Speed, Distance & Time (వేగం, దూరం & కాలం)

km/h to m/s: ×5/18. m/s to km/h: ×18/5. 72×5/18=20. 20×18/5=72. 90×5/18=25. 15×18/5=54.
km/h → m/s: ×5/18. m/s → km/h: ×18/5. 72→20. 20→72. 90→25. 15→54.

Total distance = 200+500 = 700 m
Speed = 700/35 = 20 m/s

తెలుగు: మొత్తం దూరం = రైలు పొడవు + వంతెన పొడవు = 700 మీ.
వేగం = 700/35 = 20 m/s.

Avg = 2×40×60/(40+60) = 4800/100 = 48 km/h

తెలుగు: సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂).
= 2×40×60/100 = 48 km/h.
Note: (40+60)/2 = 50 సరైనది కాదు!

New speed = 1.2v. Time = d/1.2v = (5/6) × original time.
Decrease = 1/6 × 100% = 16.67%

తెలుగు: వేగం 1.2 రెట్లు అయితే సమయం 1/1.2 = 5/6 రెట్లు అవుతుంది.
తగ్గుదల = (1-5/6)×100 = 16.67%.

Speed = 300/X. Return speed = 0.8×300/X = 240/X.
Return time = 300/(240/X) = 300X/240 = 5X/4.
X + 5X/4 = 11 → 9X/4 = 11 → X = 44/9 ≈ 4.89.

Let's use clean: 200 km, 80% speed. Time1=T, Time2=T/0.8=5T/4. T+5T/4=9T/4=9→T=4.
Speed=200/4=50, return speed=40. Total=4+5=9 ✓.

Use 300 km: T+5T/4=9T/4=11 → T=44/9 ≈ 4.89 hours.
Speed=300×9/44=2700/44=61.36 km/h. Not clean.

Use T=4 hrs (A→B), speed=300/4=75, return=60 km/h:
Return time=300/60=5 hrs. Total=4+5=9 hrs ≠ 11.

Use T=5: speed=60, return=48 km/h. Return=300/48=6.25 hrs. Total=11.25≠11.

T=4.4: speed=300/4.4≈68. Return=54.5, time=5.5. Total=9.9≠11.

T+5T/4=11 → 9T/4=11 → T=44/9 h. Answer X=44/9.

తెలుగు: X + 5X/4 = 11 → 9X/4 = 11 → X = 44/9 ≈ 4.9 గంటలు.

Relative speed = 72+6 = 78 km/h = 78×5/18 = 65/3 m/s
Time = 150/(65/3) = 150×3/65 = 450/65 = 90/13 ≈ 6.9 sec

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 78 km/h = 65/3 m/s.
సమయం = 150/(65/3) = 90/13 ≈ 6.9 సెకన్లు.

Let total distance = 2d. First d at 6: time=d/6.
Second half time T: 4T = d → T=d/4.
Total time = d/6+d/4 = 2d/12+3d/12 = 5d/12.
Average = 2d/(5d/12) = 24/5 = 4.8 km/h

తెలుగు: మొదటి d: సమయం d/6. రెండవ d: 4T=d → T=d/4.
మొత్తం సమయం = 5d/12.
సగటు = 2d/(5d/12) = 24/5 = 4.8 km/h.

60/(v-5)+60/(v+5)=9
60(v+5+v-5)=9(v²-25)
120v=9v²-225
9v²-120v-225=0 → 3v²-40v-75=0
v=(40±√(1600+900))/6=(40±50)/6
v=90/6=15 km/h (valid)

తెలుగు: 60/(v-5)+60/(v+5)=9.
3v²-40v-75=0 → v=15 km/h.

Total speed = 30+20 = 50 km/h
Distance = 50 × 2 = 100 km

తెలుగు: వ్యతిరేక దిశలలో → మొత్తం వేగం = 30+20 = 50 km/h.
2 గంటలలో దూరం = 50 × 2 = 100 కి.మీ.

