Triangles (త్రిభుజాలు)

Altitudes foot points ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Pedal triangle (Orthic triangle):
మూడు altitudes BC, CA, AB ని కలిసే foot points ని join చేస్తే ఏర్పడే triangle.

Properties:
Acute triangle: pedal triangle లోపల.
Right triangle: pedal triangle = altitude foot point (degenerate).
Obtuse triangle: pedal triangle వెలుపల (orthocenter outside).

BC = 12

Midpoint Theorem: రెండు sides midpoints ని join చేసే line మూడవ side కి parallel మరియు దాని సగం.
DE = BC/2 → 6 = BC/2 → BC = 12.
DE ∥ BC కూడా!

3 Altitudes కలిసే point

Orthocenter = మూడు altitudes intersection point.

Special properties:
Acute triangle: Orthocenter లోపల.
Right triangle: Orthocenter right angle vertex వద్ద.
Obtuse triangle: Orthocenter వెలుపల.

"Ortho" = straight/right — heights (perpendiculars) కలిసే point!

t_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) లేదా t_a² = bc[(b+c)²-a²]/(b+c)²

Angle bisector length from A:
t_a = (2bc/(b+c)) × cos(A/2).
లేదా: t_a² = bc[1-(a/(b+c))²].

ఇది Stewart's theorem నుండి derive అవుతుంది.
Exam లో: "bisector divides opposite side in AB:AC ratio" అనే concept ముఖ్యం.

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

a+b=c అయితే degenerate triangle (straight line) — area=0

a+b=c అయితే మూడు points ఒకే line పై ఉంటాయి (collinear).
అది triangle కాదు — zero area straight line!
కాబట్టి strict: a+b > c (not ≥).

Degenerate triangle: Area=0, ఒకే line పై — valid triangle కాదు!

Triangle లో ఒక side కి parallel line గీస్తే మిగతా రెండు sides proportionally divide అవుతాయి

△ABC లో DE∥BC అయినప్పుడు:
AD/DB = AE/EC.

Converse: AD/DB = AE/EC → DE∥BC.
ఇది Similar triangles మరియు parallel lines problems లో చాలా use అవుతుంది!

EF = 15

△ABC ~ △DEF. BC is hypotenuse (∠A=90°), EF is hypotenuse (∠D=90°).
BC/EF = AB/DE.
10/EF = 6/9.
EF = 10×9/6 = 15.

Triangle sides పై equilateral triangles వేసి వాటి centers కలిపితే equilateral triangle వస్తుంది

Napoleon's Theorem:
△ABC యొక్క మూడు sides పై బయటికి equilateral triangles నిర్మిస్తే వాటి centroids కలిపిన triangle కూడా equilateral!

Inner Napoleon triangle (inward): sides పై లోపలికి equilateral → inner equilateral.
Beautiful result in geometry!

3²+4²=9+16=25=5² ✓ → Right triangle

Pythagoras theorem: a²+b²=c².
3²+4² = 9+16 = 25 = 5².
25=25 ✓ → Right triangle confirmed!

3-4-5 అనేది most famous Pythagorean triple.
Other triples: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25...

Right triangle లో right angle కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం

Hypotenuse:
✦ Right angle (90°) కి opposite గా ఉంటుంది.
✦ Triangle లో అతి పెద్ద భుజం.
✦ Pythagoras theorem లో 'c'.

గుర్తు: Hypo = "under", tenuse = "stretch" → right angle కింద stretched side!

మూడు sides midpoints ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Medial triangle = original triangle యొక్క మూడు sides midpoints ని కలపడం.

Properties:
Medial triangle ~ original (similar), ratio = 1:2.
Medial triangle area = original/4.
Centroid of medial = centroid of original (same point)!

