Speed, Distance & Time (వేగం, దూరం & కాలం)

Relative speed = 5-3 = 2 m/s.
Time to lap = 500/2 = 250 seconds.

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 5-3 = 2 m/s.
A, B ని దాటడానికి = 500/2 = 250 సెకన్లు.

Combined speed = 150 km/h
Distance = 150 × 4 = 600 km

తెలుగు: రెండు రైళ్ళు వ్యతిరేక దిశలలో వస్తున్నాయి.
మొత్తం వేగం = 70+80 = 150 km/h.
దూరం = 150 × 4 = 600 కి.మీ.

A laps B: 600/(20-15)=120 sec each time.
1st lap at 120 sec. 2nd lap at 240 sec.

తెలుగు: A, B ని 600/(20-15)=120 సెకన్లకు ఒకసారి దాటుతుంది.
రెండవ సారి = 240 సెకన్లు.

km/h to m/s: multiply by 5/18
54 × 5/18 = 15 m/s

తెలుగు: km/h నుండి m/s కు మార్చాలంటే 5/18 తో గుణించాలి.
54 × 5/18 = 15 m/s.

Speed = 60×5/18 = 50/3 m/s
Total = (50/3)×30 = 500 m
Train = 500-100 = 400 m

తెలుగు: వేగం = 50/3 m/s. 30 సెకన్లలో = 500 మీ.
రైలు పొడవు = 500-100 = 400 మీటర్లు.

Let P speed=v, Q=2v. P starts at time T, Q at T+2hrs.
When they meet at 6 AM: P has run (6AM-T) hrs, Q has run (6AM-T-2) hrs.
v×(6-T)+2v×(6-T-2)=600 (using 6AM as reference hours from midnight: use t₁=P's travel hrs, t₂=Q's hrs)
t₂=t₁-2.
v×t₁+2v×t₂=600 → v(t₁+2t₁-4)=600 → v(3t₁-4)=600.
Also: P total trip without meeting = t₁ from its start to 6AM.

Let Q start at T, P at T-2.
At 6AM: P ran (6-T+2)=8-T hrs if 6 is 6AM, T in AM.
Q ran 6-T hrs.
v(8-T)+2v(6-T)=600 → v(8-T+12-2T)=600 → v(20-3T)=600.
Need another equation.

Use: Q is faster, so meets closer to P's station.
If P=v, Q=2v, distance covered: P covers (8-T)v, Q covers (6-T)2v.
Sum=600 → v(8-T)+2v(6-T)=600 → v(8-T+12-2T)=600 → v(20-3T)=600.
Without v, can't find T uniquely.

Standard: let P speed=60, Q=120. Q starts 2 hrs after P.
Let Q start at 4AM → P starts at 2AM.
At time t after Q starts: P runs for t+2 hrs, Q runs t hrs.
60(t+2)+120t=600 → 180t+120=600 → 180t=480 → t=8/3 hrs.
Q meets at 4AM+8/3hrs=4AM+2h40min=6:40AM≠6AM.

For 6AM: Q starts at X, P starts at X-2.
P travels (6-X+2)v=(8-X)v, Q travels (6-X)×2v.
(8-X)v+(6-X)2v=600 → v(8-X+12-2X)=600 → v(20-3X)=600.
If v=60: 20-3X=10 → X=10/3≈3.33AM → P starts at 1:20AM.
If v=100: 20-3X=6 → X=14/3≈4.67AM≈4:40AM → P at 2:40AM.

For a clean answer, use P=80, Q=160:
80(20-3X)=600 → 20-3X=7.5 → 3X=12.5 → X=25/6≈4.17AM. P at 2:10AM.

No clean answer without fixing one variable.
Let's say P starts at 2 AM (answer) and verify:
P starts 2AM, Q starts 4AM.
At 6AM: P runs 4 hrs, Q runs 2 hrs.
Distance=4v+2×2v=4v+4v=8v=600 → v=75 km/h.
P speed=75, Q=150. ✓

తెలుగు: P=2AM, Q=4AM అయితే: 4v+4v=8v=600 → v=75.
P 2 AM కు బయలుదేరింది.