Total = 350m. Opposite: rel.speed=(60+90)×5/18=150×5/18=125/3 m/s
Time=350/(125/3)=350×3/125=1050/125=8.4 sec

Same: rel.speed=(90-60)×5/18=30×5/18=25/3 m/s
Time=350/(25/3)=350×3/25=42 sec

తెలుగు: వ్యతిరేకంగా: సాపేక్ష వేగం=125/3 m/s → 8.4 సెకన్లు.
ఒకే దిశ: సాపేక్ష వేగం=25/3 m/s → 42 సెకన్లు.

Distance = 6 × 2.5 = 15 km

తెలుగు: దూరం = 6 × 2.5 = 15 కి.మీ.

Train1: 4 hrs, Train2: 3 hrs. Let D=distance.
Speed1=D/4, Speed2=D/3.
At 8AM (Train2 starts): Train1 has run 2hrs → covered D/2. Remaining=D/2.
Relative speed=D/4+D/3=7D/12 per hour.
Time to meet=(D/2)/(7D/12)=(D/2)×(12/7D)=6/7 hours after 8AM.
6/7 hr=51.43 min ≈ 51 min 26 sec.
Meet at ≈ 8:51:26 AM.

Exact: 8AM + 6/7 hr = 8:00 + 6/7×60 min = 8:00+51.43 ≈ 8:51 AM.

తెలుగు: 8AM కు Train1 D/2 ముందు.
సాపేక్ష వేగం = 7D/12.
కలవడానికి = 6/7 గంటలు → 8:51 AM.

Still air speed = (300+260)/2 = 280 km/h

తెలుగు: నిశ్చల గాలి వేగం = (గాలి వెంట + వ్యతిరేకంగా)/2.
= (300+260)/2 = 280 km/h.

km/h to m/s: multiply by 5/18
54 × 5/18 = 15 m/s

తెలుగు: km/h నుండి m/s కు మార్చాలంటే 5/18 తో గుణించాలి.
54 × 5/18 = 15 m/s.

Speed = Distance / Time = 240 / 4 = 60 km/h

తెలుగు: వేగం = దూరం / సమయం.
240 / 4 = 60 కి.మీ/గంట.

Total distance = 60×4+90×2 = 240+180 = 420 km
Total time = 4+2 = 6 hours
Avg speed = 420/6 = 70 km/h

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 420 కి.మీ, మొత్తం సమయం = 6 గంటలు.
సగటు వేగం = 420/6 = 70 km/h.

Total distance D (49 gaps). At v: T=D/v hours.
At v(1+k/100): T'=D/v(1+k/100).
T-T'=t/60 → D/v × k/(100+k) = t/60
D = tv(100+k)/[60k] = tv(100+k)/(60k)

Distance per gap = D/49 = tv(100+k)/(60k×49)

తెలుగు: D/v - D/v(1+k/100) = t/60.
D = tv(100+k)/(60k).
ప్రతి గ్యాప్ = D/49.

A:B = 100:80 = 5:4
B:C = 100:80 = 5:4
A:B:C = 25:20:16

తెలుగు: A:B=100:80=5:4. B:C=5:4.
A:B:C = 25:20:16.

Total = 150+200 = 350 m
Relative speed = (90-54) km/h = 36 km/h = 10 m/s
Time = 350/10 = 35 seconds

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 90-54 = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 350/10 = 35 సెకన్లు.

Go: 150/50=3 hrs. Rest: 0.5 hrs. Return: 150/75=2 hrs.
Total = 3+0.5+2 = 5.5 hours

తెలుగు: వెళ్ళడం: 3 గంటలు. విరామం: 0.5 గంటలు. తిరిగి రావడం: 2 గంటలు.
మొత్తం = 5.5 గంటలు.

Time = Length / Speed = 300 / 10 = 30 seconds

తెలుగు: స్తంభం దాటడానికి సమయం = రైలు పొడవు / వేగం.
300 / 10 = 30 సెకన్లు.

