Triangles (త్రిభుజాలు)

A is true: Pythagoras applies to right triangles. R is false: it applies only to right-angled triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: పైథాగరస్ కేవలం సమకోణ త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది.

Both true. Third angle=180-140=40°. R shows subtraction correctly.
A, R రెండూ సత్యం. మూడవ కోణం=40°.

= 2R (R = circumradius)

Sine Rule: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.

R = circumradius.
Usage: రెండు angles మరియు ఒక side తెలిస్తే మిగతా sides కనుగొనవచ్చు.
ఉదా: ∠A=30°, a=5 → 5/sin30° = 2R → R=5.

∠C = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°.
50° + 70° + ∠C = 180°.
∠C = 180° - 120° = 60°.

3 < x < 7Triangle inequality: x < 2+5 = 7 → x < 7. x > 5-2 = 3 → x > 3.
కాబట్టి 3 < x < 7.Rule: |a-b| < c < a+b. ఇక్కడ |5-2|

3 Medians కలిసే point — Centroid

Triangle యొక్క Centroid:
✦ మూడు medians intersection point.
✦ Triangle యొక్క "center of mass" / balancing point.
✦ Centroid, median ను 2:1 నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

Vertex నుండి centroid దూరం = median యొక్క 2/3.
Centroid → Centroid is always INSIDE the triangle!

Right triangle లో: hypotenuse² = other two sides² మొత్తం

a² + b² = c² (c = hypotenuse)

Right triangle లో:
Hypotenuse (longest side) చతురస్రం = మిగతా రెండు sides చతురస్రాల మొత్తం.

ఉదా: 3-4-5 triangle: 3²+4²=9+16=25=5² ✓
Most important theorem in geometry!

Triangle inequality వాడి: ప్రతి median < two related sides averageIn △ABD (D = midpoint of BC): AB + BD > AD → c + a/2 > m_a → m_a < c + a/2. Similarly: m_b < a + b/2, m_c < b + c/2. Adding: m_a+m_b+m_c < c+a/2+a+b/2+b+c/2 = (3/2)(a+b+c)/...Actually: 2m_a < b+c (easier form). Sum: 2(m_a+m_b+m_c) < 2(a+b+c). So: m_a+m_b+m_c < a+b+c. ✓Also proven: (3/4)(perimeter) < sum of medians < perimeter.

30 cm²

5-12-13 right triangle! (5²+12²=13²).
90° angle, legs = 5 and 12.
Area = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Right triangle లో legs perpendicular కాబట్టి directly ½×leg₁×leg₂ = area!

12 cm

(√3/4)a² = 36√3.
a² = 36√3 × 4/√3 = 144.
a = 12 cm.

Check: (√3/4)×144 = 36√3 ✓

R = a/√3

Equilateral triangle circumradius = a/√3.

Formula: R = abc/(4×Area) = a³/(4×(√3/4)a²) = a/√3.
Inradius r = a/(2√3).
R = 2r (circumradius = 2 × inradius for equilateral triangle).

18 cm

Equilateral triangle లో అన్ని sides సమానం.
Perimeter = 3 × side = 3 × 6 = 18 cm.

Simple! Equilateral → అన్నీ సమానం → 3 రెట్లు multiply చేయండి.

9:25

Similar triangles areas ratio = (sides ratio)².
= (3/5)² = 9/25.
Areas ratio = 9:25.

Key rule: Sides ratio = k → Areas ratio = k².
Perimeter ratio = k (same as sides).
Area ratio = k² (square of sides ratio).

4

Isosceles triangle లో altitude BC ని bisect చేస్తుంది.
BD = 6/2 = 3.
AD² = AB² - BD² = 25 - 9 = 16.
AD = 4.

Check: Area = ½×6×4=12 = Heron's: s=8, √[8×3×3×2]=√144=12 ✓

50°

AD, ∠A ని bisect చేస్తుంది.
∠BAD = ∠A/2 = 100°/2 = 50°.

EF = 15

△ABC ~ △DEF. BC is hypotenuse (∠A=90°), EF is hypotenuse (∠D=90°).
BC/EF = AB/DE.
10/EF = 6/9.
EF = 10×9/6 = 15.

సమానంగా ఉంటాయి (Base angles equal)

Isosceles triangle theorem:
AB = AC అయినప్పుడు ∠B = ∠C (base angles equal).

Converse కూడా true: ∠B = ∠C అయినప్పుడు AB = AC.
ఇది exam లో చాలా useful — ఒక angle తెలిస్తే మరొకటి directly equal!

QR = 7.5

Similar triangles లో corresponding sides proportional:
AB/PQ = BC/QR.
4/6 = 5/QR.
QR = 5×6/4 = 30/4 = 7.5.

3 Altitudes కలిసే point

Orthocenter = మూడు altitudes intersection point.

Special properties:
Acute triangle: Orthocenter లోపల.
Right triangle: Orthocenter right angle vertex వద్ద.
Obtuse triangle: Orthocenter వెలుపల.

