Triangles (త్రిభుజాలు)

Cevian పొడవు కనుగొనే formula: b²m + c²n = a(d²+mn)

△ABC లో cevian AD, BC ని m:n లో divide చేస్తే:
b²m + c²n = a(d²+mn).
ఇక్కడ a=BC, b=AC, c=AB, d=AD.

Median, altitude, angle bisector lengths ఇందు నుండి derive అవుతాయి.
Apollonius theorem = Stewart's theorem when m=n (median case)!

Triangle యొక్క 9 special points గుండా వెళ్ళే circle

Nine-point circle గుండా వెళ్ళే 9 points:
3 sides midpoints, 3 altitudes foot points, 3 midpoints of orthocenter నుండి vertices వరకు.

Nine-point circle radius = circumradius/2.
Euler line: Circumcenter, Centroid, Orthocenter ఒకే line పై!

1 : √3 : 2

30°-60°-90° triangle sides ratio:
Opposite to 30° = 1 (shortest side)
Opposite to 60° = √3
Opposite to 90° = 2 (hypotenuse)

Ratio = 1:√3:2.
ఉదా: hypotenuse=10 → short side=5, medium side=5√3.
Exam లో చాలా use అవుతుంది!

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

Both true. 9+16=25=5². R verifies using Pythagoras theorem.
A, R రెండూ సత్యం. 3,4,5 పైథాగరస్ త్రికం.

ఒక కోణం 90° కంటే ఎక్కువగా ఉన్న triangle

Obtuse triangle లో ఒక angle > 90° (obtuse angle).
మిగతా రెండు angles చిన్నవిగా ఉంటాయి.

ఉదా: 120°, 40°, 20° → 120° > 90° → Obtuse triangle.
గుర్తు: ఒక triangle లో ఒకే ఒక్క obtuse angle మాత్రమే ఉండగలదు!

3²+4²=9+16=25=5² ✓ → Right triangle

Pythagoras theorem: a²+b²=c².
3²+4² = 9+16 = 25 = 5².
25=25 ✓ → Right triangle confirmed!

3-4-5 అనేది most famous Pythagorean triple.
Other triples: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25...

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

Right triangle లో right angle కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం

Hypotenuse:
✦ Right angle (90°) కి opposite గా ఉంటుంది.
✦ Triangle లో అతి పెద్ద భుజం.
✦ Pythagoras theorem లో 'c'.

గుర్తు: Hypo = "under", tenuse = "stretch" → right angle కింద stretched side!

ఒక vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజం యొక్క midpoint కు గీసిన line

Median:
✦ Vertex నుండి opposite side యొక్క midpoint కు.
✦ ప్రతి triangle కు 3 medians ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 medians Centroid వద్ద కలుస్తాయి.

Centroid = triangle యొక్క "center of gravity" / balancing point!

32

Perimeter ratio = sides ratio = 3:4.
24/perimeter DEF = 3/4.
Perimeter DEF = 24×4/3 = 32.

3 < x < 7Triangle inequality: x < 2+5 = 7 → x < 7. x > 5-2 = 3 → x > 3.
కాబట్టి 3 < x < 7.Rule: |a-b| < c < a+b. ఇక్కడ |5-2|

రెండు sides మరియు వాటి మధ్య included angle సమానమైతే congruent

SAS = Side-Angle-Side.
AB=PQ, ∠B=∠Q, BC=QR → △ABC ≅ △PQR (by SAS).

"Included angle" అంటే రెండు sides మధ్య ఉన్న కోణం.
SSA congruence rule valid కాదు — angle included అవ్వాలి!

AB² + AC² = 2(AD² + BD²)

Apollonius theorem (Median length theorem):
AB² + AC² = 2(AD² + BD²).
c² + b² = 2(m_a² + (a/2)²).

Also: m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → 25+25=2(m_a²+9) → m_a²=16 → m_a=4.

A is true: Heron's formula is correct. R is false: it applies to ANY triangle.
A సత్యం. R అసత్యం: హీరాన్ సూత్రం అన్ని త్రిభుజాలకు వర్తిస్తుంది.

a+b=c అయితే degenerate triangle (straight line) — area=0

a+b=c అయితే మూడు points ఒకే line పై ఉంటాయి (collinear).
అది triangle కాదు — zero area straight line!
కాబట్టి strict: a+b > c (not ≥).

Degenerate triangle: Area=0, ఒకే line పై — valid triangle కాదు!

A is true: area ratio = (side ratio)². R is false: corresponding sides are proportional (not equal) in similar triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: అనుకూల భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, సమానం కాదు.

అవుతాయి — AA Similarity (Angle-Angle)

రెండు triangles లో రెండు corresponding angles equal అయితే triangles similar.
∠A=∠P, ∠B=∠Q → ∠C=∠R automatically (angle sum 180°).
కాబట్టి △ABC ~ △PQR (AA similarity).

AA similarity: 2 angles తెలిస్తే చాలు — third angle automatically equal!

AG:GD = 2:1

Centroid, median ని vertex నుండి 2:1 లో divide చేస్తుంది.
AG = (2/3)AD, GD = (1/3)AD.
AG:GD = 2:1.

All three medians pass through G and are divided 2:1 by G.

S/3

Centroid మూడు medians ద్వారా triangle ని 6 equal small triangles లో divide చేస్తుంది.
△AGB area = 2 × (S/6) = S/3.

Centroid property: మూడు triangles △AGB, △BGC, △CGA అన్నీ equal area S/3!

R = a/√3

Equilateral triangle circumradius = a/√3.

Formula: R = abc/(4×Area) = a³/(4×(√3/4)a²) = a/√3.
Inradius r = a/(2√3).
R = 2r (circumradius = 2 × inradius for equilateral triangle).

