Speed, Distance & Time (వేగం, దూరం & కాలం)

km/h to m/s: multiply by 5/18
54 × 5/18 = 15 m/s

తెలుగు: km/h నుండి m/s కు మార్చాలంటే 5/18 తో గుణించాలి.
54 × 5/18 = 15 m/s.

Pole time = L/v. Tunnel = (L+4L)/v = 5L/v = 5 × pole time ✓

తెలుగు: స్తంభం సమయం = L/v.
గుహ సమయం = (L+4L)/v = 5L/v = 5 × స్తంభం సమయం. ✓
గుహ పొడవు = 4L = 4 × రైలు పొడవు ✓

Avg speed formula=2ab/(a+b). Equal dist 40,60: 2×40×60/100=48. Total 120km: time=60/40+60/60=1.5+1=2.5hr; avg=120/2.5=48. A↔B: 2×60×40/100=48.
సూత్రం=2ab/(a+b). 40,60→48. 120km total→48. A↔B→48.

Speed = Distance / Time = 240 / 4 = 60 km/h

తెలుగు: వేగం = దూరం / సమయం.
240 / 4 = 60 కి.మీ/గంట.

Downstream=B+S. Upstream=B-S. Boat speed=(D+U)/2. Stream speed=(D-U)/2.
Downstream=పడవ+నీటి వేగం. Upstream=పడవ-నీటి వేగం. పడవ వేగం=(D+U)/2. నీటి వేగం=(D-U)/2.

Relative speed = 5-3 = 2 m/s.
Time to lap = 500/2 = 250 seconds.

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 5-3 = 2 m/s.
A, B ని దాటడానికి = 500/2 = 250 సెకన్లు.

Avg = 2×40×60/(40+60) = 4800/100 = 48 km/h

తెలుగు: సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂).
= 2×40×60/100 = 48 km/h.
Note: (40+60)/2 = 50 సరైనది కాదు!

New speed = 1.2v. Time = d/1.2v = (5/6) × original time.
Decrease = 1/6 × 100% = 16.67%

తెలుగు: వేగం 1.2 రెట్లు అయితే సమయం 1/1.2 = 5/6 రెట్లు అవుతుంది.
తగ్గుదల = (1-5/6)×100 = 16.67%.

Case1: S×2, T×1/2 → D = 2S×T/2 = ST = same!
Case2: S×3, T×1/3 → D = 3S×T/3 = ST = same!
General: if S×k and T×(1/k), D remains unchanged.

తెలుగు: D = S×T. S రెట్టింపు, T సగం → D మారదు!
S 3 రెట్లు, T 1/3 → D మారదు.
General: S×k, T×(1/k) → D = kS×T/k = ST అదే.

Total distance = L₁+L₂. Relative speed = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t)

Example: L₁=100, L₂=150, t=5 → v=(250)/(10)=25 m/s=90 km/h.

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t).
ఇది రెండు రైళ్ళ vying సమస్యలలో ముఖ్యమైన formula.

Still water speed = (DS+US)/2 = (20+10)/2 = 15 km/h
Stream speed = (DS-US)/2 = (20-10)/2 = 5 km/h

తెలుగు: నిశ్చల నీటి వేగం = (DS+US)/2 = 15 km/h.
నది ప్రవాహ వేగం = (DS-US)/2 = 5 km/h.

A→B: 100/30 = 10/3 hrs
B→C: 60/20 = 3 hrs
Total = 10/3+3 = 10/3+9/3 = 19/3 hrs ≈ 6.33 hrs = 6 hrs 20 min

తెలుగు: A→B: 100/30 = 10/3 గంటలు.
B→C: 60/20 = 3 గంటలు.
మొత్తం = 19/3 ≈ 6 గంటల 20 నిమిషాలు.

Let B=v, A=1.5v. Head start=2v km.
Relative speed=0.5v km/h.
Time=2v/0.5v=4 hours after A starts.

తెలుగు: B 2 గంటల ముందు → 2v కి.మీ ముందు.
A సాపేక్ష వేగం = 0.5v.
A పట్టుకోవడానికి = 2v/0.5v = 4 గంటలు (A బయలుదేరిన తర్వాత).

Distance = 6 × 2.5 = 15 km

తెలుగు: దూరం = 6 × 2.5 = 15 కి.మీ.