3 conditions (sides/angles combination) — SSS,SAS,ASA,AAS,RHS

Valid congruence rules (minimum 3 conditions):
✦ SSS: 3 sides
✦ SAS: 2 sides + included angle
✦ ASA: 2 angles + included side
✦ AAS: 2 angles + non-included side
✦ RHS: right angle + hypotenuse + one side

Invalid: SSA (ambiguous), AAA (only similar, not congruent)!

r = 2

Formula: r = Area/s.
s=(6+8+10)/2=12. Area=½×6×8=24 (right triangle).
r = 24/12 = 2.

Also: r = (a+b-c)/2 for right triangle = (6+8-10)/2=2 ✓

p = 9

Geometric mean relation: h² = p×q.
6² = 4×p.
36 = 4p → p = 9.

32

Perimeter ratio = sides ratio = 3:4.
24/perimeter DEF = 3/4.
Perimeter DEF = 24×4/3 = 32.

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

Vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి perpendicular గీసిన line

Altitude (Height):
✦ Vertex నుండి opposite side కి perpendicular (90°).
✦ ప్రతి triangle కు 3 altitudes ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 altitudes Orthocenter వద్ద కలుస్తాయి.

Triangle area = ½ × base × height (altitude)!

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

Isosceles triangle లో (same vertex నుండి)

Isosceles triangle AB=AC లో:
A నుండి BC కి గీసిన median మరియు altitude ఒకే line!
ఎందుకంటే: A నుండి BC కి perpendicular గీస్తే అది BC ని bisect కూడా చేస్తుంది.

Equilateral triangle లో: అన్ని మూడు vertices నుండి median=altitude=angle bisector!

అవుతుంది: 7²+24²=25²

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25².
625 = 625 ✓ → Right triangle!

7-24-25 is a Pythagorean triple.
గుర్తు: Pythagorean triples: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41...

AG:GD = 2:1

Centroid, median ని vertex నుండి 2:1 లో divide చేస్తుంది.
AG = (2/3)AD, GD = (1/3)AD.
AG:GD = 2:1.

All three medians pass through G and are divided 2:1 by G.

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

4

Isosceles triangle లో altitude BC ని bisect చేస్తుంది.
BD = 6/2 = 3.
AD² = AB² - BD² = 25 - 9 = 16.
AD = 4.

Check: Area = ½×6×4=12 = Heron's: s=8, √[8×3×3×2]=√144=12 ✓

PR = 9 (largest side → opposite to largest angle)

Largest side = PR = 9 → opposite angle = ∠Q (largest).
Smallest side = PQ = 7 → opposite angle = ∠R (smallest).

గుర్తు: Largest side ↔ Largest angle (always!)

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

Vertex నుండి opposite side కు (లేదా extension కు) గీసిన line segment

Cevian = vertex నుండి opposite side పై (లేదా extension పై) end point కలిగిన line.
Median, Altitude, Angle bisector అన్నీ special cevians!

Ceva's theorem: Cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA) = 1.

24√3 / 2 = ... let me compute

Area = ½ × b × c × sinA.
= ½ × 8 × 6 × sin60°.
= ½ × 48 × (√3/2).
= 12√3.

Area = 12√3 cm².

రెండు భుజాలు సమానంగా ఉన్న triangle

Isosceles triangle లో:
✦ రెండు sides (legs) సమానంగా ఉంటాయి.
✦ సమాన sides కి ఎదురుగా ఉన్న రెండు base angles కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదా: AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C.
"Iso" = equal, "Skelos" = leg. Two equal legs!

DE=5; DE∥BC

Midpoint Theorem:
DE = BC/2 = 10/2 = 5.
DE ∥ BC (parallel to third side).

Cevian పొడవు కనుగొనే formula: b²m + c²n = a(d²+mn)

△ABC లో cevian AD, BC ని m:n లో divide చేస్తే:
b²m + c²n = a(d²+mn).
ఇక్కడ a=BC, b=AC, c=AB, d=AD.

Median, altitude, angle bisector lengths ఇందు నుండి derive అవుతాయి.
Apollonius theorem = Stewart's theorem when m=n (median case)!

30 cm²

5-12-13 right triangle! (5²+12²=13²).
90° angle, legs = 5 and 12.
Area = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Right triangle లో legs perpendicular కాబట్టి directly ½×leg₁×leg₂ = area!

