Triangles (త్రిభుజాలు)

30 cm²

5-12-13 right triangle! (5²+12²=13²).
90° angle, legs = 5 and 12.
Area = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Right triangle లో legs perpendicular కాబట్టి directly ½×leg₁×leg₂ = area!

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

సరిగ్గా ఒకే shape మరియు size గల triangles

Congruent triangles:
✦ అన్ని corresponding sides సమానం.
✦ అన్ని corresponding angles సమానం.
✦ ఒకదాన్ని మరొకదానిపై superimpose చేయవచ్చు.

Symbol: ≅ (congruent symbol).
"Congruent" = "in agreement" — completely matching!

రెండు sides మరియు వాటి మధ్య included angle సమానమైతే congruent

SAS = Side-Angle-Side.
AB=PQ, ∠B=∠Q, BC=QR → △ABC ≅ △PQR (by SAS).

"Included angle" అంటే రెండు sides మధ్య ఉన్న కోణం.
SSA congruence rule valid కాదు — angle included అవ్వాలి!

9:25

Similar triangles areas ratio = (sides ratio)².
= (3/5)² = 9/25.
Areas ratio = 9:25.

Key rule: Sides ratio = k → Areas ratio = k².
Perimeter ratio = k (same as sides).
Area ratio = k² (square of sides ratio).

24√3 / 2 = ... let me compute

Area = ½ × b × c × sinA.
= ½ × 8 × 6 × sin60°.
= ½ × 48 × (√3/2).
= 12√3.

Area = 12√3 cm².

(3/4)(a²+b²+c²)

m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.
m_b² = (2a²+2c²-b²)/4.
m_c² = (2a²+2b²-c²)/4.

Sum = (2b²+2c²-a²+2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)/4.
= (3a²+3b²+3c²)/4 = (3/4)(a²+b²+c²).

అతి పెద్ద కోణం

Triangle లో:
Longest side → Largest angle (ఎదురుగా).
Shortest side → Smallest angle (ఎదురుగా).

Right triangle: Hypotenuse (longest) → 90° (largest).
Isosceles: Equal sides opposite = equal angles.

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

Both true. Exterior angle=sum of opposite interior angles. R names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. బాహ్య కోణ ప్రమేయం.

Triangle sides పై equilateral triangles వేసి వాటి centers కలిపితే equilateral triangle వస్తుంది

Napoleon's Theorem:
△ABC యొక్క మూడు sides పై బయటికి equilateral triangles నిర్మిస్తే వాటి centroids కలిపిన triangle కూడా equilateral!

Inner Napoleon triangle (inward): sides పై లోపలికి equilateral → inner equilateral.
Beautiful result in geometry!

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

రెండు angles మరియు వాటి మధ్య included side సమానమైతే congruent

ASA = Angle-Side-Angle.
∠A=∠P, AB=PQ, ∠B=∠Q → △ABC ≅ △PQR (by ASA).

"Included side" = రెండు known angles మధ్య ఉన్న side.
AAS తో confuse కావద్దు: AAS లో side included కాకపోవచ్చు!

Both true. Triangle angle sum=180°. R correctly names the theorem.
A, R రెండూ సత్యం. త్రిభుజ కోణ మొత్తం=180°.

Both true. (√3/4)×36=9√3. R applies the correct formula.
A, R రెండూ సత్యం. వైశాల్యం=9√3 cm².

Base = 2×10×cos70° ≈ 6.84

Apex angle = 180°-40°-40° = 100°.
Base bisector creates right angle.
Half base = 10×sin(100°/2) = 10×sin50°.
Wait: Drop altitude from apex → half base = leg × sin(base angle? No.

In right triangle formed: cos(base angle) = half-base/leg? No.
Let h = altitude. cos40° = h/10...

Actually: sin(apex/2) = half-base/leg.
sin50° = half-base/10 → half-base = 10×sin50°≈7.66 → base≈15.3.