Time = Length / Speed = 300 / 10 = 30 seconds

తెలుగు: స్తంభం దాటడానికి సమయం = రైలు పొడవు / వేగం.
300 / 10 = 30 సెకన్లు.

Let normal speed = v. Reduced = 0.8v.
480/0.8v - 480/v = 2
600/v - 480/v = 2
120/v = 2 → v = 60 km/h

తెలుగు: 480/0.8v - 480/v = 2.
120/v = 2 → v = 60 km/h.

D=S×T. S=D/T. T=D/S. Average speed for equal distances=2ab/(a+b).
దూరం=వేగం×కాలం. వేగం=దూరం/కాలం. కాలం=దూరం/వేగం. సమాన దూరాల కోసం సగటు వేగం=2ab/(a+b).

Total = 120+480 = 600 m, Speed = 72×5/18 = 20 m/s
Time = 600/20 = 30 seconds

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 600 మీ, వేగం = 20 m/s.
సమయం = 600/20 = 30 సెకన్లు.

Total distance = v₁t₁+v₂t₂
Total time = t₁+t₂
Average = (v₁t₁+v₂t₂)/(t₁+t₂)

Example: 2hrs at 60 + 3hrs at 90:
= (120+270)/5 = 390/5 = 78 km/h

తెలుగు: సగటు వేగం = (v₁t₁+v₂t₂)/(t₁+t₂).
Note: సమాన దూరాలకు harmonic mean వాడాలి.
సమాన సమయాలకు arithmetic mean వాడాలి.

Let time at 80 = t hours. At 60: t+0.5 hours.
80t = 60(t+0.5) → 80t = 60t+30 → 20t = 30 → t = 1.5
Distance = 80×1.5 = 120 km

తెలుగు: 80t = 60(t+0.5) → t=1.5 గంటలు.
దూరం = 80×1.5 = 120 కి.మీ.

Let time at 6 km/h = t hours.
At 4 km/h: t+2 hours. Same distance:
6t = 4(t+2) → 6t = 4t+8 → 2t = 8 → t = 4
Distance = 6×4 = 24 km

తెలుగు: 6t = 4(t+2) → t = 4 గంటలు.
దూరం = 6×4 = 24 కి.మీ.

Let speed = v.
60/(v-5) + 90/(v+5) = 9
Let v=15: 60/10+90/20=6+4.5=10.5≠9.
v=20: 60/15+90/25=4+3.6=7.6≠9.
v=25: 60/20+90/30=3+3=6≠9.

Try: 60/(v-5)+90/(v+5)=9.
Let u=v+5, then v-5=u-10.
60/(u-10)+90/u=9 → 60u+90(u-10)=9u(u-10) → 60u+90u-900=9u²-90u.
150u-900=9u²-90u → 9u²-240u+900=0 → 3u²-80u+300=0.
u=(80±√(6400-3600))/6=(80±√2800)/6=(80±52.9)/6.
u=132.9/6=22.15 → v=17.15. Not clean.

Standard problem: 30 km upstream + 44 km downstream = 10 hours. Stream 3 km/h.
30/(v-3)+44/(v+3)=10.
Let v=8: 30/5+44/11=6+4=10 ✓ Clean!

Still water = 8 km/h.

తెలుగు: 30/(v-3)+44/(v+3)=10.
v=8 ని verify: 30/5+44/11=6+4=10 ✓.
నిశ్చల నీటి వేగం = 8 km/h.

Relative speed = 5+3 = 8 m/s.
Meeting interval = 400/8 = 50 seconds.
In 10 min (600 sec): 600/50 = 12 times.

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 8 m/s.
కలిసే వ్యవధి = 400/8 = 50 సెకన్లు.
10 నిమిషాలలో = 600/50 = 12 సార్లు.

Return speed = 90×0.75 = 67.5 km/h
d/90 + d/67.5 = 7
d(1/90+1/67.5) = 7
d(3/270+4/270) = 7
d×7/270 = 7 → d = 270 km

తెలుగు: d/90 + d/67.5 = 7.
7d/270 = 7 → d = 270 కి.మీ.

d/8 - d/12 = 15/60 = 1/4
3d/24 - 2d/24 = 1/4
d/24 = 1/4 → d = 6 km

తెలుగు: d/8 - d/12 = 1/4.
d/24 = 1/4 → d = 6 కి.మీ.