సమానంగా ఉంటాయి (Base angles equal)

Isosceles triangle theorem:
AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C (base angles equal).

Converse కూడా true: ∠B = ∠C అయినప్పుడు AB = AC.
ఇది exam లో చాలా useful — ఒక angle తెలిస్తే మరొకటి directly equal!

మూడు corresponding sides proportional అయితే similar

SSS Similarity:
AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF.

Congruence vs Similarity:
SSS Congruence: sides equal.
SSS Similarity: sides proportional.

90°

Right triangle లో ఒక కోణం = 90°.
మిగతా రెండు కోణాలు: 90° + x + y = 180° → x + y = 90°.

కాబట్టి right triangle లో రెండు acute angles complementary అవుతాయి!
ఉదా: 30°-60°-90° triangle లో 30°+60°=90° ✓

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

Hypotenuse యొక్క midpoint వద్ద

Right triangle యొక్క circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద ఉంటుంది.
అంటే hypotenuse = circumscribed circle యొక్క diameter!

Important: ∠C=90° → AC² + BC² = AB² (Pythagoras) → circumcenter at midpoint of AB.
Special property of right triangles!

QR = 7.5

Similar triangles లో corresponding sides proportional:
AB/PQ = BC/QR.
4/6 = 5/QR.
QR = 5×6/4 = 30/4 = 7.5.

మూడు sides సమానమైతే triangles congruent

SSS = Side-Side-Side.
రెండు triangles లో మూడు corresponding sides సమానమైతే triangles congruent.

AB=PQ, BC=QR, CA=RP → △ABC ≅ △PQR (by SSS).
Congruence rules: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS — ఇవన్నీ exam లో వస్తాయి!

అతి పెద్ద భుజం (Longest side)

Triangle లో:
✦ అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా → అతి పెద్ద భుజం.
✦ అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా → అతి చిన్న భుజం.

Right triangle లో: 90° (biggest angle) → Hypotenuse (longest side).
ఇది exams లో చాలా వస్తుంది!

b = 6·sin60°/sinA

∠A = 180°-60°-75° = 45°.
Sine rule: a/sinA = b/sinB.
6/sin45° = b/sin60°.
b = 6·sin60°/sin45° = 6×(√3/2)/(1/√2) = 6×√3/2×√2 = 3√6.

b = 3√6 ≈ 7.35.

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

రెండు sides మరియు వాటి మధ్య included angle సమానమైతే congruent

SAS = Side-Angle-Side.
AB=PQ, ∠B=∠Q, BC=QR → △ABC ≅ △PQR (by SAS).

"Included angle" అంటే రెండు sides మధ్య ఉన్న కోణం.
SSA congruence rule valid కాదు — angle included అవ్వాలి!

Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s=(a+b+c)/2

s = semi-perimeter = (a+b+c)/2.
Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)].

Height తెలియకున్నా మూడు sides తెలిస్తే area find చేయవచ్చు!
ఉదా: sides 3,4,5 → s=6, Area=√[6×3×2×1]=√36=6 cm².

R = a/√3

Equilateral triangle circumradius = a/√3.

Formula: R = abc/(4×Area) = a³/(4×(√3/4)a²) = a/√3.
Inradius r = a/(2√3).
R = 2r (circumradius = 2 × inradius for equilateral triangle).

Same shape కానీ different size గల triangles

Similar triangles:
✦ Corresponding angles సమానంగా ఉంటాయి.
✦ Corresponding sides proportional గా ఉంటాయి.
✦ Shape same, size different.

Symbol: ~ (similar symbol).
Congruent ≠ Similar: Congruent → same size, Similar → same shape only!

అతి పెద్ద కోణం

Triangle లో:
Longest side → Largest angle (ఎదురుగా).
Shortest side → Smallest angle (ఎదురుగా).

Right triangle: Hypotenuse (longest) → 90° (largest).
Isosceles: Equal sides opposite = equal angles.

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