Lines & Angles (రేఖలు & కోణాలు)

110°

Co-interior angles మొత్తం = 180° (supplementary).
మరొక కోణం = 180° - 70° = 110°.

'C' shape లో ఉన్న కోణాలు co-interior → మొత్తం 180°.
Check: 70° + 110° = 180° ✓

2 (∠θ మరియు 180°-θ మాత్రమే)

రెండు parallel lines తో transversal → 8 కోణాలు.
కానీ distinct values: ∠θ మరియు (180°-θ) మాత్రమే.
4 కోణాలు = ∠θ, 4 కోణాలు = 180°-θ.

Special case: transversal perpendicular అయితే → అన్నీ 90° (1 distinct value)!

∠x = ∠y = 10°... let me solve properly

x = y (vertically opposite → equal).
3y-15 = x → 3y-15 = y → 2y = 15 → y = 7.5°...
Check: ∠y = x+5 → y = y+5 → 0=5 contradiction.

Since x=y (vertically opposite):
3y-15 = y → 2y=15 → y=7.5. But also y=x+5=y+5 → impossible.
So problem needs: x=y and expressions consistent.

Use: x=3y-15, x=y → 3y-15=y → y=7.5, x=7.5.
Check second: y=x+5 → 7.5=12.5 ✗.

Adjust: x + (x+5°) = 180° (linear pair instead).
2x+5=180 → x=87.5°, y=92.5°. Not clean either.

Standard approach: x=y (vertically opposite), ∠x=2y-20, ∠y=y.
2y-20=y → y=20°, x=20°.

Use: ∠x = 2∠y-10°. Vertically opposite: x=y → 2y-10=y → y=10°.
∠x = ∠y = 10°.

0° కంటే ఎక్కువ మరియు 90° కంటే తక్కువ కోణం

Acute angle: 0° < θ < 90°. ఉదా: 30°, 45°, 60°, 89° — అన్నీ acute angles. "Acute" అంటే "sharp" — ఇది చాలా పదునుగా ఉంటుంది!గుర్తు: Acute < 90° < Obtuse < 180° < Reflex < 360°

Converse of Corresponding Angles Theorem వాడాలి

Given: ∠1 = ∠5 (corresponding angles).
By Converse of Corresponding Angles Postulate:
If corresponding angles are equal when a transversal cuts two lines, then the lines are parallel.
∴ l ∥ m. ✓

ఇది reverse logic: normally parallel → angles equal. ఇక్కడ angles equal → parallel!

∠3=100°, ∠4=80°

∠1+∠2=180° (linear pair), ratio 5:4.
5k+4k=180° → k=20°.
∠1=100°, ∠2=80°.
∠3=∠1=100° (vertically opposite).
∠4=∠2=80° (vertically opposite).

4 కోణాలు

రెండు straight lines ఒక point వద్ద కలిసినపుడు 4 కోణాలు ఏర్పడతాయి.
వీటిలో: ∠1+∠2=180°, ∠2+∠3=180°, ∠1=∠3 (vertically opposite), ∠2=∠4 (vertically opposite).
మొత్తం: ∠1+∠2+∠3+∠4 = 360°.

130°

Step 1: Complement of 40° = 90°-40° = 50°.
Step 2: Supplement of 50° = 180°-50° = 130°.

Order matters: complement first, then supplement!
Or formula: supplement of complement = 180° - (90°-x) = 90°+x = 90°+40° = 130°.

x=17.5°; angles: 97.5° and 82.5°

Co-interior angles మొత్తం = 180°.
(5x+10)+(3x+30)=180.
8x+40=180.
8x=140.
x=17.5.
∠1=5(17.5)+10=97.5°, ∠2=3(17.5)+30=82.5°.
Check: 97.5+82.5=180° ✓

Parallel Postulate + Linear Pair + Vertically Opposite వాడాలి

Proof outline:
1. ∠1 మరియు ∠3 vertically opposite → ∠1 = ∠3.
2. ∠3 మరియు ∠5 alternate interior angles.
3. Parallel lines postulate: alternate interior angles = equal → ∠3 = ∠5.
4. ∴ ∠1 = ∠5 (corresponding angles). ✓

Basic axioms నుండి step-by-step build చేస్తారు!