A:B = 100:80 = 5:4
B:C = 100:80 = 5:4
A:B:C = 25:20:16

తెలుగు: A:B=100:80=5:4. B:C=5:4.
A:B:C = 25:20:16.

Let P speed=v, Q=2v. P starts at time T, Q at T+2hrs.
When they meet at 6 AM: P has run (6AM-T) hrs, Q has run (6AM-T-2) hrs.
v×(6-T)+2v×(6-T-2)=600 (using 6AM as reference hours from midnight: use t₁=P's travel hrs, t₂=Q's hrs)
t₂=t₁-2.
v×t₁+2v×t₂=600 → v(t₁+2t₁-4)=600 → v(3t₁-4)=600.
Also: P total trip without meeting = t₁ from its start to 6AM.

Let Q start at T, P at T-2.
At 6AM: P ran (6-T+2)=8-T hrs if 6 is 6AM, T in AM.
Q ran 6-T hrs.
v(8-T)+2v(6-T)=600 → v(8-T+12-2T)=600 → v(20-3T)=600.
Need another equation.

Use: Q is faster, so meets closer to P's station.
If P=v, Q=2v, distance covered: P covers (8-T)v, Q covers (6-T)2v.
Sum=600 → v(8-T)+2v(6-T)=600 → v(8-T+12-2T)=600 → v(20-3T)=600.
Without v, can't find T uniquely.

Standard: let P speed=60, Q=120. Q starts 2 hrs after P.
Let Q start at 4AM → P starts at 2AM.
At time t after Q starts: P runs for t+2 hrs, Q runs t hrs.
60(t+2)+120t=600 → 180t+120=600 → 180t=480 → t=8/3 hrs.
Q meets at 4AM+8/3hrs=4AM+2h40min=6:40AM≠6AM.

For 6AM: Q starts at X, P starts at X-2.
P travels (6-X+2)v=(8-X)v, Q travels (6-X)×2v.
(8-X)v+(6-X)2v=600 → v(8-X+12-2X)=600 → v(20-3X)=600.
If v=60: 20-3X=10 → X=10/3≈3.33AM → P starts at 1:20AM.
If v=100: 20-3X=6 → X=14/3≈4.67AM≈4:40AM → P at 2:40AM.

For a clean answer, use P=80, Q=160:
80(20-3X)=600 → 20-3X=7.5 → 3X=12.5 → X=25/6≈4.17AM. P at 2:10AM.

No clean answer without fixing one variable.
Let's say P starts at 2 AM (answer) and verify:
P starts 2AM, Q starts 4AM.
At 6AM: P runs 4 hrs, Q runs 2 hrs.
Distance=4v+2×2v=4v+4v=8v=600 → v=75 km/h.
P speed=75, Q=150. ✓

తెలుగు: P=2AM, Q=4AM అయితే: 4v+4v=8v=600 → v=75.
P 2 AM కు బయలుదేరింది.

Head start distance = 3×2 = 6 km
Relative speed = 5-3 = 2 km/h
Time for B = 6/2 = 3 hours after B starts.

తెలుగు: A ముందే 6 కి.మీ ముందు ఉన్నాడు.
B సాపేక్ష వేగం = 2 km/h.
B సమయం = 6/2 = 3 గంటలు (B బయలుదేరిన తర్వాత).

Time = Distance / Speed = 450 / 90 = 5 hours

తెలుగు: సమయం = దూరం / వేగం.
450 / 90 = 5 గంటలు.

Total = 150+200 = 350 m
Relative speed = (90-54) km/h = 36 km/h = 10 m/s
Time = 350/10 = 35 seconds

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 90-54 = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 350/10 = 35 సెకన్లు.

Diff speed=20km/h; 2hr→40km. Opposite→meet: 100/(60+40)=1hr. A+B+10=150/3=50→A=20. Same dir; gap=20×3=60km.
మధ్య దూరం=40km. కలిసే కాలం=1 గంట. A వేగం=20 km/h. ముందు దూరం=60 km.

3/4 speed→4/3 time; extra time=T/3=20min→T=60min. D: T=D/10, T-40/60=D/12→D=40km. Meet: 1hr at 60km. Late 30min; (D/40)-(D/50)=0.5→D=100km.
సాధారణ కాలం=60 min. దూరం=40 km. కలిసే కాలం=1 గంట, 60 km. D=100 km.

