Triangles (త్రిభుజాలు)

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

Altitudes foot points ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Pedal triangle (Orthic triangle):
మూడు altitudes BC, CA, AB ని కలిసే foot points ని join చేస్తే ఏర్పడే triangle.

Properties:
Acute triangle: pedal triangle లోపల.
Right triangle: pedal triangle = altitude foot point (degenerate).
Obtuse triangle: pedal triangle వెలుపల (orthocenter outside).

అన్నీ ఒకే point వద్ద coincide అవుతాయి

Equilateral triangle లో అన్ని 4 centers ఒకే point వద్ద ఉంటాయి:
✦ Centroid = Incenter = Circumcenter = Orthocenter.

ఎందుకంటే: Equilateral triangle లో అన్ని medians = altitudes = angle bisectors = perpendicular bisectors!
This is its unique symmetric property.

S/3

Centroid మూడు medians ద్వారా triangle ని 6 equal small triangles లో divide చేస్తుంది.
△AGB area = 2 × (S/6) = S/3.

Centroid property: మూడు triangles △AGB, △BGC, △CGA అన్నీ equal area S/3!

Hypotenuse యొక్క midpoint వద్ద

Right triangle యొక్క circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద ఉంటుంది.
అంటే hypotenuse = circumscribed circle యొక్క diameter!

Important: ∠C=90° → AC² + BC² = AB² (Pythagoras) → circumcenter at midpoint of AB.
Special property of right triangles!

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓

మూడు sides midpoints ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Medial triangle = original triangle యొక్క మూడు sides midpoints ని కలపడం.

Properties:
Medial triangle ~ original (similar), ratio = 1:2.
Medial triangle area = original/4.
Centroid of medial = centroid of original (same point)!

ఒక కోణం 90° కంటే ఎక్కువగా ఉన్న triangle

Obtuse triangle లో ఒక angle > 90° (obtuse angle).
మిగతా రెండు angles చిన్నవిగా ఉంటాయి.

ఉదా: 120°, 40°, 20° → 120° > 90° → Obtuse triangle.
గుర్తు: ఒక triangle లో ఒకే ఒక్క obtuse angle మాత్రమే ఉండగలదు!

Base = 2×10×cos70° ≈ 6.84

Apex angle = 180°-40°-40° = 100°.
Base bisector creates right angle.
Half base = 10×sin(100°/2) = 10×sin50°.
Wait: Drop altitude from apex → half base = leg × sin(base angle? No.

In right triangle formed: cos(base angle) = half-base/leg? No.
Let h = altitude. cos40° = h/10...

Actually: sin(apex/2) = half-base/leg.
sin50° = half-base/10 → half-base = 10×sin50°≈7.66 → base≈15.3.

OR: base = 2×leg×sin(half apex angle) = 2×10×sin50°≈15.3.

Let me use cosine rule: base²=10²+10²-2×100×cos(100°)=200-200cos100°=200+34.7=234.7 → base≈15.3.

Answer: Base ≈ 15.3 cm.

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

AB² + AC² = 2(AD² + BD²)

Apollonius theorem (Median length theorem):
AB² + AC² = 2(AD² + BD²).
c² + b² = 2(m_a² + (a/2)²).

Also: m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → 25+25=2(m_a²+9) → m_a²=16 → m_a=4.

3 < x < 7Triangle inequality: x < 2+5 = 7 → x < 7. x > 5-2 = 3 → x > 3.
కాబట్టి 3 < x < 7.Rule: |a-b| < c < a+b. ఇక్కడ |5-2|

30 cm²

5-12-13 right triangle! (5²+12²=13²).
90° angle, legs = 5 and 12.
Area = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Right triangle లో legs perpendicular కాబట్టి directly ½×leg₁×leg₂ = area!

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

3 Perpendicular bisectors కలిసే point — circumscribed circle center

Circumcenter = మూడు perpendicular bisectors intersection.
Circumcenter నుండి అన్ని 3 vertices కి equal distance = circumradius.

Special:
Acute triangle → Circumcenter లోపల.
Right triangle → Circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద.
Obtuse triangle → Circumcenter వెలుపల.

∠B=30°, ∠A=60°, ∠C=90°

∠A+∠B+∠C=180°.
2∠B + ∠B + 3∠B = 180°.
6∠B = 180° → ∠B = 30°.
∠A = 60°, ∠C = 90°.

