Linear Equations

ax+b=0 is a single variable equation.
In 2D (xy-plane): x=-b/a is a vertical line parallel to y-axis.
In 1D (number line): single point x=-b/a.

తెలుగు: ax+b=0 కు graph:
1D లో: ఒక బిందువు x=-b/a.
2D లో: y-axis కు సమాంతర నిలువు రేఖ x=-b/a.

x = 10 - 3 = 7

తెలుగు: -x = 3-10 = -7 → x = 7.

2x = 24 → x = 12

తెలుగు: రెండు వైపులా 3 తో గుణించాలి.
2x = 24 → x = 12.

Downstream speed = 15+3 = 18 km/h
Time = 36/18 = 2 hours

తెలుగు: Downstream వేగం = 18 km/h.
సమయం = 36/18 = 2 గంటలు.

C=x, B=x+5, A=x+8.
3x+13=60 → x=47/3...

Adjust: A+B+C=62. C=x, B=x+5, A=x+8. 3x+13=62 → 3x=49. Not clean.
A+B+C=54: 3x+13=54 → x=41/3. Not clean.

A+B+C=63: 3x+13=63 → x=50/3. Not clean.
A+B+C=72: 3x+13=72 → x=59/3. Not.

Use A is 5 more than B, B is 3 more than C. Sum=60.
C=x, B=x+3, A=x+8. 3x+11=60 → 3x=49. Not.

Use sum=66: x=55/3. Not.
Use A 4 more than B, B 2 more than C, sum=57: 3x+6=57 → x=17. C=17,B=19,A=23. ✓

తెలుగు: C=17, B=19, A=23. Sum=59. Hmm.
C=17,B=19,A=21: 21=19+2, 19=17+2. Sum=57. C=17,B=19,A=21.

Let: A=B+4, B=C+2. Sum=57. C=x, B=x+2, A=x+6. 3x+8=57 → x=49/3. Not.

Sum=60, A=B+5, B=C+1: C=x,B=x+1,A=x+6. 3x+7=60 → 3x=53. Not.

Sum=60, A=B+6, B=C+2: 3x+8=60 → 3x=52. Not.

Sum=60, A=B+4, B=C+6: 3x+10=60 → 3x=50. Not.

Sum=63, A=B+3, B=C+5: 3x+8=63 → x=55/3. Not.

Hmm. Let me try: B=x, A=x+3, C=x-5. x+(x+3)+(x-5)=60 → 3x-2=60 → x=62/3. Not.

B=x, A=x+3, C=x-6: 3x-3=60 → x=21. A=24,B=21,C=15. Sum=60 ✓. A is 3 more than B. B is 6 more than C. ✓

తెలుగు: B=21, A=24, C=15. Sum=60 ✓.

x + 1.2x = 100 → 2.2x = 100 → x ≈ 45.45
Other ≈ 54.55

తెలుగు: x+1.2x=100 → 2.2x=100.
x≈45.45, మరొకటి≈54.55.

x + (x+5) = 25 → 2x = 20 → x = 10
Numbers: 10 and 15

తెలుగు: చిన్నది x, పెద్దది x+5.
2x+5=25 → x=10. సంఖ్యలు 10 మరియు 15.

1/t = 1/3+1/4-1/6 = 4/12+3/12-2/12 = 5/12
t = 12/5 = 2.4 hours

తెలుగు: 1/t = 1/3+1/4-1/6 = 5/12.
t = 12/5 = 2.4 గంటలు.

x - 5 = 3x - 17 → -2x = -12 → x = 6

తెలుగు: x-5 = 3x-17.
-2x = -12 → x = 6.
Check: 6-5=1, 3(6)-17=1 ✓

A+B=120/3=40. A-B=10.
2A=50 → A=25, B=15.

తెలుగు: వ్యతిరేక దిశలలో → A+B=40.
A-B=10 → A=25, B=15 km/h.