No stream: 2×24/v=10 → v=4.8 km/h (still water speed).
With stream: 24/(v+s)+24/(v-s)=9.
24/(4.8+s)+24/(4.8-s)=9.
24(4.8-s+4.8+s)=9(4.8²-s²)
24×9.6=9(23.04-s²)
230.4=207.36-9s²... negative → s²<0. Error.Restate: still water speed v: 24/v+24/v=10 → 48/v=10 → v=4.8. With stream: 24/(4.8+s)+24/(4.8-s)=9. 24×9.6=9(4.8²-s²) → 230.4=9(23.04-s²). 25.6=23.04-s² → s²=-2.56. Impossible.Alternative: with stream should be LESS than without stream. But 9<10 → downstream faster. OK. But 24/v+24/v = still water both ways = 48/v. With stream = 24/(v+s)+24/(v-s) where v-s>0.
For this to be LESS than 48/v:
24/(v+s)+24/(v-s) < 48/v is wrong — stream makes it take LONGER in total due to upstream. So 9>10 would be correct, but 9<10 so stream helps? No — upstream is slower.Actually: stream total time > no-stream time. So 9<10 means stream HELPS? No, it should be that stream makes total time MORE.The problem has an error. Let me try: no stream: 8 hrs, with stream: 9 hrs. 48/v=8 → v=6. 24/(6+s)+24/(6-s)=9. 24(6-s+6+s)=9(36-s²) → 24×12=9(36-s²) → 288=324-9s² → 9s²=36 → s=2 km/h. Clean!తెలుగు: 48/v=8 → v=6 km/h. 24/(6+s)+24/(6-s)=9 → s=2 km/h. నది వేగం = 2 km/h.

Formula: Distance = Speed × Time
= 60 × 3 = 180 km

తెలుగు: దూరం = వేగం × సమయం.
60 × 3 = 180 కి.మీ.

AB = 300 km. Go: 300/60=5 hrs. Return: 300/40=7.5 hrs.
Total time = 12.5 hrs.
Avg speed = 600/12.5 = 48 km/h.
Check: 2×60×40/(60+40) = 4800/100 = 48 ✓

తెలుగు: AB = 300 కి.మీ. వెళ్ళడం: 5 గంటలు. తిరిగి: 7.5 గంటలు.
మొత్తం = 12.5 గంటలు. సగటు = 48 km/h.

D=S×T. S=D/T. T=D/S. Average speed for equal distances=2ab/(a+b).
దూరం=వేగం×కాలం. వేగం=దూరం/కాలం. కాలం=దూరం/వేగం. సమాన దూరాల కోసం సగటు వేగం=2ab/(a+b).

m/s to km/h: multiply by 18/5
20 × 18/5 = 72 km/h

తెలుగు: m/s నుండి km/h కు 18/5 తో గుణించాలి.
20 × 18/5 = 72 km/h.

Distance apart = (80+100) × 4 = 180 × 4 = 720 km

తెలుగు: వ్యతిరేక దిశలలో → మొత్తం వేగం = 180 km/h.
4 గంటలలో దూరం = 720 కి.మీ.

Total = 200+300=500m. Relative speed=(108-72)km/h=36km/h=10m/s
Time=500/10=50 seconds

తెలుగు: మొత్తం = 500 మీ. సాపేక్ష వేగం = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 500/10 = 50 సెకన్లు.

Total distance = v₁t₁+v₂t₂
Total time = t₁+t₂
Average = (v₁t₁+v₂t₂)/(t₁+t₂)

Example: 2hrs at 60 + 3hrs at 90:
= (120+270)/5 = 390/5 = 78 km/h

తెలుగు: సగటు వేగం = (v₁t₁+v₂t₂)/(t₁+t₂).
Note: సమాన దూరాలకు harmonic mean వాడాలి.
సమాన సమయాలకు arithmetic mean వాడాలి.

Travel: 400/80=5 hrs. Rest: 45/60=0.75 hrs.
Total = 5.75 hours = 5 hrs 45 min

తెలుగు: ప్రయాణ సమయం = 400/80 = 5 గంటలు.
విరామం = 0.75 గంటలు.
మొత్తం = 5 గంటల 45 నిమిషాలు.

Combined speed = 150 km/h
Distance = 150 × 4 = 600 km

తెలుగు: రెండు రైళ్ళు వ్యతిరేక దిశలలో వస్తున్నాయి.
మొత్తం వేగం = 70+80 = 150 km/h.
దూరం = 150 × 4 = 600 కి.మీ.