ఇది 30°-60°-90° triangle! ∠C=90° కాబట్టి Right triangle.
Check: 60°+30°+90°=180° ✓

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

d² = R(R-2r); R ≥ 2r (Euler's inequality)

Euler's theorem: d² = R(R-2r).
d = distance between circumcenter (O) and incenter (I).

Euler's inequality: R ≥ 2r.
Equality: Equilateral triangle లో R=2r.

Example: 3-4-5 triangle: R=2.5, r=1 → d²=2.5(2.5-2)=1.25 → d=√1.25.

సమానంగా ఉంటాయి (Base angles equal)

Isosceles triangle theorem:
AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C (base angles equal).

Converse కూడా true: ∠B = ∠C అయినప్పుడు AB = AC.
ఇది exam లో చాలా useful — ఒక angle తెలిస్తే మరొకటి directly equal!

Triangle యొక్క 9 special points గుండా వెళ్ళే circle

Nine-point circle గుండా వెళ్ళే 9 points:
3 sides midpoints, 3 altitudes foot points, 3 midpoints of orthocenter నుండి vertices వరకు.

Nine-point circle radius = circumradius/2.
Euler line: Circumcenter, Centroid, Orthocenter ఒకే line పై!

సరిగ్గా ఒకే shape మరియు size గల triangles

Congruent triangles:
✦ అన్ని corresponding sides సమానం.
✦ అన్ని corresponding angles సమానం.
✦ ఒకదాన్ని మరొకదానిపై superimpose చేయవచ్చు.

Symbol: ≅ (congruent symbol).
"Congruent" = "in agreement" — completely matching!

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

Both true. Third angle=180-140=40°. R shows subtraction correctly.
A, R రెండూ సత్యం. మూడవ కోణం=40°.

A is true: Pythagoras applies to right triangles. R is false: it applies only to right-angled triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: పైథాగరస్ కేవలం సమకోణ త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది.

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

180°

ఇది Geometry లో అత్యంత ముఖ్యమైన fact!
ఏ triangle అయినా — Equilateral, Isosceles, Scalene, Right — అన్నింటిలో కోణాల మొత్తం సరిగ్గా 180°.

ఉదా: ∠A=60°, ∠B=70°, ∠C=50° → 60+70+50=180° ✓
Exam tip: ఒక కోణం తెలియకపోతే → 180° నుండి మిగతా రెండు తీసివేయండి!

8

a²+b²=c²: 6²+b²=10².
36+b²=100 → b²=64 → b=8.

6-8-10 = 3-4-5 triple రెట్టింపు!
Check: 36+64=100=10² ✓

QR = 7.5

Similar triangles లో corresponding sides proportional:
AB/PQ = BC/QR.
4/6 = 5/QR.
QR = 5×6/4 = 30/4 = 7.5.

Area = ½ × base × height

Area of triangle = ½ × b × h.
ఇక్కడ: b = base, h = height (altitude to that base).

ఉదా: base=8 cm, height=5 cm → Area = ½×8×5 = 20 cm².
గుర్తు: Rectangle area = b×h, Triangle = దాని సగం = ½×b×h!

రెండు భుజాలు సమానంగా ఉన్న triangle

Isosceles triangle లో:
✦ రెండు sides (legs) సమానంగా ఉంటాయి.
✦ సమాన sides కి ఎదురుగా ఉన్న రెండు base angles కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదా: AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C.
"Iso" = equal, "Skelos" = leg. Two equal legs!

90°

Right triangle లో ఒక కోణం = 90°.
మిగతా రెండు కోణాలు: 90° + x + y = 180° → x + y = 90°.

కాబట్టి right triangle లో రెండు acute angles complementary అవుతాయి!
ఉదా: 30°-60°-90° triangle లో 30°+60°=90° ✓

అవుతాయి — AA Similarity (Angle-Angle)

రెండు triangles లో రెండు corresponding angles equal అయితే triangles similar.
∠A=∠P, ∠B=∠Q → ∠C=∠R automatically (angle sum 180°).
కాబట్టి △ABC ~ △PQR (AA similarity).

AA similarity: 2 angles తెలిస్తే చాలు — third angle automatically equal!

