Triangles (త్రిభుజాలు)

4

Isosceles triangle లో altitude BC ని bisect చేస్తుంది.
BD = 6/2 = 3.
AD² = AB² - BD² = 25 - 9 = 16.
AD = 4.

Check: Area = ½×6×4=12 = Heron's: s=8, √[8×3×3×2]=√144=12 ✓

24√3 / 2 = ... let me compute

Area = ½ × b × c × sinA.
= ½ × 8 × 6 × sin60°.
= ½ × 48 × (√3/2).
= 12√3.

Area = 12√3 cm².

Base = 2×10×cos70° ≈ 6.84

Apex angle = 180°-40°-40° = 100°.
Base bisector creates right angle.
Half base = 10×sin(100°/2) = 10×sin50°.
Wait: Drop altitude from apex → half base = leg × sin(base angle? No.

In right triangle formed: cos(base angle) = half-base/leg? No.
Let h = altitude. cos40° = h/10...

Actually: sin(apex/2) = half-base/leg.
sin50° = half-base/10 → half-base = 10×sin50°≈7.66 → base≈15.3.

OR: base = 2×leg×sin(half apex angle) = 2×10×sin50°≈15.3.

Let me use cosine rule: base²=10²+10²-2×100×cos(100°)=200-200cos100°=200+34.7=234.7 → base≈15.3.

Answer: Base ≈ 15.3 cm.

Same shape కానీ different size గల triangles

Similar triangles:
✦ Corresponding angles సమానంగా ఉంటాయి.
✦ Corresponding sides proportional గా ఉంటాయి.
✦ Shape same, size different.

Symbol: ~ (similar symbol).
Congruent ≠ Similar: Congruent → same size, Similar → same shape only!

ఏ రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి

a + b > c, b + c > a, a + c > b

ఉదా: 3, 4, 5 → 3+4=7>5 ✓, 3+5=8>4 ✓, 4+5=9>3 ✓ → Valid triangle.
2, 3, 6 → 2+3=5 < 6 ✗ → Triangle కాదు!ఇది triangle valid గా ఉందా లేదా అని check చేయడానికి వాడే most basic rule!

R = a/√3

Equilateral triangle circumradius = a/√3.

Formula: R = abc/(4×Area) = a³/(4×(√3/4)a²) = a/√3.
Inradius r = a/(2√3).
R = 2r (circumradius = 2 × inradius for equilateral triangle).

(3/4)(a²+b²+c²)

m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.
m_b² = (2a²+2c²-b²)/4.
m_c² = (2a²+2b²-c²)/4.

Sum = (2b²+2c²-a²+2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)/4.
= (3a²+3b²+3c²)/4 = (3/4)(a²+b²+c²).

Both A and R are true, but R describes SAS not SSS — different rule, not an explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం కానీ R వేరే నియమం (SAS) గురించి చెప్తుంది; A కు వివరణ కాదు.

అన్ని మూడు భుజాలు వేర్వేరు పొడవులు గల triangle

Scalene triangle:
✦ అన్ని మూడు sides వేర్వేరు పొడవులు.
✦ అన్ని మూడు angles కూడా వేర్వేరు.

ఉదా: 3cm, 4cm, 5cm sides ఉన్న triangle = scalene.
"Scalene" = unequal. No two sides equal!

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

రెండు భుజాలు సమానంగా ఉన్న triangle

Isosceles triangle లో:
✦ రెండు sides (legs) సమానంగా ఉంటాయి.
✦ సమాన sides కి ఎదురుగా ఉన్న రెండు base angles కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదా: AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C.
"Iso" = equal, "Skelos" = leg. Two equal legs!

60°

Equilateral triangle లో అన్ని మూడు భుజాలు సమానం → అన్ని మూడు కోణాలు కూడా సమానం.
మొత్తం 180° ÷ 3 = 60° చొప్పున.

గుర్తు: "Equi" = equal. అన్ని sides equal → అన్ని angles equal = 60°.
ఇది మాత్రమే అన్ని కోణాలు equal అయిన triangle!

A is true: Pythagoras applies to right triangles. R is false: it applies only to right-angled triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: పైథాగరస్ కేవలం సమకోణ త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది.

3 Altitudes కలిసే point

Orthocenter = మూడు altitudes intersection point.