"Ortho" = straight/right — heights (perpendiculars) కలిసే point!

13 cm

a²+b²=c².
5²+12²=25+144=169=13².
Hypotenuse = 13 cm.

5-12-13 Pythagorean triple! తెలుసుకోవాల్సిన triples:
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

Conic sections మరియు projective geometry లో — advanced application

Pascal's theorem (Hexagrammum Mysticum):
Hexagon ని conic (circle, ellipse, etc.) పై inscribe చేస్తే opposite sides extensions కలిసే 3 points collinear.

Triangle context: Degenerate conic = pair of lines.
Advanced geometry లో triangles mặt coordinates తో study చేస్తారు.
Basic exam కు: Ceva's theorem, Menelaus theorem ముఖ్యం!

1 : √3 : 2

30°-60°-90° triangle sides ratio:
Opposite to 30° = 1 (shortest side)
Opposite to 60° = √3
Opposite to 90° = 2 (hypotenuse)

Ratio = 1:√3:2.
ఉదా: hypotenuse=10 → short side=5, medium side=5√3.
Exam లో చాలా use అవుతుంది!

Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s=(a+b+c)/2

s = semi-perimeter = (a+b+c)/2.
Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)].

Height తెలియకున్నా మూడు sides తెలిస్తే area find చేయవచ్చు!
ఉదా: sides 3,4,5 → s=6, Area=√[6×3×2×1]=√36=6 cm².

Triangle యొక్క 9 special points గుండా వెళ్ళే circle

Nine-point circle గుండా వెళ్ళే 9 points:
3 sides midpoints, 3 altitudes foot points, 3 midpoints of orthocenter నుండి vertices వరకు.

Nine-point circle radius = circumradius/2.
Euler line: Circumcenter, Centroid, Orthocenter ఒకే line పై!

Vertex నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి perpendicular గీసిన line

Altitude (Height):
✦ Vertex నుండి opposite side కి perpendicular (90°).
✦ ప్రతి triangle కు 3 altitudes ఉంటాయి.
✦ అన్ని 3 altitudes Orthocenter వద్ద కలుస్తాయి.

Triangle area = ½ × base × height (altitude)!

3 conditions (sides/angles combination) — SSS,SAS,ASA,AAS,RHS

Valid congruence rules (minimum 3 conditions):
✦ SSS: 3 sides
✦ SAS: 2 sides + included angle
✦ ASA: 2 angles + included side
✦ AAS: 2 angles + non-included side
✦ RHS: right angle + hypotenuse + one side

Invalid: SSA (ambiguous), AAA (only similar, not congruent)!

DE=5; DE∥BC

Midpoint Theorem:
DE = BC/2 = 10/2 = 5.
DE ∥ BC (parallel to third side).

3²+4²=9+16=25=5² ✓ → Right triangle

Pythagoras theorem: a²+b²=c².
3²+4² = 9+16 = 25 = 5².
25=25 ✓ → Right triangle confirmed!

3-4-5 అనేది most famous Pythagorean triple.
Other triples: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25...

R = 2.5

Area K = ½×3×4=6 (right triangle).
R = (3×4×5)/(4×6) = 60/24 = 2.5.

Check: For right triangle R = hypotenuse/2 = 5/2 = 2.5 ✓

60°

Adjacent interior (at same vertex) = 180°-130° = 50°.
Third angle = 130°-70° = 60° (exterior = sum of non-adjacent).
Check: 50°+70°+60°=180° ✓

S/3

Centroid మూడు medians ద్వారా triangle ని 6 equal small triangles లో divide చేస్తుంది.
△AGB area = 2 × (S/6) = S/3.

Centroid property: మూడు triangles △AGB, △BGC, △CGA అన్నీ equal area S/3!

Isosceles triangle లో (same vertex నుండి)

Isosceles triangle AB=AC లో:
A నుండి BC కి గీసిన median మరియు altitude ఒకే line!
ఎందుకంటే: A నుండి BC కి perpendicular గీస్తే అది BC ని bisect కూడా చేస్తుంది.

Equilateral triangle లో: అన్ని మూడు vertices నుండి median=altitude=angle bisector!

Both A and R are true, but R describes SAS not SSS — different rule, not an explanation of A.
A, R రెండూ సత్యం కానీ R వేరే నియమం (SAS) గురించి చెప్తుంది; A కు వివరణ కాదు.

AG:GD = 2:1

Centroid, median ని vertex నుండి 2:1 లో divide చేస్తుంది.
AG = (2/3)AD, GD = (1/3)AD.
AG:GD = 2:1.

All three medians pass through G and are divided 2:1 by G.

A is true: area ratio = (side ratio)². R is false: corresponding sides are proportional (not equal) in similar triangles.
A సత్యం. R అసత్యం: అనుకూల భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, సమానం కాదు.

a√2

45°-45°-90° triangle = Isosceles right triangle.
Legs = a, a. Hypotenuse = √(a²+a²) = √(2a²) = a√2.

