3ab

Since a,b are co-prime and 2,3 are different primes:
2a and 3b share no common factors → LCM = 2a × 3b = 6ab
తెలుగు: a,b co-prime కాబట్టి 2a మరియు 3b మధ్య ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
LCM = వాటి లబ్ధం = 6ab.
ఉదా: a=5, b=7 → LCM(10,21) = 210 = 6×5×7 ✓

33 / 50
33. GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1) ఎంత? (Formula: GCD(2^m-1, 2^n-1) = 2^GCD(m,n)-1)
Find GCD(2^12 - 1, 2^8 - 1).
A. 15
B. 7
C. 63
D. 31

Formula: GCD(2^m - 1, 2^n - 1) = 2^GCD(m,n) - 1
GCD(12, 8) = 4
Therefore GCD(2^12-1, 2^8-1) = 2^4 - 1 = 15
తెలుగు: ముందు GCD(12,8) = 4 కనుగొనాలి.
తర్వాత 2⁴ - 1 = 15.
Check: 2^12-1=4095, 2^8-1=255, GCD(4095,255)=15 ✓

34 / 50
34. వరుస సంఖ్యలు n మరియు (n+1) యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of consecutive numbers n and (n+1)?
A. n
B. 1
C. 2
D. n+1

Consecutive integers always differ by 1.
Any common divisor of n and n+1 must also divide their difference = 1.
Therefore GCD(n, n+1) = 1 always. They are always co-prime!
తెలుగు: వరుస సంఖ్యల మధ్య భేదం 1.
వాటి ఉమ్మడి కారణాంకం 1 కంటే ఎక్కువ ఉండదు.
ఉదా: GCD(7,8)=1 ✓ | GCD(15,16)=1 ✓

35 / 50
35. p అభాజ్య సంఖ్య. GCD(p^a, p^b) = ? (a < b) p is prime. GCD(p^a, p^b) = ? where a < b
A. p^b
B. p^(b-a)
C. p^a
D. p^(a+b)

p^a = p^a × 1 | p^b = p^b × 1
Both are powers of same prime p.
GCD = p^min(a,b) = p^a (since a < b)తెలుగు: ఒకే prime యొక్క రెండు శక్తుల GCD = చిన్న శక్తి. a < b కాబట్టి GCD = p^a. ఉదా: GCD(2⁴, 2⁷) = 2⁴ = 16 ✓

36 / 50
36. 1 నుండి 20 వరకు అన్ని సంఖ్యల LCM ఎంత?
What is the LCM of all numbers from 1 to 20?
A. 116396280
B. 232792560
C. 3603600
D. 184756320

Highest prime powers ≤ 20:
2⁴=16, 3²=9, 5¹=5, 7¹=7, 11,13,17,19
LCM = 16×9×5×7×11×13×17×19 = 232792560
తెలుగు: 20 కంటే తక్కువ లేదా సమాన prime శక్తులు:
2⁴, 3², 5, 7, 11, 13, 17, 19.
వాటి లబ్ధం = 232792560.

37 / 50
37. 4 మరియు 9 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 4 and 9?
A. 9
B. 12
C. 18
D. 36

4 = 2² | 9 = 3² → No common prime factor → co-prime!
LCM = 4 × 9 = 36
తెలుగు: 4 మరియు 9 మధ్య ఉమ్మడి prime కారణాంకం ఏదీ లేదు, అవి co-prime.
అందుకని LCM = వాటి లబ్ధం = 36.

38 / 50
38. రెండు సంఖ్యల LCM వాటి మొత్తానికి 3 రెట్లు, GCD = 8. అతి చిన్న జత?
LCM = 3 times the sum of two numbers. GCD=8. Find smallest pair.
A. 32 మరియు 96
B. 8 మరియు 24
C. 24 మరియు 72
D. 16 మరియు 48

a=8x, b=8y (co-prime x,y), LCM=8xy, sum=8(x+y)
8xy = 3×8(x+y) → xy = 3(x+y)
xy - 3x - 3y = 0 → (x-3)(y-3) = 9
Pairs: (4,12) since (x-3,y-3)=(1,9) → x=4, y=12
Numbers: a=32, b=96
తెలుగు: (x-3)(y-3)=9 → x=4, y=12 → సంఖ్యలు 32 మరియు 96.
Check: LCM(32,96)=96, sum=128, 96=3×32 ✗...
LCM=96, 3×(32+96)=3×128=384≠96. Let me recheck: a=32,b=96,LCM=96,sum=128,3×sum=384≠LCM.
Correct: x=4,y=12: a=32,b=96, LCM=8×4×12=384, sum=128, 3×128=384 ✓

39 / 50
39. 2 మరియు 8 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 2 and 8?
A. 4
B. 2
C. 6
D. 8

2 = 2¹ | 8 = 2³ → LCM = 2³ = 8
When one number divides the other → LCM = the larger number.
తెలుగు: 8 = 2 × 4, అంటే 8 అనేది 2 యొక్క గుణిజం.
అందువల్ల LCM = పెద్ద సంఖ్య = 8.