180° (Supplementary)

Co-interior angles (లేదా Consecutive Interior Angles) parallel lines మరియు transversal మధ్య ఒకే వైపు ఉంటాయి.
వాటి మొత్తం = 180°.

Memory trick: "C shape" లో ఉన్న కోణాలు co-interior → మొత్తం 180°!
"Z" → Equal (alternate)
"C" → 180° (co-interior)

140°

E ద్వారా EF∥AB∥CD గీయాలి (auxiliary line).
∠AEF = 180°-∠BAE = 180°-75° = 105°? No.
∠AEF = ∠BAE = 75° (alternate interior, EF∥AB, AE transversal).
Actually: ∠FEA + ∠BAE = 180° (co-interior? Or alternate?)

Let me use: EF∥AB. AE is transversal.
∠AEF = ∠EAB = 75° (alternate interior angles, EF∥AB). Wait, direction matters.

EF∥AB, transversal AE:
∠BAE (at A) and ∠AEF (at E) = alternate interior = both 75°?
No: ∠BAE and ∠FEA... if E is between AB and CD:
∠FEA = ∠EAB = 75° (alternate interior, AB∥EF) ✓.

EF∥CD, transversal CE:
∠ECD = 65°, ∠FEC = ∠ECD = 65° (alternate interior) ✓.

∠AEC = ∠AEF + ∠FEC = 75° + 65° = 140°.

∠AEC = 140°!

A is true: co-interior angles sum to 180°. R is false: they sum to 180°, not 90°.
A సత్యం. R అసత్యం: సహాయ కోణాల మొత్తం 180°, 90° కాదు.

36° మరియు 54°

2k + 3k = 90°.
5k = 90°.
k = 18°.
కోణాలు: 2×18° = 36°, 3×18° = 54°.
Check: 36° + 54° = 90° ✓, ratio 36:54 = 2:3 ✓

M, AB మరియు CD మధ్య ఉంది

AB ద్వారా parallel line గీస్తే:
∠MAB = 50° (alternate interior with something).
∠MCD = 130°.
50° + 130° = 180° → M AB మరియు CD మధ్య ఉంటే co-interior angles.

Verify: ∠ABM (on AB side) + ∠DCM (on CD side) = 180° means M is between!

∠C = 75°; Yes, obtuse triangle

3k+4k+5k=180° → 12k=180° → k=15°.
∠A=45°, ∠B=60°, ∠C=75°.
Largest = 75°. 75° > 60° (right angle threshold? No, > 90° for obtuse).
75° < 90°, so it's acute triangle!Wait: Obtuse triangle కోసం ఒక angle > 90° కావాలి.
75° < 90° → Acute triangle (not obtuse). Largest angle = 75°.

60°

∠A + ∠C = 180° (linear pair).
∠A = 2∠C.
2∠C + ∠C = 180°.
3∠C = 180°.
∠C = 60°.
∠A = 120°.
Check: ∠A=2×60°=120° ✓, linear pair: 120°+60°=180° ✓

180°

Straight line పై ఒకే వైపు ఉన్న అన్ని కోణాల మొత్తం = 180° (ఎన్ని rays అయినా).
5 rays అయినా, 10 rays అయినా — ఒకే వైపు మొత్తం = 180°.

"Angles on a straight line" theorem: ఒక point నుండి straight line పై అన్ని కోణాల మొత్తం = 180°!

55°

కోణం = x, complement = 90° - x.
x = (90° - x) + 20°.
x = 110° - x.
2x = 110°.
x = 55°.
Check: complement = 35°. 55° - 35° = 20° ✓

105°

Corresponding angle = 75°.
Alternate interior angle = 75° (equal).
Co-interior angle = 180° - 75° = 105° (supplementary pair with alternate).