Ratio = 1:1:√2.
ఉదా: leg=5 → hypotenuse=5√2.

r = 2

5-12-13 right triangle.
Area = ½×5×12 = 30.
s = (5+12+13)/2 = 15.
r = Area/s = 30/15 = 2.

Or formula: r = (a+b-c)/2 = (5+12-13)/2 = 4/2 = 2 ✓

Altitudes foot points ని కలిపి ఏర్పడే triangle

Pedal triangle (Orthic triangle):
మూడు altitudes BC, CA, AB ని కలిసే foot points ని join చేస్తే ఏర్పడే triangle.

Properties:
Acute triangle: pedal triangle లోపల.
Right triangle: pedal triangle = altitude foot point (degenerate).
Obtuse triangle: pedal triangle వెలుపల (orthocenter outside).

DE = 10

Area ratio = 16:25 = (sides ratio)².
Sides ratio = √(16/25) = 4/5.
AB/DE = 4/5 → 8/DE = 4/5 → DE = 10.

(3/4)(a²+b²+c²)

m_a² = (2b²+2c²-a²)/4.
m_b² = (2a²+2c²-b²)/4.
m_c² = (2a²+2b²-c²)/4.

Sum = (2b²+2c²-a²+2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)/4.
= (3a²+3b²+3c²)/4 = (3/4)(a²+b²+c²).

BD:DC = AB:AC

Angle Bisector Theorem:
∠A ని bisect చేసే AD, BC ని BD:DC = AB:AC నిష్పత్తిలో divide చేస్తుంది.

ఉదా: AB=6, AC=4 → BD:DC = 6:4 = 3:2.
Very important theorem for DSC exam!

Triangle లో ఒక side కి parallel line గీస్తే మిగతా రెండు sides proportionally divide అవుతాయి

△ABC లో DE∥BC అయినప్పుడు:
AD/DB = AE/EC.

Converse: AD/DB = AE/EC → DE∥BC.
ఇది Similar triangles మరియు parallel lines problems లో చాలా use అవుతుంది!

3 Perpendicular bisectors కలిసే point — circumscribed circle center

Circumcenter = మూడు perpendicular bisectors intersection.
Circumcenter నుండి అన్ని 3 vertices కి equal distance = circumradius.

Special:
Acute triangle → Circumcenter లోపల.
Right triangle → Circumcenter hypotenuse midpoint వద్ద.
Obtuse triangle → Circumcenter వెలుపల.

అవుతాయి — AA Similarity (Angle-Angle)

రెండు triangles లో రెండు corresponding angles equal అయితే triangles similar.
∠A=∠P, ∠B=∠Q → ∠C=∠R automatically (angle sum 180°).
కాబట్టి △ABC ~ △PQR (AA similarity).

AA similarity: 2 angles తెలిస్తే చాలు — third angle automatically equal!

cos A = 11/14... wait let me recalculate.

Cosine rule: a²=b²+c²-2bc·cosA.
25=49+64-2×7×8·cosA.
25=113-112·cosA.
112·cosA=88.
cosA=88/112=11/14.

cos A = 11/14 ≈ 0.786 → A ≈ 38.2°.

Cevian పొడవు కనుగొనే formula: b²m + c²n = a(d²+mn)

△ABC లో cevian AD, BC ని m:n లో divide చేస్తే:
b²m + c²n = a(d²+mn).
ఇక్కడ a=BC, b=AC, c=AB, d=AD.

Median, altitude, angle bisector lengths ఇందు నుండి derive అవుతాయి.
Apollonius theorem = Stewart's theorem when m=n (median case)!

Area = ½ × base × height

Area of triangle = ½ × b × h.
ఇక్కడ: b = base, h = height (altitude to that base).

ఉదా: base=8 cm, height=5 cm → Area = ½×8×5 = 20 cm².
గుర్తు: Rectangle area = b×h, Triangle = దాని సగం = ½×b×h!

AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4

Apollonius (Median length) theorem:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4.
లేదా: AB² + AC² = 2(AD² + BD²).

ఉదా: AB=5, AC=5, BC=6 → AD²=(50+50-36)/4=64/4=16 → AD=4 ✓ (earlier problem!)

Exterior Angle Theorem

Triangle ABC లో BC extend చేసి D వచ్చింది.
∠ACD (exterior) = ∠A + ∠B (రెండు non-adjacent interior angles).

Proof: ∠A+∠B+∠C=180°, ∠ACD+∠C=180° (linear pair) → ∠ACD = ∠A+∠B.
Exam లో చాలా useful — missing angle వేగంగా find చేయవచ్చు!

Cevians concurrent ↔ (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1

△ABC లో cevians AD, BE, CF concurrent అయినప్పుడు:
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = 1.

Converse: ఆ product = 1 అయినప్పుడు cevians concurrent.
Centroid, Incenter, Orthocenter అన్నీ concurrent cevians!