Triangles (త్రిభుజాలు)

అవుతుంది: 7²+24²=25²

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25².
625 = 625 ✓ → Right triangle!

7-24-25 is a Pythagorean triple.
గుర్తు: Pythagorean triples: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41...

180°

ఇది Geometry లో అత్యంత ముఖ్యమైన fact!
ఏ triangle అయినా — Equilateral, Isosceles, Scalene, Right — అన్నింటిలో కోణాల మొత్తం సరిగ్గా 180°.

ఉదా: ∠A=60°, ∠B=70°, ∠C=50° → 60+70+50=180° ✓
Exam tip: ఒక కోణం తెలియకపోతే → 180° నుండి మిగతా రెండు తీసివేయండి!

అన్ని మూడు భుజాలు వేర్వేరు పొడవులు గల triangle

Scalene triangle:
✦ అన్ని మూడు sides వేర్వేరు పొడవులు.
✦ అన్ని మూడు angles కూడా వేర్వేరు.

ఉదా: 3cm, 4cm, 5cm sides ఉన్న triangle = scalene.
"Scalene" = unequal. No two sides equal!

Area = ½ × base × height

Area of triangle = ½ × b × h.
ఇక్కడ: b = base, h = height (altitude to that base).

ఉదా: base=8 cm, height=5 cm → Area = ½×8×5 = 20 cm².
గుర్తు: Rectangle area = b×h, Triangle = దాని సగం = ½×b×h!

Both true. 9+16=25=5². R verifies using Pythagoras theorem.
A, R రెండూ సత్యం. 3,4,5 పైథాగరస్ త్రికం.

అతి పెద్ద కోణం

Triangle లో:
Longest side → Largest angle (ఎదురుగా).
Shortest side → Smallest angle (ఎదురుగా).

Right triangle: Hypotenuse (longest) → 90° (largest).
Isosceles: Equal sides opposite = equal angles.

r = 2

Formula: r = Area/s.
s=(6+8+10)/2=12. Area=½×6×8=24 (right triangle).
r = 24/12 = 2.

Also: r = (a+b-c)/2 for right triangle = (6+8-10)/2=2 ✓

QR = 7.5

Similar triangles లో corresponding sides proportional:
AB/PQ = BC/QR.
4/6 = 5/QR.
QR = 5×6/4 = 30/4 = 7.5.

సమానంగా ఉంటాయి (Base angles equal)

Isosceles triangle theorem:
AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C (base angles equal).

Converse కూడా true: ∠B = ∠C అయినప్పుడు AB = AC.
ఇది exam లో చాలా useful — ఒక angle తెలిస్తే మరొకటి directly equal!

(√3/4) × a²

Equilateral triangle area = (√3/4) × a².

Derivation: height h = (√3/2)a.
Area = ½ × a × (√3/2)a = (√3/4)a².

ఉదా: side=4 cm → Area = (√3/4)×16 = 4√3 cm².

h = ab/c

Area రెండు రీతులలో:
½ × a × b = ½ × c × h.
ab = ch → h = ab/c.

Also: h² = p×q (p,q = segments of hypotenuse).
Right triangle లో geometric mean relations చాలా important!

మూడు sides సమానమైతే triangles congruent

SSS = Side-Side-Side.
రెండు triangles లో మూడు corresponding sides సమానమైతే triangles congruent.

AB=PQ, BC=QR, CA=RP → △ABC ≅ △PQR (by SSS).
Congruence rules: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS — ఇవన్నీ exam లో వస్తాయి!

Triangle యొక్క 9 special points గుండా వెళ్ళే circle

Nine-point circle గుండా వెళ్ళే 9 points:
3 sides midpoints, 3 altitudes foot points, 3 midpoints of orthocenter నుండి vertices వరకు.

Nine-point circle radius = circumradius/2.
Euler line: Circumcenter, Centroid, Orthocenter ఒకే line పై!

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

60 cm²

8²+15²=64+225=289=17² → Right triangle!
Area = ½ × 8 × 15 = 60 cm².

