Triangles (త్రిభుజాలు)

Exterior Angle Theorem

Triangle ABC లో BC extend చేసి D వచ్చింది.
∠ACD (exterior) = ∠A + ∠B (రెండు non-adjacent interior angles).

Proof: ∠A+∠B+∠C=180°, ∠ACD+∠C=180° (linear pair) → ∠ACD = ∠A+∠B.
Exam లో చాలా useful — missing angle వేగంగా find చేయవచ్చు!

3 Perpendicular bisectors కలిసే point — circumscribed circle center

Circumcenter = మూడు perpendicular bisectors intersection.
Circumcenter నుండి అన్ని 3 vertices కి equal distance = circumradius.

Special:
Acute triangle → Circumcenter లోపల.
Right triangle → Circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద.
Obtuse triangle → Circumcenter వెలుపల.

40°

Exterior angle theorem: exterior = sum of two non-adjacent interior angles.
110° = 70° + third angle.
Third angle = 110° - 70° = 40°.

Check: Interior angle at that vertex = 180°-110°=70°.
70°+70°+40°=180° ✓

A is true: Pythagoras applies to right triangles. R is false: it applies only to right-angled triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: పైథాగరస్ కేవలం సమకోణ త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది.

r = 2

Formula: r = Area/s.
s=(6+8+10)/2=12. Area=½×6×8=24 (right triangle).
r = 24/12 = 2.

Also: r = (a+b-c)/2 for right triangle = (6+8-10)/2=2 ✓

మూడు sides సమానమైతే triangles congruent

SSS = Side-Side-Side.
రెండు triangles లో మూడు corresponding sides సమానమైతే triangles congruent.

AB=PQ, BC=QR, CA=RP → △ABC ≅ △PQR (by SSS).
Congruence rules: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS — ఇవన్నీ exam లో వస్తాయి!

= 2R (R = circumradius)

Sine Rule: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.

R = circumradius.
Usage: రెండు angles మరియు ఒక side తెలిస్తే మిగతా sides కనుగొనవచ్చు.
ఉదా: ∠A=30°, a=5 → 5/sin30° = 2R → R=5.

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

Vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి perpendicular గీసిన line

Altitude (Height):
✦ Vertex నుండి opposite side కి perpendicular (90°).
✦ ప్రతి triangle కు 3 altitudes ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 altitudes Orthocenter వద్ద కలుస్తాయి.

Triangle area = ½ × base × height (altitude)!

a√2

45°-45°-90° triangle = Isosceles right triangle.
Legs = a, a. Hypotenuse = √(a²+a²) = √(2a²) = a√2.

Ratio = 1:1:√2.
ఉదా: leg=5 → hypotenuse=5√2.

(3/4)(a²+b²+c²)

m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.
m_b² = (2a²+2c²-b²)/4.
m_c² = (2a²+2b²-c²)/4.

Sum = (2b²+2c²-a²+2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)/4.
= (3a²+3b²+3c²)/4 = (3/4)(a²+b²+c²).

Right triangle లో: hypotenuse² = other two sides² మొత్తం

a² + b² = c² (c = hypotenuse)

Right triangle లో:
Hypotenuse (longest side) చతురస్రం = మిగతా రెండు sides చతురస్రాల మొత్తం.

ఉదా: 3-4-5 triangle: 3²+4²=9+16=25=5² ✓
Most important theorem in geometry!

Conic sections మరియు projective geometry లో — advanced application

Pascal's theorem (Hexagrammum Mysticum):
Hexagon ని conic (circle, ellipse, etc.) పై inscribe చేస్తే opposite sides extensions కలిసే 3 points collinear.

Triangle context: Degenerate conic = pair of lines.
Advanced geometry లో triangles mặt coordinates తో study చేస్తారు.
Basic exam కు: Ceva's theorem, Menelaus theorem ముఖ్యం!

అతి పెద్ద కోణం

Triangle లో:
Longest side → Largest angle (ఎదురుగా).
Shortest side → Smallest angle (ఎదురుగా).

Right triangle: Hypotenuse (longest) → 90° (largest).
Isosceles: Equal sides opposite = equal angles.

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

Both true. Third angle=180-140=40°. R shows subtraction correctly.
A, R రెండూ సత్యం. మూడవ కోణం=40°.

రెండు sides మరియు వాటి మధ్య included angle సమానమైతే congruent

SAS = Side-Angle-Side.
AB=PQ, ∠B=∠Q, BC=QR → △ABC ≅ △PQR (by SAS).