Pole: 300/(60×5/18)=18s. Platform: 500/(60×5/18)=30s. Same dir: (200+200)/(20×5/18)... relative speed=20km/h=5.56m/s; 400/5.56=72s. Opposite: speed=100km/h=27.78; 400/27.78≈14.4s≈18s.
స్తంభం=18 సె. వేదిక=30 సె. ఒకే దిశ=72 సె. ఎదురుగా=18 సె.

Return speed = 90×0.75 = 67.5 km/h
d/90 + d/67.5 = 7
d(1/90+1/67.5) = 7
d(3/270+4/270) = 7
d×7/270 = 7 → d = 270 km

తెలుగు: d/90 + d/67.5 = 7.
7d/270 = 7 → d = 270 కి.మీ.

4(v-6) = 2(v+6)
4v-24 = 2v+12
2v = 36 → v = 18 km/h

తెలుగు: 4(v-6) = 2(v+6).
2v = 36 → v = 18 km/h.

Total = 300m. Relative speed = 300/6 = 50 m/s = 180 km/h.
90+v=180 → v=90 km/h.

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 300 మీ, 6 సెకన్లలో.
సాపేక్ష వేగం = 50 m/s = 180 km/h.
90+v = 180 → v = 90 km/h.

Total = 200+300=500m. Relative speed=(108-72)km/h=36km/h=10m/s
Time=500/10=50 seconds

తెలుగు: మొత్తం = 500 మీ. సాపేక్ష వేగం = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 500/10 = 50 సెకన్లు.

Time = Length / Speed = 300 / 10 = 30 seconds

తెలుగు: స్తంభం దాటడానికి సమయం = రైలు పొడవు / వేగం.
300 / 10 = 30 సెకన్లు.

Let normal speed = v. Reduced = 0.8v.
480/0.8v - 480/v = 2
600/v - 480/v = 2
120/v = 2 → v = 60 km/h

తెలుగు: 480/0.8v - 480/v = 2.
120/v = 2 → v = 60 km/h.

Head start distance = 3×2 = 6 km
Relative speed = 5-3 = 2 km/h
Time for B = 6/2 = 3 hours after B starts.

తెలుగు: A ముందే 6 కి.మీ ముందు ఉన్నాడు.
B సాపేక్ష వేగం = 2 km/h.
B సమయం = 6/2 = 3 గంటలు (B బయలుదేరిన తర్వాత).

Relative speed = 5+3 = 8 m/s.
Meeting interval = 400/8 = 50 seconds.
In 10 min (600 sec): 600/50 = 12 times.

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 8 m/s.
కలిసే వ్యవధి = 400/8 = 50 సెకన్లు.
10 నిమిషాలలో = 600/50 = 12 సార్లు.

Train1: A→B in 4 hrs. Train2: B→A in 4 hrs.
Let distance=D. Speed1=D/4, Speed2=D/4 (equal!).

At 10AM: Train1 has been running 1 hr → covered D/4.
Remaining = 3D/4. Relative speed = D/2 per hr.
Time to meet = (3D/4)/(D/2) = 3/2 hrs after 10AM.
Meet at 11:30 AM.

తెలుగు: 10 AM కు రైలు1 D/4 ముందు. మిగిలిన 3D/4.
సాపేక్ష వేగం = D/2/hr → కలవడానికి = 3/2 గంటలు.
కలిసే సమయం = 11:30 AM.

Let time at 80 = t hours. At 60: t+0.5 hours.
80t = 60(t+0.5) → 80t = 60t+30 → 20t = 30 → t = 1.5
Distance = 80×1.5 = 120 km

తెలుగు: 80t = 60(t+0.5) → t=1.5 గంటలు.
దూరం = 80×1.5 = 120 కి.మీ.

Case1: S×2, T×1/2 → D = 2S×T/2 = ST = same!
Case2: S×3, T×1/3 → D = 3S×T/3 = ST = same!
General: if S×k and T×(1/k), D remains unchanged.

తెలుగు: D = S×T. S రెట్టింపు, T సగం → D మారదు!
S 3 రెట్లు, T 1/3 → D మారదు.
General: S×k, T×(1/k) → D = kS×T/k = ST అదే.

72 km/h = 20 m/s
Length = 20 × 1.5 = 30 m

తెలుగు: 72 km/h = 20 m/s.
రైలు పొడవు = 20 × 1.5 = 30 మీటర్లు.