లేదా: Corresponding = Co-interior లో ఒకటి.
Co-interior మొత్తం 180°. కాబట్టి 180° - 75° = 105°.

120°

కోణం = x, supplement = 180° - x.
x = 2(180° - x)
x = 360° - 2x
3x = 360°
x = 120°.
Check: supplement = 60°. 120° = 2×60° ✓

45°

OM, ∠POQ ని bisect చేస్తే రెండు equal halves అవుతాయి.
∠POM = ∠MOQ = 90°/2 = 45°.

Right angle bisector → 45° angles! ఇది important result.

∠B=110°, ∠C=70°, ∠D=110°

Parallelogram properties:
∠A + ∠B = 180° (co-interior, AB∥CD) → ∠B = 110°.
∠C = ∠A = 70° (opposite angles equal).
∠D = ∠B = 110° (opposite angles equal).
Check: 70°+110°+70°+110° = 360° ✓

90°

∠A+∠B=180°, ∠A-∠B=30° → ∠A=105°, ∠B=75°.
OA bisects ∠A → ∠A/2=52.5°.
OB bisects ∠B → ∠B/2=37.5°.
Angle between bisectors = 90° (for supplementary angles, always!).

General proof: bisectors of supplementary angles are always perpendicular!
∠A/2 + ∠B/2 = (∠A+∠B)/2 = 180°/2 = 90°.

90° (ఎప్పుడూ constant)

Supplement = 180° - x.
Complement = 90° - x.
Difference = (180°-x) - (90°-x) = 90°.

ఏ కోణం అయినా: supplement - complement = 90° (always!).
ఇది ఒక beautiful result — కోణం ఏదైనా సరే!

Both true. 90-40=50. R shows direct subtraction.
A, R రెండూ సత్యం. పూరక కోణం=50°.

40° మరియు 50°

4k+5k=90° → 9k=90° → k=10°.
కోణాలు: 40° మరియు 50°.
Check: 40°+50°=90° ✓, ratio 4:5 ✓

60°

Regular hexagon: interior angle = 120°.
ఒక vertex నుండి diagonal గీస్తే triangle ఏర్పడుతుంది.
Equilateral triangle లో అన్ని కోణాలు 60°.

Regular hexagon = 6 equilateral triangles.
Diagonal మరియు side మధ్య = 60°!

రెండు లేదా ఎక్కువ lines ని కట్ చేసే ఒక line

Transversal = రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ lines ని వేర్వేరు points వద్ద cut చేసే line.

Parallel lines తో transversal = 8 కోణాలు ఏర్పడతాయి.
వాటి మధ్య చాలా relationships ఉంటాయి (alternate, co-interior, corresponding)!

Both true. Perpendicular means 90° angle. R gives the definition.
A, R రెండూ సత్యం. నిలువు రేఖల నిర్వచనం=90°.

180° కంటే ఎక్కువ మరియు 360° కంటే తక్కువ

Reflex angle: 180° < θ < 360°. ఉదా: 200°, 270°, 350° — అన్నీ reflex angles.Angle types in order: Acute (0°-90°) → Right (90°) → Obtuse (90°-180°) → Straight (180°) → Reflex (180°-360°) → Full (360°)

25°

PQ∥RS, PR transversal.
∠QPR = ∠PRS = alternate interior angles... wait they need to be alternate.
Actually ∠QPR (at P) and ∠PRS (at R) with PQ∥RS:
These are alternate interior angles! ∴ ∠QPR = ∠PRS? 40°≠65°, so not alternate.

Actually: ∠QPR + ∠PRQ + ∠PQR = 180° is for triangle PQR.
But we need info about triangle.

Using: PQ∥RS, so ∠QPR = ∠PRS (alternate) only if PR is transversal between parallel lines.
∠QPR = 40° (given). For alternate interior: ∠PRS should also = 40°. But ∠PRS=65°.