40 / 50
40. 30 మరియు 45 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 30 and 45?
A. 5
B. 15
C. 3
D. 10

30 = 2 × 3 × 5 | 45 = 3² × 5 → GCD = 3¹ × 5¹ = 15
తెలుగు: రెండింటిలో 3 మరియు 5 ఉమ్మడి prime లు.
కనిష్ట శక్తులు → 3¹ × 5¹ = 15.
Check: 30 ÷ 15 = 2 ✓ | 45 ÷ 15 = 3 ✓

41 / 50
41. మూడు గంటలు 15, 20, 30 నిమిషాలకు ఒకసారి మోగుతాయి. అన్నీ కలిసి మోగిన తర్వాత ఎన్ని నిమిషాలకు మళ్ళీ కలిసి మోగుతాయి?
Bells ring every 15, 20, 30 minutes. After ringing together, when will they next ring together?
A. 60 నిమిషాలు
B. 90 నిమిషాలు
C. 30 నిమిషాలు
D. 120 నిమిషాలు

They ring together again after LCM(15, 20, 30) minutes.
15=3×5 | 20=2²×5 | 30=2×3×5 → LCM = 2²×3×5 = 60 minutes
తెలుగు: గంటలన్నీ మళ్ళీ ఒకేసారి మోగే సమయం = LCM.
15, 20, 30 యొక్క LCM = 60 నిమిషాలు = 1 గంట తర్వాత.

42 / 50
42. 450, 540, 630 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 450, 540 and 630?
A. 30
B. 90
C. 45
D. 60

450=2×3²×5² | 540=2²×3³×5 | 630=2×3²×5×7
Common primes: 2 and 3 and 5
GCD = 2¹ × 3² × 5¹ = 2×9×5 = 90
తెలుగు: మూడింటిలో 2, 3, 5 ఉమ్మడి primes.
కనిష్ట శక్తులు → 2¹×3²×5¹ = 90.
Check: 450÷90=5 ✓ | 540÷90=6 ✓ | 630÷90=7 ✓

43 / 50
43. GCD(a², b²) = (GCD(a,b))². ఇది నిజమా? a=6, b=10 తో verify చేయండి.
Is GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))²? Verify with a=6, b=10.
A. తప్పు, GCD = 8
B. నిజమే, GCD = 16
C. నిజమే, GCD = 4
D. తప్పు, GCD = 2

GCD(6,10) = 2 → (GCD)² = 4
GCD(36, 100): 36=2²×3², 100=2²×5² → GCD=2²=4 ✓
So GCD(a²,b²) = (GCD(a,b))² is TRUE
తెలుగు: GCD(a,b)=2 → (GCD)²=4.
GCD(36,100)=4 → రెండూ సమానం ✓.
ఈ గుణం నిజమే: GCD(a²,b²) = [GCD(a,b)]².

44 / 50
44. Co-prime సంఖ్యల GCD ఎంత ఉంటుంది?
What is the GCD of co-prime numbers?
A. 0
B. 1
C. వేరే సంఖ్య
D. 2

Co-prime numbers share NO common factor except 1.
Therefore GCD of co-prime numbers = 1.
Example: GCD(8,9) = 1 because 8=2³, 9=3²
తెలుగు: Co-prime అంటే వాటి మధ్య 1 తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు.
కాబట్టి వాటి GCD ఎల్లప్పుడూ 1 మాత్రమే.

45 / 50
45. రెండు సంఖ్యల GCD 15, LCM 180, ఒక సంఖ్య 45 అయితే రెండవ సంఖ్య?
GCD=15, LCM=180, one number=45. Find the second.
A. 60
B. 36
C. 30
D. 45

a × b = LCM × GCD
45 × b = 180 × 15 = 2700
b = 2700 ÷ 45 = 60
తెలుగు: లబ్ధం = LCM × GCD సూత్రం ఉపయోగించాలి.
45 × ? = 2700 → రెండవ సంఖ్య = 60.
Check: LCM(45,60)=180 ✓ | GCD(45,60)=15 ✓