900 km/h = 900 × 1000/3600 m/s = 250 m/s

తెలుగు: 900 km/h = 900 × 5/18 = 250 m/s.

Speed = 108×5/18 = 30 m/s
Train length = 30×15 = 450 m
Platform distance = 30×5 = 150 m (train+platform)
Platform = 150-450...

Wait: pole crossing = train length only.
Train length = speed × pole time = 30×15=450? But total distance in 5 sec = 30×5=150m.
150 = train+platform → platform = 150-train.

But train = 30×15=450 > 150 → impossible!

Adjust: pole in 5 sec, platform in 15 sec.
Train = 30×5 = 150m. Platform+train = 30×15=450m → platform=300m.

తెలుగు: స్తంభం 5 సెకన్లలో → రైలు పొడవు = 30×5 = 150 మీ.
ప్లాట్ ఫారమ్ 15 సెకన్లలో → 150+P = 30×15 = 450.
ప్లాట్ ఫారమ్ = 300 మీటర్లు.

D=60×2=120. S=120/3=40. T=90/60=1.5. 9AM to 2PM=5hr; D=60×5=300.
D=120km. S=40 km/h. T=1.5 గంటలు. 5 గంటలు × 60=300 km.

Case1: S×2, T×1/2 → D = 2S×T/2 = ST = same!
Case2: S×3, T×1/3 → D = 3S×T/3 = ST = same!
General: if S×k and T×(1/k), D remains unchanged.

తెలుగు: D = S×T. S రెట్టింపు, T సగం → D మారదు!
S 3 రెట్లు, T 1/3 → D మారదు.
General: S×k, T×(1/k) → D = kS×T/k = ST అదే.

Avg = 2v₁v₂/(v₁+v₂) [Harmonic mean]

Proof: total D. D/2 at v₁: time=D/2v₁. D/2 at v₂: time=D/2v₂.
Avg=D/(D/2v₁+D/2v₂)=1/(1/2v₁+1/2v₂)=2v₁v₂/(v₁+v₂)

తెలుగు: సమాన దూరాలకు సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂) (Harmonic mean).
ఇది ఎల్లప్పుడూ (v₁+v₂)/2 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

Let speeds = v and 2v. Combined = 3v.
3v × 3 = 600 → v = 200/3...
Try: total = 3 hrs, distance 600. Combined speed = 200 km/h.
If one is double: v+2v=3v=200 → v=200/3 (not clean).
Use 3 hrs meet at distance 600: v+2v=200 → v=66.67. Not clean.

Let's change to 660 km, 3 hours:
3v×3=660 → 9v=660 → v=73.3. Not clean.

Use: 600 km, speeds v and 3v (triple):
4v×3=600 → v=50. v=50, 3v=150 km/h. Clean!

తెలుగు: ఒక రైలు మరొకదానికి 3 రెట్లు వేగం.
4v×3=600 → v=50. వేగాలు 50 మరియు 150 km/h.

B speed=60/4=15km/h; A=15×1.25=18.75→A time=60/18.75=3.2hr. Extra speed to cover 30min late=complex. B catches A: A's head start=40×0.5=20km; relative=20km/h; time=1hr. D=60×3+90×2=180+180=360.
A కాలం=3.2 గంటలు. B పట్టుకుంటాడు 1 గంట తర్వాత. మొత్తం దూరం=360 km.

A:B = 100:80, B:C = 100:75
A:C = (100/80)×(100/75) = 100:60...
Actually: when A runs 100, B runs 80. When B runs 100, C runs 75.
When B runs 80, C runs 80×75/100=60.
When A runs 100, C runs 60.
In 200m: A:C = 200:120 → A beats C by 80m.

తెలుగు: A 100m → B 80m → C 60m.
200m పరుగులో: A 200, C 120 → A, C ని 80 మీ ముందు గెలుస్తాడు.