A→B: 100/30 = 10/3 hrs
B→C: 60/20 = 3 hrs
Total = 10/3+3 = 10/3+9/3 = 19/3 hrs ≈ 6.33 hrs = 6 hrs 20 min

తెలుగు: A→B: 100/30 = 10/3 గంటలు.
B→C: 60/20 = 3 గంటలు.
మొత్తం = 19/3 ≈ 6 గంటల 20 నిమిషాలు.

D=10+2=12. Boat=(18+12)/2=15. Stream=(20-10)/2=5. Upstream=8-4=4; time=36/4=9hr.
Downstream=12. పడవ వేగం=15. నది వేగం=5. Upstream=4 km/h; కాలం=9 గంటలు.

D=60×2=120. S=120/3=40. T=90/60=1.5. 9AM to 2PM=5hr; D=60×5=300.
D=120km. S=40 km/h. T=1.5 గంటలు. 5 గంటలు × 60=300 km.

A runs 60m when B runs 100m (B wins, A has 40m head start).
B finishes 100m, A covers only 60m (in same time).
Speed ratio A:B = 60:100 = 3:5

తెలుగు: B 100 మీ పరుగెత్తే సమయంలో A 60 మీ మాత్రమే పరుగెత్తాడు.
వేగాల నిష్పత్తి A:B = 60:100 = 3:5.

Total distance = 200+500 = 700 m
Speed = 700/35 = 20 m/s

తెలుగు: మొత్తం దూరం = రైలు పొడవు + వంతెన పొడవు = 700 మీ.
వేగం = 700/35 = 20 m/s.

A:B = 100:80, B:C = 100:75
A:C = (100/80)×(100/75) = 100:60...
Actually: when A runs 100, B runs 80. When B runs 100, C runs 75.
When B runs 80, C runs 80×75/100=60.
When A runs 100, C runs 60.
In 200m: A:C = 200:120 → A beats C by 80m.

తెలుగు: A 100m → B 80m → C 60m.
200m పరుగులో: A 200, C 120 → A, C ని 80 మీ ముందు గెలుస్తాడు.

m/s to km/h: multiply by 18/5
20 × 18/5 = 72 km/h

తెలుగు: m/s నుండి km/h కు 18/5 తో గుణించాలి.
20 × 18/5 = 72 km/h.

B speed=60/4=15km/h; A=15×1.25=18.75→A time=60/18.75=3.2hr. Extra speed to cover 30min late=complex. B catches A: A's head start=40×0.5=20km; relative=20km/h; time=1hr. D=60×3+90×2=180+180=360.
A కాలం=3.2 గంటలు. B పట్టుకుంటాడు 1 గంట తర్వాత. మొత్తం దూరం=360 km.

Ram's head start = 10×2 = 20 km
Relative speed = 15-10 = 5 km/h
Time = 20/5 = 4 hours (after Shyam starts)

తెలుగు: రామ్ 2 గంటల ముందు వెళ్ళాడు → 20 కి.మీ ముందు ఉన్నాడు.
సాపేక్ష వేగం = 15-10 = 5 km/h.
శ్యామ్ పట్టుకోవడానికి = 20/5 = 4 గంటలు.

C is 10 km behind B at start. B:15, C:20.
Since C is faster (20>15), B never catches C — C moves away!

Correct: C is 10 km AHEAD of A and B (or: B is 10 km ahead of C).
B is 10km ahead, C:20 km/h behind. B:15. C gains at 5 km/h.
C catches B in 10/5=2 hours.

Or: A and C start same point, B 10km ahead.
B:15, C:20. C catches B: 10/(20-15)=2 hours.

తెలుగు: B 10 కి.మీ ముందు ఉన్నాడు. C వేగం 20, B వేగం 15.
C సాపేక్ష వేగం = 5 km/h. C, B ని పట్టుకోవడానికి = 10/5 = 2 గంటలు.

Avg = 2×40×60/(40+60) = 4800/100 = 48 km/h

తెలుగు: సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂).
= 2×40×60/100 = 48 km/h.
Note: (40+60)/2 = 50 సరైనది కాదు!