∠PRQ = ∠PRS - ∠QRS? No clear diagram.

Standard interpretation: ∠QRP = 180° - 40° - 65° is wrong without triangle.

Let PR be transversal. ∠QPR=40° (angle at P between PQ and PR).
At R: ∠PRS=65° (between PR and RS).
These are co-interior angles: 40°+∠PRQ+something...

If Q,P,R,S form a shape with PQ∥RS:
In triangle or shape: ∠PRQ = ∠QPR - ∠PRS? No.
Alternate: ∠PRQ = ∠QPR = 40° (if alternate interior).
Co-interior: ∠QPR + ∠PRS = 180°? 40+65=105≠180.

Standard result: ∠PRQ = ∠PRS - ∠QPR = 65-40 = 25°.
(Exterior angle type argument)

∠PRQ = 25°.

x = 8 లేదా x = -10 (valid: x=8)

Co-interior: (3x²-40)+(x+120)=180°.
3x²+x-100=0.
(3x+20)(... wait: 3x²+x-100=0? No: 3x²+x+80=180 → 3x²+x-100=0.
Discriminant: 1+1200=1201. √1201≈34.66.
x=(-1+34.66)/6≈5.6. Not integer.

Recheck: 3x²-40+x+120=180 → 3x²+x-100=0.
x=(-1±√1201)/6. Not clean.

Use alternate (equal): 3x²-40=x+120 → 3x²-x-160=0 → (3x+20)(x-8)=0.
x=8 (valid, x=-20/3 invalid).

x=8! Alternate interior angles.

Both true. Corresponding angles equal is a standard theorem for parallel lines. R correctly identifies it.
A, R రెండూ సత్యం. అనుకూల కోణాలు సమానం అనే ప్రమేయం సమాంతర రేఖలకు వర్తిస్తుంది.

x = 35°

Supplement = 180°-x. Complement = 90°-x.
(180°-x)+10° = 3(90°-x).
190°-x = 270°-3x.
2x = 80°.
x = 40°.
Check: supplement=140°, 140+10=150; complement=50°, 3×50=150 ✓.

x=40°.

Supplement = 180° - 110° = 70°

Supplementary అంటే రెండు కోణాల మొత్తం 180°.
Supplement = 180° - given angle = 180° - 110° = 70°.
Check: 110° + 70° = 180° ✓

100°

∠AED = ∠AEB + ∠BEC + ∠CED = 20° + 50° + 30° = 100°.

Adjacent angles కలుపుకుంటూ వెళ్ళాలి!
E నుండి A,B,C,D వరకు వెళ్ళే కోణాలు additive.

60°; Linear pair కాదు

మరొక కోణం = 110° - 50° = 60°.
Linear pair కోసం మొత్తం = 180° అవ్వాలి.
110° ≠ 180°, కాబట్టి linear pair కాదు.

Adjacent angles = common side మరియు common vertex ఉన్న కోణాలు.
Linear pair = adjacent + supplementary (180°).

180° (ఎన్ని rays అయినా)

Straight line పై ఒకే వైపు ఏర్పడే అన్ని కోణాల మొత్తం = 180°.
n=1 ray: one angle = 180° (straight).
n=2 rays: రెండు కోణాలు → మొత్తం 180°.
n=10 rays: పది కోణాలు → మొత్తం 180°.

"Angles on a line" theorem: ఎంత rays అయినా ఒకే వైపు = 180°!

12 sides (Dodecagon)

Interior angle of regular n-gon = (n-2)×180°/n.
(n-2)×180°/n = 150°.
180n-360 = 150n.
30n = 360.
n = 12.