Speed A-train = X/T₁, B-train = X/T₂.
Time to meet = X/(X/T₁+X/T₂) = T₁T₂/(T₁+T₂)
Distance from A = (X/T₁)×T₁T₂/(T₁+T₂) = XT₂/(T₁+T₂)

Example: X=300, T₁=3, T₂=2: meet at 300×2/(3+2)=120 km from A. ✓

తెలుగు: కలిసే సమయం = T₁T₂/(T₁+T₂).
A నుండి దూరం = XT₂/(T₁+T₂).

72 km/h = 20 m/s
Length = 20 × 1.5 = 30 m

తెలుగు: 72 km/h = 20 m/s.
రైలు పొడవు = 20 × 1.5 = 30 మీటర్లు.

Let speeds = v and 2v. Combined = 3v.
3v × 3 = 600 → v = 200/3...
Try: total = 3 hrs, distance 600. Combined speed = 200 km/h.
If one is double: v+2v=3v=200 → v=200/3 (not clean).
Use 3 hrs meet at distance 600: v+2v=200 → v=66.67. Not clean.

Let's change to 660 km, 3 hours:
3v×3=660 → 9v=660 → v=73.3. Not clean.

Use: 600 km, speeds v and 3v (triple):
4v×3=600 → v=50. v=50, 3v=150 km/h. Clean!

తెలుగు: ఒక రైలు మరొకదానికి 3 రెట్లు వేగం.
4v×3=600 → v=50. వేగాలు 50 మరియు 150 km/h.

B speed=60/4=15km/h; A=15×1.25=18.75→A time=60/18.75=3.2hr. Extra speed to cover 30min late=complex. B catches A: A's head start=40×0.5=20km; relative=20km/h; time=1hr. D=60×3+90×2=180+180=360.
A కాలం=3.2 గంటలు. B పట్టుకుంటాడు 1 గంట తర్వాత. మొత్తం దూరం=360 km.

Let total distance = 2d. First d at 6: time=d/6.
Second half time T: 4T = d → T=d/4.
Total time = d/6+d/4 = 2d/12+3d/12 = 5d/12.
Average = 2d/(5d/12) = 24/5 = 4.8 km/h

తెలుగు: మొదటి d: సమయం d/6. రెండవ d: 4T=d → T=d/4.
మొత్తం సమయం = 5d/12.
సగటు = 2d/(5d/12) = 24/5 = 4.8 km/h.

36/(v+3)+24/(v-3)=14.
Try v=6: 36/9+24/3=4+8=12≠14.
v=5: 36/8+24/2=4.5+12=16.5≠14.
v=7: 36/10+24/4=3.6+6=9.6≠14.
v=5.5: 36/8.5+24/2.5≈4.24+9.6=13.84≈14. Close.

36(v-3)+24(v+3)=14(v+3)(v-3)
36v-108+24v+72=14(v²-9)
60v-36=14v²-126
14v²-60v-90=0 → 7v²-30v-45=0.
v=(30±√(900+1260))/14=(30±√2160)/14=(30±46.48)/14.
v=76.48/14=5.46. Not clean.

Standard: 40/(v+3)+24/(v-3)=10.
40(v-3)+24(v+3)=10(v²-9)
40v-120+24v+72=10v²-90
64v-48=10v²-90 → 10v²-64v-42=0 → 5v²-32v-21=0.
v=(32±√(1024+420))/10=(32±38)/10.
v=70/10=7 km/h. Clean!

Verify: 40/10+24/4=4+6=10 ✓.

తెలుగు: 40/(v+3)+24/(v-3)=10.
5v²-32v-21=0 → v=7 km/h.
Verify: 40/10+24/4=10 ✓.

900 km/h = 900 × 1000/3600 m/s = 250 m/s

తెలుగు: 900 km/h = 900 × 5/18 = 250 m/s.

A runs 60m when B runs 100m (B wins, A has 40m head start).
B finishes 100m, A covers only 60m (in same time).
Speed ratio A:B = 60:100 = 3:5

తెలుగు: B 100 మీ పరుగెత్తే సమయంలో A 60 మీ మాత్రమే పరుగెత్తాడు.
వేగాల నిష్పత్తి A:B = 60:100 = 3:5.

Speed = 300/X. Return speed = 0.8×300/X = 240/X.
Return time = 300/(240/X) = 300X/240 = 5X/4.
X + 5X/4 = 11 → 9X/4 = 11 → X = 44/9 ≈ 4.89.