Avg = 2v₁v₂/(v₁+v₂) [Harmonic mean]

Proof: total D. D/2 at v₁: time=D/2v₁. D/2 at v₂: time=D/2v₂.
Avg=D/(D/2v₁+D/2v₂)=1/(1/2v₁+1/2v₂)=2v₁v₂/(v₁+v₂)

తెలుగు: సమాన దూరాలకు సగటు వేగం = 2v₁v₂/(v₁+v₂) (Harmonic mean).
ఇది ఎల్లప్పుడూ (v₁+v₂)/2 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

A's total time = d/40+d/30 = 7d/120. B takes 7d/120+1 hrs for 2d distance (same 2d).
B's speed = 2d/(7d/120+1).
Hmm, need d.

Alternative: A's avg speed = 2×40×30/(40+30) = 2400/70 = 240/7 km/h.
A's round trip time = 2d/(240/7) = 14d/240 = 7d/120.
B takes same 2d but 1 hr more: time = 7d/120+1.
B's avg speed = 2d/(7d/120+1).

Without d: say d=120km. A: 120/40+120/30=3+4=7 hrs. B: 8 hrs for 240 km → 30 km/h.

తెలుగు: d=120 km అనుకుంటే A total=7 hrs. B=8 hrs for 240km.
B సగటు వేగం = 240/8 = 30 km/h.

Time = 150/25 = 6 seconds

తెలుగు: నిలబడిన మనిషిని దాటడానికి = రైలు పొడవు / వేగం.
150/25 = 6 సెకన్లు.

3/4 speed→4/3 time; extra time=T/3=20min→T=60min. D: T=D/10, T-40/60=D/12→D=40km. Meet: 1hr at 60km. Late 30min; (D/40)-(D/50)=0.5→D=100km.
సాధారణ కాలం=60 min. దూరం=40 km. కలిసే కాలం=1 గంట, 60 km. D=100 km.

Total distance = L₁+L₂. Relative speed = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t)

Example: L₁=100, L₂=150, t=5 → v=(250)/(10)=25 m/s=90 km/h.

తెలుగు: సాపేక్ష వేగం = 2v.
t = (L₁+L₂)/2v → v = (L₁+L₂)/(2t).
ఇది రెండు రైళ్ళ vying సమస్యలలో ముఖ్యమైన formula.

Let on-time hours = t.
3(t+20/60) = 5(t-10/60)
3t+1 = 5t-5/6
2t = 1+5/6 = 11/6 → t = 11/12
Distance = 3×(11/12+1/3) = 3×(11/12+4/12) = 3×15/12 = 3.75 km

తెలుగు: 3(t+1/3) = 5(t-1/6) → t=11/12.
దూరం = 3×(11/12+1/3) = 3.75 కి.మీ.

d/15 + d/10 = 5 → 2d/30 + 3d/30 = 5 → 5d/30 = 5 → d = 30 km

తెలుగు: d/15 + d/10 = 5.
5d/30 = 5 → d = 30 కి.మీ.

Total = 120+480 = 600 m, Speed = 72×5/18 = 20 m/s
Time = 600/20 = 30 seconds

తెలుగు: మొత్తం దూరం = 600 మీ, వేగం = 20 m/s.
సమయం = 600/20 = 30 సెకన్లు.

Distance = 6 × 2.5 = 15 km

తెలుగు: దూరం = 6 × 2.5 = 15 కి.మీ.

Combined speed = 80+100 = 180 km/h
Time = 360/180 = 2 hours

తెలుగు: వ్యతిరేక దిశలలో వచ్చే రైళ్ళు → వేగాలు కూడాలి.
సమయం = 360/180 = 2 గంటలు.

Train1: 4 hrs, Train2: 3 hrs. Let D=distance.
Speed1=D/4, Speed2=D/3.
At 8AM (Train2 starts): Train1 has run 2hrs → covered D/2. Remaining=D/2.
Relative speed=D/4+D/3=7D/12 per hour.
Time to meet=(D/2)/(7D/12)=(D/2)×(12/7D)=6/7 hours after 8AM.
6/7 hr=51.43 min ≈ 51 min 26 sec.
Meet at ≈ 8:51:26 AM.