"Included angle" అంటే రెండు sides మధ్య ఉన్న కోణం.
SSA congruence rule valid కాదు — angle included అవ్వాలి!

రెండు angles మరియు వాటి మధ్య included side సమానమైతే congruent

ASA = Angle-Side-Angle.
∠A=∠P, AB=PQ, ∠B=∠Q → △ABC ≅ △PQR (by ASA).

"Included side" = రెండు known angles మధ్య ఉన్న side.
AAS తో confuse కావద్దు: AAS లో side included కాకపోవచ్చు!

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

∠B=30°, ∠A=60°, ∠C=90°

∠A+∠B+∠C=180°.
2∠B + ∠B + 3∠B = 180°.
6∠B = 180° → ∠B = 30°.
∠A = 60°, ∠C = 90°.

ఇది 30°-60°-90° triangle! ∠C=90° కాబట్టి Right triangle.
Check: 60°+30°+90°=180° ✓

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

అన్ని మూడు భుజాలు వేర్వేరు పొడవులు గల triangle

Scalene triangle:
✦ అన్ని మూడు sides వేర్వేరు పొడవులు.
✦ అన్ని మూడు angles కూడా వేర్వేరు.

ఉదా: 3cm, 4cm, 5cm sides ఉన్న triangle = scalene.
"Scalene" = unequal. No two sides equal!

Both true. Medians meet at centroid dividing in 2:1. R is a property of centroid but not a direct explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం. R కేంద్రకం గుణం చెప్తుంది కానీ A కు నేరు వివరణ కాదు.

13 cm

a²+b²=c².
5²+12²=25+144=169=13².
Hypotenuse = 13 cm.

5-12-13 Pythagorean triple! తెలుసుకోవాల్సిన triples:
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

అన్నీ ఒకే point వద్ద coincide అవుతాయి

Equilateral triangle లో అన్ని 4 centers ఒకే point వద్ద ఉంటాయి:
✦ Centroid = Incenter = Circumcenter = Orthocenter.

ఎందుకంటే: Equilateral triangle లో అన్ని medians = altitudes = angle bisectors = perpendicular bisectors!
This is its unique symmetric property.

Both true. 9+16=25=5². R verifies using Pythagoras theorem.
A, R రెండూ సత్యం. 3,4,5 పైథాగరస్ త్రికం.

Same shape కానీ different size గల triangles

Similar triangles:
✦ Corresponding angles సమానంగా ఉంటాయి.
✦ Corresponding sides proportional గా ఉంటాయి.
✦ Shape same, size different.

Symbol: ~ (similar symbol).
Congruent ≠ Similar: Congruent → same size, Similar → same shape only!

d² = R(R-2r); R ≥ 2r (Euler's inequality)

Euler's theorem: d² = R(R-2r).
d = distance between circumcenter (O) and incenter (I).

Euler's inequality: R ≥ 2r.
Equality: Equilateral triangle లో R=2r.

Example: 3-4-5 triangle: R=2.5, r=1 → d²=2.5(2.5-2)=1.25 → d=√1.25.

AB² + AC² = 2(AD² + BD²)

Apollonius theorem (Median length theorem):
AB² + AC² = 2(AD² + BD²).
c² + b² = 2(m_a² + (a/2)²).

Also: m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → 25+25=2(m_a²+9) → m_a²=16 → m_a=4.

Both true. Exterior angle=sum of opposite interior angles. R names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. బాహ్య కోణ ప్రమేయం.

ఏ రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి

a + b > c, b + c > a, a + c > b

ఉదా: 3, 4, 5 → 3+4=7>5 ✓, 3+5=8>4 ✓, 4+5=9>3 ✓ → Valid triangle.
2, 3, 6 → 2+3=5 < 6 ✗ → Triangle కాదు!ఇది triangle valid గా ఉందా లేదా అని check చేయడానికి వాడే most basic rule!

మూడు corresponding sides proportional అయితే similar

SSS Similarity:
AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF.

Congruence vs Similarity:
SSS Congruence: sides equal.
SSS Similarity: sides proportional.

84 cm²

s = (13+14+15)/2 = 21.
Area = √[21(21-13)(21-14)(21-15)]
= √[21×8×7×6]
= √7056 = 84 cm².