9:25

Similar triangles areas ratio = (sides ratio)².
= (3/5)² = 9/25.
Areas ratio = 9:25.

Key rule: Sides ratio = k → Areas ratio = k².
Perimeter ratio = k (same as sides).
Area ratio = k² (square of sides ratio).

అతి పెద్ద భుజం (Longest side)

Triangle లో:
✦ అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా → అతి పెద్ద భుజం.
✦ అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా → అతి చిన్న భుజం.

Right triangle లో: 90° (biggest angle) → Hypotenuse (longest side).
ఇది exams లో చాలా వస్తుంది!

d² = R(R-2r); R ≥ 2r (Euler's inequality)

Euler's theorem: d² = R(R-2r).
d = distance between circumcenter (O) and incenter (I).

Euler's inequality: R ≥ 2r.
Equality: Equilateral triangle లో R=2r.

Example: 3-4-5 triangle: R=2.5, r=1 → d²=2.5(2.5-2)=1.25 → d=√1.25.

BD = AC/2

Right triangle లో hypotenuse midpoint నుండి right angle vertex కి దూరం = hypotenuse/2.
BD = AC/2.

Proof: Circumcenter of right triangle = hypotenuse midpoint D.
BD = circumradius = AC/2.

13 cm

a²+b²=c².
5²+12²=25+144=169=13².
Hypotenuse = 13 cm.

5-12-13 Pythagorean triple! తెలుసుకోవాల్సిన triples:
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

24√3 / 2 = ... let me compute

Area = ½ × b × c × sinA.
= ½ × 8 × 6 × sin60°.
= ½ × 48 × (√3/2).
= 12√3.

Area = 12√3 cm².

4

Isosceles triangle లో altitude BC ని bisect చేస్తుంది.
BD = 6/2 = 3.
AD² = AB² - BD² = 25 - 9 = 16.
AD = 4.

Check: Area = ½×6×4=12 = Heron's: s=8, √[8×3×3×2]=√144=12 ✓

DE=5; DE∥BC

Midpoint Theorem:
DE = BC/2 = 10/2 = 5.
DE ∥ BC (parallel to third side).

Both A and R are true, but R describes SAS not SSS — different rule, not an explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం కానీ R వేరే నియమం (SAS) గురించి చెప్తుంది; A కు వివరణ కాదు.

Conic sections మరియు projective geometry లో — advanced application

Pascal's theorem (Hexagrammum Mysticum):
Hexagon ని conic (circle, ellipse, etc.) పై inscribe చేస్తే opposite sides extensions కలిసే 3 points collinear.

Triangle context: Degenerate conic = pair of lines.
Advanced geometry లో triangles mặt coordinates తో study చేస్తారు.
Basic exam కు: Ceva's theorem, Menelaus theorem ముఖ్యం!

h = ab/c

Area రెండు రీతులలో:
½ × a × b = ½ × c × h.
ab = ch → h = ab/c.

Also: h² = p×q (p,q = segments of hypotenuse).
Right triangle లో geometric mean relations చాలా important!

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

∠C = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°.
50° + 70° + ∠C = 180°.
∠C = 180° - 120° = 60°.

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

రెండు angles మరియు వాటి మధ్య included side సమానమైతే congruent

ASA = Angle-Side-Angle.
∠A=∠P, AB=PQ, ∠B=∠Q → △ABC ≅ △PQR (by ASA).

"Included side" = రెండు known angles మధ్య ఉన్న side.
AAS తో confuse కావద్దు: AAS లో side included కాకపోవచ్చు!

Cevians concurrent ↔ (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1

△ABC లో cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = 1.

Converse: ఆ product = 1 అయినప్పుడు cevians concurrent.
Centroid, Incenter, Orthocenter అన్నీ concurrent cevians!

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

మూడు corresponding sides proportional అయితే similar

SSS Similarity:
AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF.

Congruence vs Similarity:
SSS Congruence: sides equal.
SSS Similarity: sides proportional.

2:1 (vertex నుండి)

Centroid, median ను vertex నుండి 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.
Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid నుండి midpoint దూరం = median యొక్క 1/3.

ఉదా: Median = 9 cm → vertex-centroid = 6 cm, centroid-midpoint = 3 cm.

t_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) లేదా t_a² = bc[(b+c)²-a²]/(b+c)²

Angle bisector length from A:
t_a = (2bc/(b+c)) × cos(A/2).
లేదా: t_a² = bc[1-(a/(b+c))²].

ఇది Stewart's theorem నుండి derive అవుతుంది.
Exam లో: "bisector divides opposite side in AB:AC ratio" అనే concept ముఖ్యం.

∠B=30°, ∠A=60°, ∠C=90°

∠A+∠B+∠C=180°.
2∠B + ∠B + 3∠B = 180°.
6∠B = 180° → ∠B = 30°.
∠A = 60°, ∠C = 90°.

ఇది 30°-60°-90° triangle! ∠C=90° కాబట్టి Right triangle.
Check: 60°+30°+90°=180° ✓

40°

Exterior angle theorem: exterior = sum of two non-adjacent interior angles.
110° = 70° + third angle.
Third angle = 110° - 70° = 40°.

Check: Interior angle at that vertex = 180°-110°=70°.
70°+70°+40°=180° ✓

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

అన్నీ ఒకే point వద్ద coincide అవుతాయి

Equilateral triangle లో అన్ని 4 centers ఒకే point వద్ద ఉంటాయి:
✦ Centroid = Incenter = Circumcenter = Orthocenter.

ఎందుకంటే: Equilateral triangle లో అన్ని medians = altitudes = angle bisectors = perpendicular bisectors!
This is its unique symmetric property.

Both true. Triangle angle sum=180°. R correctly names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. త్రిభుజ కోణ మొత్తం=180°.

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