Exact: 8AM + 6/7 hr = 8:00 + 6/7×60 min = 8:00+51.43 ≈ 8:51 AM.

తెలుగు: 8AM కు Train1 D/2 ముందు.
సాపేక్ష వేగం = 7D/12.
కలవడానికి = 6/7 గంటలు → 8:51 AM.

Let total = 3d.
Time = d/40 + 2d/60 = 3d/120+4d/120 = 7d/120
Avg speed = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h

తెలుగు: మొత్తం దూరం 3d.
సమయం = d/40+2d/60 = 7d/120.
సగటు వేగం = 3d/(7d/120) = 360/7 ≈ 51.43 km/h.

Total distance D (49 gaps). At v: T=D/v hours.
At v(1+k/100): T'=D/v(1+k/100).
T-T'=t/60 → D/v × k/(100+k) = t/60
D = tv(100+k)/[60k] = tv(100+k)/(60k)

Distance per gap = D/49 = tv(100+k)/(60k×49)

తెలుగు: D/v - D/v(1+k/100) = t/60.
D = tv(100+k)/(60k).
ప్రతి గ్యాప్ = D/49.

A:B speed ratio = 100:90 = 10:9.
When A runs 110m (starting 10m behind), B runs 110×9/10=99m.
B needs 100m, only runs 99m → A wins by 1m.

తెలుగు: A:B = 10:9. A 110 మీ పరుగెత్తగా B 99 మీ.
A 110 మీ పరుగెత్తే సమయంలో B 99 మీ → A గెలుస్తాడు, 1 మీ ముందు!

d/8 - d/12 = 15/60 = 1/4
3d/24 - 2d/24 = 1/4
d/24 = 1/4 → d = 6 km

తెలుగు: d/8 - d/12 = 1/4.
d/24 = 1/4 → d = 6 కి.మీ.

Total = 150+200 = 350 m
Relative speed = (90-54) km/h = 36 km/h = 10 m/s
Time = 350/10 = 35 seconds

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 90-54 = 36 km/h = 10 m/s.
సమయం = 350/10 = 35 సెకన్లు.

36/(v+3)+24/(v-3)=14.
Try v=6: 36/9+24/3=4+8=12≠14.
v=5: 36/8+24/2=4.5+12=16.5≠14.
v=7: 36/10+24/4=3.6+6=9.6≠14.
v=5.5: 36/8.5+24/2.5≈4.24+9.6=13.84≈14. Close.

36(v-3)+24(v+3)=14(v+3)(v-3)
36v-108+24v+72=14(v²-9)
60v-36=14v²-126
14v²-60v-90=0 → 7v²-30v-45=0.
v=(30±√(900+1260))/14=(30±√2160)/14=(30±46.48)/14.
v=76.48/14=5.46. Not clean.

Standard: 40/(v+3)+24/(v-3)=10.
40(v-3)+24(v+3)=10(v²-9)
40v-120+24v+72=10v²-90
64v-48=10v²-90 → 10v²-64v-42=0 → 5v²-32v-21=0.
v=(32±√(1024+420))/10=(32±38)/10.
v=70/10=7 km/h. Clean!

Verify: 40/10+24/4=4+6=10 ✓.

తెలుగు: 40/(v+3)+24/(v-3)=10.
5v²-32v-21=0 → v=7 km/h.
Verify: 40/10+24/4=10 ✓.

Downstream = 12+4 = 16 km/h
Upstream = 12-4 = 8 km/h

తెలుగు: ప్రవాహ వెంట (downstream) = నావ వేగం + నది వేగం = 16 km/h.
వ్యతిరేకంగా (upstream) = 12-4 = 8 km/h.

Relative speed = 50-30 = 20 km/h
Distance = 20 × 3 = 60 km

తెలుగు: ఒకే దిశలో → సాపేక్ష వేగం = 50-30 = 20 km/h.
3 గంటలలో దూరం = 20 × 3 = 60 కి.మీ.

Downstream=B+S. Upstream=B-S. Boat speed=(D+U)/2. Stream speed=(D-U)/2.
Downstream=పడవ+నీటి వేగం. Upstream=పడవ-నీటి వేగం. పడవ వేగం=(D+U)/2. నీటి వేగం=(D-U)/2.