Check: 21×8=168, 168×7=1176, 1176×6=7056, √7056=84 ✓

80°

△ABC ~ △DEF → ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
∠D=40°, ∠B=∠E=60°.
∠C=∠F=180°-40°-60°=80°.

80°

AB=AC → ∠B=∠C (base angles equal).
∠A+∠B+∠C=180°.
20°+2∠B=180°.
∠B=80°.

BD = AC/2

Right triangle లో hypotenuse midpoint నుండి right angle vertex కి దూరం = hypotenuse/2.
BD = AC/2.

Proof: Circumcenter of right triangle = hypotenuse midpoint D.
BD = circumradius = AC/2.

మూడు sides midpoints ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Medial triangle = original triangle యొక్క మూడు sides midpoints ని కలపడం.

Properties:
Medial triangle ~ original (similar), ratio = 1:2.
Medial triangle area = original/4.
Centroid of medial = centroid of original (same point)!

b = 6·sin60°/sinA

∠A = 180°-60°-75° = 45°.
Sine rule: a/sinA = b/sinB.
6/sin45° = b/sin60°.
b = 6·sin60°/sin45° = 6×(√3/2)/(1/√2) = 6×√3/2×√2 = 3√6.

b = 3√6 ≈ 7.35.

cos A = 11/14... wait let me recalculate.

Cosine rule: a²=b²+c²-2bc·cosA.
25=49+64-2×7×8·cosA.
25=113-112·cosA.
112·cosA=88.
cosA=88/112=11/14.

cos A = 11/14 ≈ 0.786 → A ≈ 38.2°.

90°

Right triangle లో ఒక కోణం = 90°.
మిగతా రెండు కోణాలు: 90° + x + y = 180° → x + y = 90°.

కాబట్టి right triangle లో రెండు acute angles complementary అవుతాయి!
ఉదా: 30°-60°-90° triangle లో 30°+60°=90° ✓

h = ab/c

Area రెండు రీతులలో:
½ × a × b = ½ × c × h.
ab = ch → h = ab/c.

Also: h² = p×q (p,q = segments of hypotenuse).
Right triangle లో geometric mean relations చాలా important!

Vertex నుండి opposite side కు (లేదా extension కు) గీసిన line segment

Cevian = vertex నుండి opposite side పై (లేదా extension పై) end point కలిగిన line.
Median, Altitude, Angle bisector అన్నీ special cevians!

Ceva's theorem: Cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA) = 1.

Hypotenuse యొక్క midpoint వద్ద

Right triangle యొక్క circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద ఉంటుంది.
అంటే hypotenuse = circumscribed circle యొక్క diameter!

Important: ∠C=90° → AC² + BC² = AB² (Pythagoras) → circumcenter at midpoint of AB.
Special property of right triangles!

t_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) లేదా t_a² = bc[(b+c)²-a²]/(b+c)²

Angle bisector length from A:
t_a = (2bc/(b+c)) × cos(A/2).
లేదా: t_a² = bc[1-(a/(b+c))²].

ఇది Stewart's theorem నుండి derive అవుతుంది.
Exam లో: "bisector divides opposite side in AB:AC ratio" అనే concept ముఖ్యం.

PR = 9 (largest side → opposite to largest angle)

Largest side = PR = 9 → opposite angle = ∠Q (largest).
Smallest side = PQ = 7 → opposite angle = ∠R (smallest).

గుర్తు: Largest side ↔ Largest angle (always!)

R = 2.5

Area K = ½×3×4=6 (right triangle).
R = (3×4×5)/(4×6) = 60/24 = 2.5.

Check: For right triangle R = hypotenuse/2 = 5/2 = 2.5 ✓

Base = 2×10×cos70° ≈ 6.84

Apex angle = 180°-40°-40° = 100°.
Base bisector creates right angle.
Half base = 10×sin(100°/2) = 10×sin50°.
Wait: Drop altitude from apex → half base = leg × sin(base angle? No.

In right triangle formed: cos(base angle) = half-base/leg? No.
Let h = altitude. cos40° = h/10...

Actually: sin(apex/2) = half-base/leg.
sin50° = half-base/10 → half-base = 10×sin50°≈7.66 → base≈15.3.

OR: base = 2×leg×sin(half apex angle) = 2×10×sin50°≈15.3.

Let me use cosine rule: base²=10²+10²-2×100×cos(100°)=200-200cos100°=200+34.7=234.7 → base≈15.3.

Answer: Base ≈ 15.3 cm.