OR: base = 2×leg×sin(half apex angle) = 2×10×sin50°≈15.3.

Let me use cosine rule: base²=10²+10²-2×100×cos(100°)=200-200cos100°=200+34.7=234.7 → base≈15.3.

Answer: Base ≈ 15.3 cm.

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

DE=5; DE∥BC

Midpoint Theorem:
DE = BC/2 = 10/2 = 5.
DE ∥ BC (parallel to third side).

Conic sections మరియు projective geometry లో — advanced application

Pascal's theorem (Hexagrammum Mysticum):
Hexagon ని conic (circle, ellipse, etc.) పై inscribe చేస్తే opposite sides extensions కలిసే 3 points collinear.

Triangle context: Degenerate conic = pair of lines.
Advanced geometry లో triangles mặt coordinates తో study చేస్తారు.
Basic exam కు: Ceva's theorem, Menelaus theorem ముఖ్యం!

45°

90° + 45° + x = 180°.
x = 180° - 135° = 45°.

ఇది 45°-45°-90° triangle — Isosceles right triangle!
రెండు legs సమానంగా ఉంటాయి. Hypotenuse = leg × √2.
ఉదా: legs = 1,1 → hypotenuse = √2.

Both true. Third angle=180-140=40°. R shows subtraction correctly.
A, R రెండూ సత్యం. మూడవ కోణం=40°.

Both A and R are true, but R describes SAS not SSS — different rule, not an explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం కానీ R వేరే నియమం (SAS) గురించి చెప్తుంది; A కు వివరణ కాదు.

1 : √3 : 2

30°-60°-90° triangle sides ratio:
Opposite to 30° = 1 (shortest side)
Opposite to 60° = √3
Opposite to 90° = 2 (hypotenuse)

Ratio = 1:√3:2.
ఉదా: hypotenuse=10 → short side=5, medium side=5√3.
Exam లో చాలా use అవుతుంది!

3²+4²=9+16=25=5² ✓ → Right triangle

Pythagoras theorem: a²+b²=c².
3²+4² = 9+16 = 25 = 5².
25=25 ✓ → Right triangle confirmed!

3-4-5 అనేది most famous Pythagorean triple.
Other triples: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25...

అతి పెద్ద భుజం (Longest side)

Triangle లో:
✦ అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా → అతి పెద్ద భుజం.
✦ అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా → అతి చిన్న భుజం.

Right triangle లో: 90° (biggest angle) → Hypotenuse (longest side).
ఇది exams లో చాలా వస్తుంది!

Isosceles triangle లో (same vertex నుండి)

Isosceles triangle AB=AC లో:
A నుండి BC కి గీసిన median మరియు altitude ఒకే line!
ఎందుకంటే: A నుండి BC కి perpendicular గీస్తే అది BC ని bisect కూడా చేస్తుంది.

Equilateral triangle లో: అన్ని మూడు vertices నుండి median=altitude=angle bisector!

80°

△ABC ~ △DEF → ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
∠D=40°, ∠B=∠E=60°.
∠C=∠F=180°-40°-60°=80°.

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓

A is true: area ratio = (side ratio)². R is false: corresponding sides are proportional (not equal) in similar triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: అనుకూల భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, సమానం కాదు.

R = a/√3

Equilateral triangle circumradius = a/√3.

Formula: R = abc/(4×Area) = a³/(4×(√3/4)a²) = a/√3.
Inradius r = a/(2√3).
R = 2r (circumradius = 2 × inradius for equilateral triangle).

Transversal collinearity: (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = -1

△ABC లో transversal line BC, CA, AB extensions ని F, D, E వద్ద కలిస్తే:
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = -1 (signed ratios తో).

Ceva's theorem: concurrent cevians → product = +1.
Menelaus theorem: collinear points → product = -1.
దోహాల్ని కలిసి use చేస్తారు!

cos A = 11/14... wait let me recalculate.