Special properties:
Acute triangle: Orthocenter లోపల.
Right triangle: Orthocenter right angle vertex వద్ద.
Obtuse triangle: Orthocenter వెలుపల.

"Ortho" = straight/right — heights (perpendiculars) కలిసే point!

Both true. Exterior angle=sum of opposite interior angles. R names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. బాహ్య కోణ ప్రమేయం.

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

మూడు corresponding sides proportional అయితే similar

SSS Similarity:
AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF.

Congruence vs Similarity:
SSS Congruence: sides equal.
SSS Similarity: sides proportional.

180°

ఇది Geometry లో అత్యంత ముఖ్యమైన fact!
ఏ triangle అయినా — Equilateral, Isosceles, Scalene, Right — అన్నింటిలో కోణాల మొత్తం సరిగ్గా 180°.

ఉదా: ∠A=60°, ∠B=70°, ∠C=50° → 60+70+50=180° ✓
Exam tip: ఒక కోణం తెలియకపోతే → 180° నుండి మిగతా రెండు తీసివేయండి!

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

b = 6·sin60°/sinA

∠A = 180°-60°-75° = 45°.
Sine rule: a/sinA = b/sinB.
6/sin45° = b/sin60°.
b = 6·sin60°/sin45° = 6×(√3/2)/(1/√2) = 6×√3/2×√2 = 3√6.

b = 3√6 ≈ 7.35.

Incenter వద్ద — inscribed circle యొక్క center

3 Angle bisectors Incenter వద్ద కలుస్తాయి.
Incenter = triangle లో inscribed (లోపల) circle యొక్క center.
Incenter నుండి అన్ని మూడు sides కి equal distance!

Special points:
Centroid = medians కలిసే point
Incenter = angle bisectors కలిసే point
Orthocenter = altitudes కలిసే point
Circumcenter = perpendicular bisectors కలిసే point

Triangle యొక్క 9 special points గుండా వెళ్ళే circle

Nine-point circle గుండా వెళ్ళే 9 points:
3 sides midpoints, 3 altitudes foot points, 3 midpoints of orthocenter నుండి vertices వరకు.

Nine-point circle radius = circumradius/2.
Euler line: Circumcenter, Centroid, Orthocenter ఒకే line పై!

Isosceles triangle లో (same vertex నుండి)

Isosceles triangle AB=AC లో:
A నుండి BC కి గీసిన median మరియు altitude ఒకే line!
ఎందుకంటే: A నుండి BC కి perpendicular గీస్తే అది BC ని bisect కూడా చేస్తుంది.

Equilateral triangle లో: అన్ని మూడు vertices నుండి median=altitude=angle bisector!

Altitudes foot points ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Pedal triangle (Orthic triangle):
మూడు altitudes BC, CA, AB ని కలిసే foot points ని join చేస్తే ఏర్పడే triangle.

Properties:
Acute triangle: pedal triangle లోపల.
Right triangle: pedal triangle = altitude foot point (degenerate).
Obtuse triangle: pedal triangle వెలుపల (orthocenter outside).

BD = AC/2

Right triangle లో hypotenuse midpoint నుండి right angle vertex కి దూరం = hypotenuse/2.
BD = AC/2.

Proof: Circumcenter of right triangle = hypotenuse midpoint D.
BD = circumradius = AC/2.

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

80°

AB=AC → ∠B=∠C (base angles equal).
∠A+∠B+∠C=180°.
20°+2∠B=180°.
∠B=80°.

EF = 15

△ABC ~ △DEF. BC is hypotenuse (∠A=90°), EF is hypotenuse (∠D=90°).
BC/EF = AB/DE.
10/EF = 6/9.
EF = 10×9/6 = 15.

a+b=c అయితే degenerate triangle (straight line) — area=0

a+b=c అయితే మూడు points ఒకే line పై ఉంటాయి (collinear).
అది triangle కాదు — zero area straight line!
కాబట్టి strict: a+b > c (not ≥).

Degenerate triangle: Area=0, ఒకే line పై — valid triangle కాదు!

60 cm²

8²+15²=64+225=289=17² → Right triangle!
Area = ½ × 8 × 15 = 60 cm².

8-15-17 Pythagorean triple! Right triangle కాబట్టి directly legs use చేయవచ్చు.

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

∠C = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°.
50° + 70° + ∠C = 180°.
∠C = 180° - 120° = 60°.

r = 2

Formula: r = Area/s.
s=(6+8+10)/2=12. Area=½×6×8=24 (right triangle).
r = 24/12 = 2.