8-15-17 Pythagorean triple! Right triangle కాబట్టి directly legs use చేయవచ్చు.

8

a²+b²=c²: 6²+b²=10².
36+b²=100 → b²=64 → b=8.

6-8-10 = 3-4-5 triple రెట్టింపు!
Check: 36+64=100=10² ✓

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s=(a+b+c)/2

s = semi-perimeter = (a+b+c)/2.
Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)].

Height తెలియకున్నా మూడు sides తెలిస్తే area find చేయవచ్చు!
ఉదా: sides 3,4,5 → s=6, Area=√[6×3×2×1]=√36=6 cm².

Right triangle లో right angle కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం

Hypotenuse:
✦ Right angle (90°) కి opposite గా ఉంటుంది.
✦ Triangle లో అతి పెద్ద భుజం.
✦ Pythagoras theorem లో 'c'.

గుర్తు: Hypo = "under", tenuse = "stretch" → right angle కింద stretched side!

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓

అతి పెద్ద భుజం (Longest side)

Triangle లో:
✦ అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా → అతి పెద్ద భుజం.
✦ అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా → అతి చిన్న భుజం.

Right triangle లో: 90° (biggest angle) → Hypotenuse (longest side).
ఇది exams లో చాలా వస్తుంది!

t_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) లేదా t_a² = bc[(b+c)²-a²]/(b+c)²

Angle bisector length from A:
t_a = (2bc/(b+c)) × cos(A/2).
లేదా: t_a² = bc[1-(a/(b+c))²].

ఇది Stewart's theorem నుండి derive అవుతుంది.
Exam లో: "bisector divides opposite side in AB:AC ratio" అనే concept ముఖ్యం.

a√2

45°-45°-90° triangle = Isosceles right triangle.
Legs = a, a. Hypotenuse = √(a²+a²) = √(2a²) = a√2.

Ratio = 1:1:√2.
ఉదా: leg=5 → hypotenuse=5√2.

3 < x < 7Triangle inequality: x < 2+5 = 7 → x < 7. x > 5-2 = 3 → x > 3.
కాబట్టి 3 < x < 7.Rule: |a-b| < c < a+b. ఇక్కడ |5-2|

Isosceles triangle లో (same vertex నుండి)

Isosceles triangle AB=AC లో:
A నుండి BC కి గీసిన median మరియు altitude ఒకే line!
ఎందుకంటే: A నుండి BC కి perpendicular గీస్తే అది BC ని bisect కూడా చేస్తుంది.

Equilateral triangle లో: అన్ని మూడు vertices నుండి median=altitude=angle bisector!

= 2R (R = circumradius)

Sine Rule: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.

R = circumradius.
Usage: రెండు angles మరియు ఒక side తెలిస్తే మిగతా sides కనుగొనవచ్చు.
ఉదా: ∠A=30°, a=5 → 5/sin30° = 2R → R=5.

80°

AB=AC → ∠B=∠C (base angles equal).
∠A+∠B+∠C=180°.
20°+2∠B=180°.
∠B=80°.

30 cm²

5-12-13 right triangle! (5²+12²=13²).
90° angle, legs = 5 and 12.
Area = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Right triangle లో legs perpendicular కాబట్టి directly ½×leg₁×leg₂ = area!

80°

△ABC ~ △DEF → ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
∠D=40°, ∠B=∠E=60°.
∠C=∠F=180°-40°-60°=80°.

∠C = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°.
50° + 70° + ∠C = 180°.
∠C = 180° - 120° = 60°.

BC = 12

Midpoint Theorem: రెండు sides midpoints ని join చేసే line మూడవ side కి parallel మరియు దాని సగం.
DE = BC/2 → 6 = BC/2 → BC = 12.
DE ∥ BC కూడా!

Vertex నుండి opposite side కు (లేదా extension కు) గీసిన line segment

Cevian = vertex నుండి opposite side పై (లేదా extension పై) end point కలిగిన line.
Median, Altitude, Angle bisector అన్నీ special cevians!