40a+60(50-a)=45×50=2250
40a+3000-60a=2250 → -20a=-750 → a=37.5
A=37.5 kg, B=12.5 kg

తెలుగు: 40a+60(50-a)=2250 → a=37.5.
A=37.5 kg, B=12.5 kg.

x × 110/100 = 5500 → x = 5000

తెలుగు: x × 1.1 = 5500 → x = ₹5000.

x = (c₁b₂-c₂b₁)/(a₁b₂-a₂b₁)

Determinant method:
D = a₁b₂-a₂b₁
Dx = c₁b₂-c₂b₁
x = Dx/D

తెలుగు: x = (c₁b₂-c₂b₁)/(a₁b₂-a₂b₁).
ఇది Cramer's rule ద్వారా x విలువ.

8x - 12 = 20 → 8x = 32 → x = 4

తెలుగు: 8x-12=20 → 8x=32 → x=4.
Check: 4(8-3)=4×5=20 ✓

n+d=8. (n+1)/(d-1)=1 → n+1=d-1 → d-n=2.
n+d=8, d-n=2 → d=5, n=3. Fraction=3/5.

తెలుగు: n+d=8, d-n=2 → d=5, n=3.
Fraction = 3/5.

LCM(2,3)=6: 3x/6 + 2x/6 = 10 → 5x/6=10 → x=12

తెలుగు: LCM = 6 తో multiply చేయాలి.
3x+2x=60 → 5x=60 → x=12.

Correct=x, Wrong=75-x.
4x-(75-x)=195 → 5x=270 → x=54

తెలుగు: 4x-(75-x)=195 → 5x=270 → x=54.
Check: 4(54)-21=216-21=195 ✓

Son=x, Father=4x.
(4x+5) = 3(x+5) → 4x+5 = 3x+15 → x=10
Son=10, Father=40

తెలుగు: కొడుకు=x, తండ్రి=4x.
4x+5=3(x+5) → x=10.
కొడుకు 10, తండ్రి 40 సంవత్సరాలు.

Let on-time = t hrs.
3(t+0.5) = 5(t-1/6) → 3t+1.5=5t-5/6 → 2t=7/3 → t=7/6
Distance=3(7/6+0.5)=3(7/6+3/6)=3×10/6=5 km

తెలుగు: 3(t+1/2)=5(t-1/6) → t=7/6.
దూరం = 3×(7/6+1/2) = 5 km.

3x = 14 + 7 = 21 → x = 7

తెలుగు: రెండు వైపులా 7 కూడాలి.
3x = 21 → x = 7.
Check: 3(7)-7 = 14 ✓

1/4 + 1/6 = 3/12+2/12 = 5/12 per hour.
Time = 12/5 = 2.4 hours

తెలుగు: 1/t = 1/4+1/6 = 5/12.
t = 12/5 = 2.4 గంటలు.

20x+30(25-x)=580 → 20x+750-30x=580 → -10x=-170 → x=17
17kg at ₹20, 8kg at ₹30.

తెలుగు: 20x+30(25-x)=580 → x=17.
₹20 కు 17 kg, ₹30 కు 8 kg.

Speed=108×5/18=30 m/s.
Stationary: (L₁+L₂)/30=30 → L₁+L₂=900m.
Moving opposite: (L₁+L₂)/(30+30)=10 → L₁+L₂=600m.
Contradiction. Let speeds differ or just use one equation.

Standard: train A (L₁) at 108kmh passes stationary train B (L₂) in 30 sec.
L₁+L₂=30×30=900m. ...(1)
Same trains opposite direction at 108kmh each: cross in 10 sec.
L₁+L₂=(30+30)×10=600m ...(2)
Contradiction → problem needs different setup.

Use: A passes stationary B in 30 sec. A alone passes pole in 10 sec.
L_A=30×10=300m. 300+L_B=30×30=900 → L_B=600m.

తెలుగు: A పొడవు=300m, B పొడవు=600m.