Also: r = (a+b-c)/2 for right triangle = (6+8-10)/2=2 ✓

సమానంగా ఉంటాయి (Base angles equal)

Isosceles triangle theorem:
AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C (base angles equal).

Converse కూడా true: ∠B = ∠C అయినప్పుడు AB = AC.
ఇది exam లో చాలా useful — ఒక angle తెలిస్తే మరొకటి directly equal!

DE=5; DE∥BC

Midpoint Theorem:
DE = BC/2 = 10/2 = 5.
DE ∥ BC (parallel to third side).

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

t_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) లేదా t_a² = bc[(b+c)²-a²]/(b+c)²

Angle bisector length from A:
t_a = (2bc/(b+c)) × cos(A/2).
లేదా: t_a² = bc[1-(a/(b+c))²].

ఇది Stewart's theorem నుండి derive అవుతుంది.
Exam లో: "bisector divides opposite side in AB:AC ratio" అనే concept ముఖ్యం.

32

Perimeter ratio = sides ratio = 3:4.
24/perimeter DEF = 3/4.
Perimeter DEF = 24×4/3 = 32.

Right triangle లో: hypotenuse² = other two sides² మొత్తం

a² + b² = c² (c = hypotenuse)

Right triangle లో:
Hypotenuse (longest side) చతురస్రం = మిగతా రెండు sides చతురస్రాల మొత్తం.

ఉదా: 3-4-5 triangle: 3²+4²=9+16=25=5² ✓
Most important theorem in geometry!

మూడు sides midpoints ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Medial triangle = original triangle యొక్క మూడు sides midpoints ని కలపడం.

Properties:
Medial triangle ~ original (similar), ratio = 1:2.
Medial triangle area = original/4.
Centroid of medial = centroid of original (same point)!

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

cos A = 11/14... wait let me recalculate.

Cosine rule: a²=b²+c²-2bc·cosA.
25=49+64-2×7×8·cosA.
25=113-112·cosA.
112·cosA=88.
cosA=88/112=11/14.

cos A = 11/14 ≈ 0.786 → A ≈ 38.2°.

1 : √3 : 2

30°-60°-90° triangle sides ratio:
Opposite to 30° = 1 (shortest side)
Opposite to 60° = √3
Opposite to 90° = 2 (hypotenuse)

Ratio = 1:√3:2.
ఉదా: hypotenuse=10 → short side=5, medium side=5√3.
Exam లో చాలా use అవుతుంది!

మూడు sides సమానమైతే triangles congruent

SSS = Side-Side-Side.
రెండు triangles లో మూడు corresponding sides సమానమైతే triangles congruent.

AB=PQ, BC=QR, CA=RP → △ABC ≅ △PQR (by SSS).
Congruence rules: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS — ఇవన్నీ exam లో వస్తాయి!

Both true. Medians meet at centroid dividing in 2:1. R is a property of centroid but not a direct explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం. R కేంద్రకం గుణం చెప్తుంది కానీ A కు నేరు వివరణ కాదు.

AG:GD = 2:1

Centroid, median ని vertex నుండి 2:1 లో divide చేస్తుంది.
AG = (2/3)AD, GD = (1/3)AD.
AG:GD = 2:1.

All three medians pass through G and are divided 2:1 by G.

12 cm

(√3/4)a² = 36√3.
a² = 36√3 × 4/√3 = 144.
a = 12 cm.

Check: (√3/4)×144 = 36√3 ✓

Both true. Triangle angle sum=180°. R correctly names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. త్రిభుజ కోణ మొత్తం=180°.

Triangle లో ఒక side కి parallel line గీస్తే మిగతా రెండు sides proportionally divide అవుతాయి

△ABC లో DE∥BC అయినప్పుడు:
AD/DB = AE/EC.

Converse: AD/DB = AE/EC → DE∥BC.
ఇది Similar triangles మరియు parallel lines problems లో చాలా use అవుతుంది!

cos A = 4/5

sin²A + cos²A = 1.
(3/5)² + cos²A = 1.
cos²A = 1-9/25 = 16/25.
cos A = 4/5.

This relates to 3-4-5 triangle: sin A = opposite/hypotenuse = 3/5, cos A = adjacent/hypotenuse = 4/5.