Cosine rule: a²=b²+c²-2bc·cosA.
25=49+64-2×7×8·cosA.
25=113-112·cosA.
112·cosA=88.
cosA=88/112=11/14.

cos A = 11/14 ≈ 0.786 → A ≈ 38.2°.

60 cm²

8²+15²=64+225=289=17² → Right triangle!
Area = ½ × 8 × 15 = 60 cm².

8-15-17 Pythagorean triple! Right triangle కాబట్టి directly legs use చేయవచ్చు.

QR = 7.5

Similar triangles లో corresponding sides proportional:
AB/PQ = BC/QR.
4/6 = 5/QR.
QR = 5×6/4 = 30/4 = 7.5.

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

Right triangle లో right angle కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం

Hypotenuse:
✦ Right angle (90°) కి opposite గా ఉంటుంది.
✦ Triangle లో అతి పెద్ద భుజం.
✦ Pythagoras theorem లో 'c'.

గుర్తు: Hypo = "under", tenuse = "stretch" → right angle కింద stretched side!

h = ab/c

Area రెండు రీతులలో:
½ × a × b = ½ × c × h.
ab = ch → h = ab/c.

Also: h² = p×q (p,q = segments of hypotenuse).
Right triangle లో geometric mean relations చాలా important!

BD = AC/2

Right triangle లో hypotenuse midpoint నుండి right angle vertex కి దూరం = hypotenuse/2.
BD = AC/2.

Proof: Circumcenter of right triangle = hypotenuse midpoint D.
BD = circumradius = AC/2.

Vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి perpendicular గీసిన line

Altitude (Height):
✦ Vertex నుండి opposite side కి perpendicular (90°).
✦ ప్రతి triangle కు 3 altitudes ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 altitudes Orthocenter వద్ద కలుస్తాయి.

Triangle area = ½ × base × height (altitude)!

= 2R (R = circumradius)

Sine Rule: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.

R = circumradius.
Usage: రెండు angles మరియు ఒక side తెలిస్తే మిగతా sides కనుగొనవచ్చు.
ఉదా: ∠A=30°, a=5 → 5/sin30° = 2R → R=5.

40°

Exterior angle theorem: exterior = sum of two non-adjacent interior angles.
110° = 70° + third angle.
Third angle = 110° - 70° = 40°.

Check: Interior angle at that vertex = 180°-110°=70°.
70°+70°+40°=180° ✓

మూడు sides సమానమైతే triangles congruent

SSS = Side-Side-Side.
రెండు triangles లో మూడు corresponding sides సమానమైతే triangles congruent.

AB=PQ, BC=QR, CA=RP → △ABC ≅ △PQR (by SSS).
Congruence rules: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS — ఇవన్నీ exam లో వస్తాయి!

Exterior Angle Theorem

Triangle ABC లో BC extend చేసి D వచ్చింది.
∠ACD (exterior) = ∠A + ∠B (రెండు non-adjacent interior angles).

Proof: ∠A+∠B+∠C=180°, ∠ACD+∠C=180° (linear pair) → ∠ACD = ∠A+∠B.
Exam లో చాలా useful — missing angle వేగంగా find చేయవచ్చు!

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

Incenter వద్ద — inscribed circle యొక్క center

3 Angle bisectors Incenter వద్ద కలుస్తాయి.
Incenter = triangle లో inscribed (లోపల) circle యొక్క center.
Incenter నుండి అన్ని మూడు sides కి equal distance!

Special points:
Centroid = medians కలిసే point
Incenter = angle bisectors కలిసే point
Orthocenter = altitudes కలిసే point
Circumcenter = perpendicular bisectors కలిసే point

A is true: Pythagoras applies to right triangles. R is false: it applies only to right-angled triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: పైథాగరస్ కేవలం సమకోణ త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది.

A is true: Heron's formula is correct. R is false: it applies to ANY triangle.
A సత్యం. R అసత్యం: హీరాన్ సూత్రం అన్ని త్రిభుజాలకు వర్తిస్తుంది.