Ceva's theorem: Cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA) = 1.

అవుతాయి — AA Similarity (Angle-Angle)

రెండు triangles లో రెండు corresponding angles equal అయితే triangles similar.
∠A=∠P, ∠B=∠Q → ∠C=∠R automatically (angle sum 180°).
కాబట్టి △ABC ~ △PQR (AA similarity).

AA similarity: 2 angles తెలిస్తే చాలు — third angle automatically equal!

ఒక vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజం యొక్క midpoint కు గీసిన line

Median:
✦ Vertex నుండి opposite side యొక్క midpoint కు.
✦ ప్రతి triangle కు 3 medians ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 medians Centroid వద్ద కలుస్తాయి.

Centroid = triangle యొక్క "center of gravity" / balancing point!

S/3

Centroid మూడు medians ద్వారా triangle ని 6 equal small triangles లో divide చేస్తుంది.
△AGB area = 2 × (S/6) = S/3.

Centroid property: మూడు triangles △AGB, △BGC, △CGA అన్నీ equal area S/3!

13 cm

a²+b²=c².
5²+12²=25+144=169=13².
Hypotenuse = 13 cm.

5-12-13 Pythagorean triple! తెలుసుకోవాల్సిన triples:
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

ఏ రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి

a + b > c, b + c > a, a + c > b

ఉదా: 3, 4, 5 → 3+4=7>5 ✓, 3+5=8>4 ✓, 4+5=9>3 ✓ → Valid triangle.
2, 3, 6 → 2+3=5 < 6 ✗ → Triangle కాదు!ఇది triangle valid గా ఉందా లేదా అని check చేయడానికి వాడే most basic rule!

A is true: Heron's formula is correct. R is false: it applies to ANY triangle.
A సత్యం. R అసత్యం: హీరాన్ సూత్రం అన్ని త్రిభుజాలకు వర్తిస్తుంది.

మూడు corresponding sides proportional అయితే similar

SSS Similarity:
AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF.

Congruence vs Similarity:
SSS Congruence: sides equal.
SSS Similarity: sides proportional.

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

(3/4)(a²+b²+c²)

m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.
m_b² = (2a²+2c²-b²)/4.
m_c² = (2a²+2b²-c²)/4.

Sum = (2b²+2c²-a²+2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)/4.
= (3a²+3b²+3c²)/4 = (3/4)(a²+b²+c²).

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

Vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి perpendicular గీసిన line

Altitude (Height):
✦ Vertex నుండి opposite side కి perpendicular (90°).
✦ ప్రతి triangle కు 3 altitudes ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 altitudes Orthocenter వద్ద కలుస్తాయి.

Triangle area = ½ × base × height (altitude)!

Both true. Medians meet at centroid dividing in 2:1. R is a property of centroid but not a direct explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం. R కేంద్రకం గుణం చెప్తుంది కానీ A కు నేరు వివరణ కాదు.

p = 9

Geometric mean relation: h² = p×q.
6² = 4×p.
36 = 4p → p = 9.

12 cm

(√3/4)a² = 36√3.
a² = 36√3 × 4/√3 = 144.
a = 12 cm.

Check: (√3/4)×144 = 36√3 ✓

మూడు sides midpoints ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Medial triangle = original triangle యొక్క మూడు sides midpoints ని కలపడం.

Properties:
Medial triangle ~ original (similar), ratio = 1:2.
Medial triangle area = original/4.
Centroid of medial = centroid of original (same point)!

∠B=30°, ∠A=60°, ∠C=90°

∠A+∠B+∠C=180°.
2∠B + ∠B + 3∠B = 180°.
6∠B = 180° → ∠B = 30°.
∠A = 60°, ∠C = 90°.

ఇది 30°-60°-90° triangle! ∠C=90° కాబట్టి Right triangle.
Check: 60°+30°+90°=180° ✓