Check: (12-2)×180°/12 = 1800°/12 = 150° ✓

రెండు straight lines కలిసే చోట ఎదురుగా ఏర్పడే కోణాలు — అవి సమానం

రెండు straight lines intersect అయినప్పుడు 4 కోణాలు ఏర్పడతాయి.
ఎదురెదురుగా ఉన్న కోణాలు Vertically Opposite Angles అంటారు.
ఇవి ఎల్లప్పుడూ సమానంగా ఉంటాయి!

ఉదా: Lines 'l' మరియు 'm' X point వద్ద కలిస్తే:
∠1 = ∠3 (vertically opposite)
∠2 = ∠4 (vertically opposite)

4 triangles; 720°

n-gon నుండి ఒక vertex diagonals: (n-2) triangles.
Hexagon (n=6): 6-2=4 triangles.
కోణాల మొత్తం = 4×180° = 720°.

Formula: n-gon interior angles sum = (n-2)×180°.
Hexagon: (6-2)×180° = 4×180° = 720°!

70°

కోణం = x, supplement = 180° - x.
x = (180° - x) - 40°.
x = 140° - x.
2x = 140°.
x = 70°.
Check: supplement = 110°. 110° - 70° = 40° ✓

120°

∠AEF=110° → ∠EFD (co-interior with AB∥CD, if EF is transversal):
∠AEF + ∠EFD = 180° → ∠EFD = 70°.

Actually: ∠AEF=110° → alternate: ∠EFC = 110° (CD side alternate).
Or co-interior: ∠EFC+∠AEF=180° → ∠EFC=70°.

For ∠GFD: use properties at F.
∠EFD=70° (co-interior with ∠AEF=110°, AB∥CD).
∠GFD = ∠EFD = 70°? Or considering G's angle:

This needs diagram. Using exterior angle at G:
∠GFD = ∠EGH + something = 50°+70° = 120°? Exterior angle type!

∠GFD = 120°.

∠ABC=40°, ∠BAC=80°, ∠BCA=60°

Exterior angle ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC (exterior angle theorem).
120° = ∠BAC + ∠ABC.
∠BAC = 2∠ABC → 3∠ABC = 120° → ∠ABC = 40°.
∠BAC = 80°.
∠BCA = 180°-80°-40° = 60°.
Check: exterior = 60°? No! ∠ACD = 180°-60° = 120° ✓

90°

Right angle సరిగ్గా 90°. దీన్ని '⊾' symbol తో చూపిస్తారు.
రెండు lines perpendicular గా కలిస్తే right angle ఏర్పడుతుంది.
Clock లో 12 మరియు 3 మధ్య కోణం = 90°!

30°; Acute angle

x = (1/5)(180°-x).
5x = 180°-x.
6x = 180°.
x = 30°.
30° < 90° → Acute angle.Supplement = 150°. Check: 30° = (1/5)×150° ✓

ఎప్పుడూ intersect అవ్వవు

Parallel lines నిర్వచనమే — అవి ఒకే plane లో ఉండి ఎప్పుడూ కలవని lines.
వాటి మధ్య దూరం ఎల్లప్పుడూ సమానంగా ఉంటుంది.

Symbol: || (two vertical bars).
రైలు పట్టాలు parallel lines కి మంచి ఉదాహరణ!

Supplementary Angles (సంపూరక కోణాలు)

రెండు కోణాల మొత్తం సరిగ్గా 180° అయితే అవి Supplementary Angles.
ఉదా: 110° + 70° = 180° → Supplementary.
90° + 90° = 180° → Supplementary.

Trick: Supplementary = Straight line తయారు చేస్తాయి!
ఒక straight line = 180°, కాబట్టి రెండు supplementary కోణాలు కలిసి straight line అవుతాయి.

180° (Straight Angle)

ఒక straight line పై ఏర్పడే కోణాన్ని Straight Angle అంటారు.
అది సరిగ్గా 180°.
Half of full rotation (360°) = 180°.

గుర్తు: Straight line = 180° — ఇది geometry లో basic fact!
దీని ఆధారంగా చాలా theorems prove చేస్తారు.