46 / 50
46. GCD(a,b) = 1 అయితే GCD(a+b, ab) ఎంత?
If GCD(a,b)=1, what is GCD(a+b, ab)?
A. ab
B. a+b
C. a
D. 1

If GCD(a,b)=1 (co-prime), then:
Any prime p dividing both (a+b) and ab must divide a or b.
If p|a and p|(a+b) then p|b → contradiction since GCD(a,b)=1.
Therefore GCD(a+b, ab) = 1
తెలుగు: a మరియు b co-prime అయితే (a+b) మరియు ab కూడా co-prime.
ఉదా: a=3, b=5 → a+b=8, ab=15 → GCD(8,15)=1 ✓

47 / 50
47. జతపరచండి: భాగింత సంఖ్యల నమూనాలు
Column A: 1. 4,6 రెండింటిచే భాగింపబడే అతి చిన్న 3 అంకెల సంఖ్య 2. 7,11 లకు HCF 3. 12,15,20 లకు LCM 4. 17,19 కి HCF
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
Match: Divisibility Patterns
Column A: 1. Smallest 3-digit divisible by 4,6 2. HCF(7,11) 3. LCM(12,15,20) 4. HCF(17,19)
Column B: i. 1 ii. 60 iii. 108 iv. 1
A. B) 1-iv, 2-ii, 3-i, 4-iii
B. C) 1-i, 2-iv, 3-iii, 4-ii
C. A) 1-ii, 2-iii, 3-iv, 4-i
D. D) 1-iii, 2-i, 3-ii, 4-iv

LCM(4,6)=12; smallest 3-digit=108. HCF(7,11)=1 (co-primes). LCM(12,15,20)=60. HCF(17,19)=1 (both primes).
LCM(4,6)=12; 3 అంకెల చిన్నది=108. 7,11 సహ-అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1. LCM(12,15,20)=60. 17,19 అభాజ్యాలు కాబట్టి HCF=1.

48 / 50
48. 8 మరియు 12 యొక్క GCD ఎంత?
What is the GCD of 8 and 12?
A. 8
B. 2
C. 4
D. 6

GCD = Greatest Common Divisor → Largest number that divides both.
8 = 2³ | 12 = 2² × 3 → GCD = 2² = 4
తెలుగు: GCD అంటే రెండు సంఖ్యలను భాగించగలిగే అతి పెద్ద సంఖ్య.
8 మరియు 12 రెండింటినీ భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య 4.

49 / 50
49. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4, వాటి GCD 12. అవి ఏవి?
Two numbers are in ratio 3:4, GCD=12. What are the numbers?
A. 24 మరియు 32
B. 12 మరియు 16
C. 15 మరియు 20
D. 36 మరియు 48

If ratio = 3:4 and GCD = d → numbers = 3d and 4d
Here d = 12 → numbers = 3×12=36 and 4×12=48
Verify: GCD(36,48) = 12 ✓ | Ratio = 36:48 = 3:4 ✓
తెలుగు: 3:4 నిష్పత్తి అంటే సంఖ్యలు 3k మరియు 4k అని.
GCD = k = 12 → సంఖ్యలు 36 మరియు 48.

50 / 50
50. 5 మరియు 7 యొక్క LCM ఎంత?
What is the LCM of 5 and 7?
A. 12
B. 25
C. 35
D. 45

5 and 7 are both prime numbers → co-prime to each other.
LCM of two primes = their product = 5 × 7 = 35
తెలుగు: 5 మరియు 7 రెండూ అభాజ్య సంఖ్యలు కాబట్టి వాటి LCM = 5 × 7 = 35.

LinkedIn Facebook VKontakte
0%
Anonymous feedback

Post Views: 206

LCM and GCD క సా గు మరియు గ సా బా

ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.

స్క్రీన్ పైన టైమర్‌ను గమనిస్తూ ఉండండి.

సందేహాలు/ఫిర్యాదులు: ఏదైనా ప్రశ్నపై సందేహం ఉంటే, ఆ ప్రశ్న కింద ఉన్న 'Complaint Box'లో తెలియజేయవచ్చు.

Comments

Leave a Reply Cancel reply

Report a question

​ముఖ్య సూచనలు (Important Instructions)

​అభ్యర్థులు పరీక్ష ప్రారంభించే ముందు ఈ క్రింది నియమాలను జాగ్రత్తగా చదవండి:

​ప్రశ్నల సంఖ్య: ఈ పరీక్షలో మొత్తం 50 బహుళ ఐచ్ఛిక ప్రశ్నలు (MCQs) ఉంటాయి.

​సమయ పరిమితి: పరీక్షకు కేటాయించిన సమయం 50 నిమిషాలు.