1 : √3 : 2

30°-60°-90° triangle sides ratio:
Opposite to 30° = 1 (shortest side)
Opposite to 60° = √3
Opposite to 90° = 2 (hypotenuse)

Ratio = 1:√3:2.
ఉదా: hypotenuse=10 → short side=5, medium side=5√3.
Exam లో చాలా use అవుతుంది!

Same shape కానీ different size గల triangles

Similar triangles:
✦ Corresponding angles సమానంగా ఉంటాయి.
✦ Corresponding sides proportional గా ఉంటాయి.
✦ Shape same, size different.

Symbol: ~ (similar symbol).
Congruent ≠ Similar: Congruent → same size, Similar → same shape only!

32

Perimeter ratio = sides ratio = 3:4.
24/perimeter DEF = 3/4.
Perimeter DEF = 24×4/3 = 32.

Transversal collinearity: (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = -1

△ABC లో transversal line BC, CA, AB extensions ని F, D, E వద్ద కలిస్తే:
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = -1 (signed ratios తో).

Ceva's theorem: concurrent cevians → product = +1.
Menelaus theorem: collinear points → product = -1.
దోహాల్ని కలిసి use చేస్తారు!

24√3 / 2 = ... let me compute

Area = ½ × b × c × sinA.
= ½ × 8 × 6 × sin60°.
= ½ × 48 × (√3/2).
= 12√3.

Area = 12√3 cm².

Both true. 9+16=25=5². R verifies using Pythagoras theorem.
A, R రెండూ సత్యం. 3,4,5 పైథాగరస్ త్రికం.

40°

Exterior angle theorem: exterior = sum of two non-adjacent interior angles.
110° = 70° + third angle.
Third angle = 110° - 70° = 40°.

Check: Interior angle at that vertex = 180°-110°=70°.
70°+70°+40°=180° ✓

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

b = 6·sin60°/sinA

∠A = 180°-60°-75° = 45°.
Sine rule: a/sinA = b/sinB.
6/sin45° = b/sin60°.
b = 6·sin60°/sin45° = 6×(√3/2)/(1/√2) = 6×√3/2×√2 = 3√6.

b = 3√6 ≈ 7.35.

Triangle లో ఒక side కి parallel line గీస్తే మిగతా రెండు sides proportionally divide అవుతాయి

△ABC లో DE∥BC అయినప్పుడు:
AD/DB = AE/EC.

Converse: AD/DB = AE/EC → DE∥BC.
ఇది Similar triangles మరియు parallel lines problems లో చాలా use అవుతుంది!

Vertex నుండి opposite side కు (లేదా extension కు) గీసిన line segment

Cevian = vertex నుండి opposite side పై (లేదా extension పై) end point కలిగిన line.
Median, Altitude, Angle bisector అన్నీ special cevians!

Ceva's theorem: Cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA) = 1.

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

Cevians concurrent ↔ (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1

△ABC లో cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = 1.

Converse: ఆ product = 1 అయినప్పుడు cevians concurrent.
Centroid, Incenter, Orthocenter అన్నీ concurrent cevians!

రెండు sides మరియు వాటి మధ్య included angle సమానమైతే congruent

SAS = Side-Angle-Side.
AB=PQ, ∠B=∠Q, BC=QR → △ABC ≅ △PQR (by SAS).

"Included angle" అంటే రెండు sides మధ్య ఉన్న కోణం.
SSA congruence rule valid కాదు — angle included అవ్వాలి!

Both A and R are true, but R describes SAS not SSS — different rule, not an explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం కానీ R వేరే నియమం (SAS) గురించి చెప్తుంది; A కు వివరణ కాదు.

అన్ని మూడు భుజాలు వేర్వేరు పొడవులు గల triangle

Scalene triangle:
✦ అన్ని మూడు sides వేర్వేరు పొడవులు.
✦ అన్ని మూడు angles కూడా వేర్వేరు.

ఉదా: 3cm, 4cm, 5cm sides ఉన్న triangle = scalene.
"Scalene" = unequal. No two sides equal!

అతి పెద్ద భుజం (Longest side)

Triangle లో:
✦ అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా → అతి పెద్ద భుజం.
✦ అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా → అతి చిన్న భుజం.

Right triangle లో: 90° (biggest angle) → Hypotenuse (longest side).
ఇది exams లో చాలా వస్తుంది!