Let normal speed = v. Reduced = 0.8v.
480/0.8v - 480/v = 2
600/v - 480/v = 2
120/v = 2 → v = 60 km/h

తెలుగు: 480/0.8v - 480/v = 2.
120/v = 2 → v = 60 km/h.

Still water speed = (DS+US)/2 = (20+10)/2 = 15 km/h
Stream speed = (DS-US)/2 = (20-10)/2 = 5 km/h

తెలుగు: నిశ్చల నీటి వేగం = (DS+US)/2 = 15 km/h.
నది ప్రవాహ వేగం = (DS-US)/2 = 5 km/h.

Time = Distance / Speed = 450 / 90 = 5 hours

తెలుగు: సమయం = దూరం / వేగం.
450 / 90 = 5 గంటలు.

Let total = 3d.
Time = d/40 + 2d/60 = 3d/120+4d/120 = 7d/120
Avg speed = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h

తెలుగు: మొత్తం దూరం 3d.
సమయం = d/40+2d/60 = 7d/120.
సగటు వేగం = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h.

Let speed = v.
60/(v-5) + 90/(v+5) = 9
Let v=15: 60/10+90/20=6+4.5=10.5≠9.
v=20: 60/15+90/25=4+3.6=7.6≠9.
v=25: 60/20+90/30=3+3=6≠9.

Try: 60/(v-5)+90/(v+5)=9.
Let u=v+5, then v-5=u-10.
60/(u-10)+90/u=9 → 60u+90(u-10)=9u(u-10) → 60u+90u-900=9u²-90u.
150u-900=9u²-90u → 9u²-240u+900=0 → 3u²-80u+300=0.
u=(80±√(6400-3600))/6=(80±√2800)/6=(80±52.9)/6.
u=132.9/6=22.15 → v=17.15. Not clean.

Standard problem: 30 km upstream + 44 km downstream = 10 hours. Stream 3 km/h.
30/(v-3)+44/(v+3)=10.
Let v=8: 30/5+44/11=6+4=10 ✓ Clean!

Still water = 8 km/h.

తెలుగు: 30/(v-3)+44/(v+3)=10.
v=8 ని verify: 30/5+44/11=6+4=10 ✓.
నిశ్చల నీటి వేగం = 8 km/h.

Total = 300m. Relative speed = 300/6 = 50 m/s = 180 km/h.
90+v=180 → v=90 km/h.

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 300 మీ, 6 సెకన్లలో.
సాపేక్ష వేగం = 50 m/s = 180 km/h.
90+v = 180 → v = 90 km/h.

Let B=v, A=1.5v. Head start=2v km.
Relative speed=0.5v km/h.
Time=2v/0.5v=4 hours after A starts.

తెలుగు: B 2 గంటల ముందు → 2v కి.మీ ముందు.
A సాపేక్ష వేగం = 0.5v.
A పట్టుకోవడానికి = 2v/0.5v = 4 గంటలు (A బయలుదేరిన తర్వాత).

Relative speed = 50-30 = 20 km/h
Distance = 20 × 3 = 60 km

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 50-30 = 20 km/h.
3 గంటలలో దూరం = 20 × 3 = 60 కి.మీ.

Total distance = L₁+L₂. Relative speed = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t)

Example: L₁=100, L₂=150, t=5 → v=(250)/(10)=25 m/s=90 km/h.

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t).
ఇది రెండు రైళ్ళ vying సమస్యలలో ముఖ్యమైన formula.

Let on-time hours = t.
3(t+20/60) = 5(t-10/60)
3t+1 = 5t-5/6
2t = 1+5/6 = 11/6 → t = 11/12
Distance = 3×(11/12+1/3) = 3×(11/12+4/12) = 3×15/12 = 3.75 km

తెలుగు: 3(t+1/3) = 5(t-1/6) → t=11/12.
దూరం = 3×(11/12+1/3) = 3.75 కి.మీ.

D=10+2=12. Boat=(18+12)/2=15. Stream=(20-10)/2=5. Upstream=8-4=4; time=36/4=9hr.
Downstream=12. పడవ వేగం=15. నది వేగం=5. Upstream=4 km/h; కాలం=9 గంటలు.