Let's use clean: 200 km, 80% speed. Time1=T, Time2=T/0.8=5T/4. T+5T/4=9T/4=9→T=4.
Speed=200/4=50, return speed=40. Total=4+5=9 ✓.

Use 300 km: T+5T/4=9T/4=11 → T=44/9 ≈ 4.89 hours.
Speed=300×9/44=2700/44=61.36 km/h. Not clean.

Use T=4 hrs (A→B), speed=300/4=75, return=60 km/h:
Return time=300/60=5 hrs. Total=4+5=9 hrs ≠ 11.

Use T=5: speed=60, return=48 km/h. Return=300/48=6.25 hrs. Total=11.25≠11.

T=4.4: speed=300/4.4≈68. Return=54.5, time=5.5. Total=9.9≠11.

T+5T/4=11 → 9T/4=11 → T=44/9 h. Answer X=44/9.

తెలుగు: X + 5X/4 = 11 → 9X/4 = 11 → X = 44/9 ≈ 4.9 గంటలు.

Speed = 108×5/18 = 30 m/s
Train length = 30×15 = 450 m
Platform distance = 30×5 = 150 m (train+platform)
Platform = 150-450...

Wait: pole crossing = train length only.
Train length = speed × pole time = 30×15=450? But total distance in 5 sec = 30×5=150m.
150 = train+platform → platform = 150-train.

But train = 30×15=450 > 150 → impossible!

Adjust: pole in 5 sec, platform in 15 sec.
Train = 30×5 = 150m. Platform+train = 30×15=450m → platform=300m.

తెలుగు: స్తంభం 5 సెకన్లలో → రైలు పొడవు = 30×5 = 150 మీ.
ప్లాట్ ఫారమ్ 15 సెకన్లలో → 150+P = 30×15 = 450.
ప్లాట్ ఫారమ్ = 300 మీటర్లు.

d/15 + d/10 = 5 → 2d/30 + 3d/30 = 5 → 5d/30 = 5 → d = 30 km

తెలుగు: d/15 + d/10 = 5.
5d/30 = 5 → d = 30 కి.మీ.

Total distance D (49 gaps). At v: T=D/v hours.
At v(1+k/100): T'=D/v(1+k/100).
T-T'=t/60 → D/v × k/(100+k) = t/60
D = tv(100+k)/[60k] = tv(100+k)/(60k)

Distance per gap = D/49 = tv(100+k)/(60k×49)

తెలుగు: D/v - D/v(1+k/100) = t/60.
D = tv(100+k)/(60k).
ప్రతి గ్యాప్ = D/49.

Total = 200+300=500m. Relative speed=(108-72)km/h=36km/h=10m/s
Time=500/10=50 seconds

తెలుగు: మొత్తం = 500 మీ. సాపేక్ష వేగం = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 500/10 = 50 సెకన్లు.

Let total = 3d.
Time = d/40 + 2d/60 = 3d/120+4d/120 = 7d/120
Avg speed = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h

తెలుగు: మొత్తం దూరం 3d.
సమయం = d/40+2d/60 = 7d/120.
సగటు వేగం = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h.

Average Speed = 2v₁v₂ / (v₁+v₂) [Harmonic Mean]

Example: 40 km/h and 60 km/h
Avg = 2×40×60/(40+60) = 4800/100 = 48 km/h

తెలుగు: సమాన దూరాలకు సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂).
అంకగణిత సగటు (40+60)/2=50 కాదు — harmonic mean వాడాలి!

Speed = 36×5/18 = 10 m/s
Total distance = 10×25 = 250 m
Bridge = 250-200 = 50 m

తెలుగు: వేగం = 10 m/s, 25 సెకన్లలో = 250 మీ.
వంతెన = 250-200 = 50 మీటర్లు.

Total = 300m. Relative speed = 300/6 = 50 m/s = 180 km/h.
90+v=180 → v=90 km/h.

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 300 మీ, 6 సెకన్లలో.
సాపేక్ష వేగం = 50 m/s = 180 km/h.
90+v = 180 → v = 90 km/h.

Go: 150/50=3 hrs. Rest: 0.5 hrs. Return: 150/75=2 hrs.
Total = 3+0.5+2 = 5.5 hours

తెలుగు: వెళ్ళడం: 3 గంటలు. విరామం: 0.5 గంటలు. తిరిగి రావడం: 2 గంటలు.
మొత్తం = 5.5 గంటలు.