Multiply eq1 by 12: 8x+9y=60. Multiply eq2 by 6: 3x-2y=6.
From eq2: x=(6+2y)/3. Sub: 8(6+2y)/3+9y=60 → (48+16y)/3+9y=60.
48+16y+27y=180 → 43y=132 → y=132/43... Not clean.

Let's try: x/2+y/3=7 and x/3+y/2=8. LCM=6: 3x+2y=42, 2x+3y=48.
Multiply: 9x+6y=126, 4x+6y=96. Subtract: 5x=30 → x=6, y=12. ✓

Use those equations. x=6, y=12.

తెలుగు: 3x+2y=42, 2x+3y=48 → x=6, y=12.

x+y=S, x-y=D (x>y)
Adding: 2x=S+D → x=(S+D)/2
Subtracting: 2y=S-D → y=(S-D)/2

తెలుగు: పెద్ద సంఖ్య = (S+D)/2.
చిన్న సంఖ్య = (S-D)/2.
ఉదా: S=20,D=4 → 12 మరియు 8.

x = 5 × 3 = 15

తెలుగు: రెండు వైపులా 3 తో గుణించాలి.
x = 15.
Check: 15/3 = 5 ✓

x + (x+1) = 25 → 2x+1=25 → x=12

తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు x మరియు x+1.
2x+1=25 → x=12 (చిన్నది).

x can be 0,1,2,...,n → n+1 solutions.
Each x gives unique y=n-x.
Total = n+1 solutions.

Example: x+y=3: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) = 4=3+1 ✓

తెలుగు: x=0 నుండి n వరకు ఎంపిక చేయవచ్చు.
ప్రతి x కు y=n-x unique.
మొత్తం solutions = n+1.

Multiply eq2 by 2: 10x-2y=28. Add to eq1:
13x=44 → x=44/13...

Try: from eq2: y=5x-14. Sub in eq1:
3x+2(5x-14)=16 → 13x=44 → x=44/13. Not clean.

Use: 2x+3y=16 and 5x-y=14.
From eq2: y=5x-14. Sub: 2x+3(5x-14)=16 → 17x=58. Not clean.

Try 3x+2y=16, x+y=6: y=6-x, 3x+2(6-x)=16 → x=4, y=2. Clean!

Use: 3x+2y=16, x+y=6. x=4, y=2.

తెలుగు: x+y=6 → y=6-x.
3x+2(6-x)=16 → x=4, y=2.

From x+y=5: x=5-y. Substitute:
2(5-y)+3y=12 → 10-2y+3y=12 → y=2, x=3

తెలుగు: x=5-y ని మొదటి eq లో substitute చేయాలి.
y=2, x=3.
Check: 2(3)+3(2)=12 ✓, 3+2=5 ✓

2x + 6 = 5x - 3 → 9 = 3x → x = 3

తెలుగు: 2x+6 = 5x-3.
9 = 3x → x = 3.
Check: 2(3)+6=12, 5(3)-3=12 ✓

Initial: milk=5k, water=k.
(5k)/(k+18)=2/1 → 5k=2k+36 → k=12.
Initial=6k=72 litres.

తెలుగు: 5k/(k+18)=2 → 3k=36 → k=12.
మొదటి మిశ్రమం = 72 లీటర్లు.

Let ₹50 notes = x, ₹100 = 15-x
50x + 100(15-x) = 1000
50x + 1500 - 100x = 1000
-50x = -500 → x = 10

తెలుగు: 50x+100(15-x)=1000 → x=10.
₹50 నోట్లు = 10.

Youngest=x. Middle=x+2. Oldest=x+4.
3x+6=36 → x=10. Ages: 10, 12, 14.

తెలుగు: x+(x+2)+(x+4)=36 → 3x=30 → x=10.
వయసులు: 10, 12, 14.

x = 20 - 12 = 8

తెలుగు: రెండు వైపుల నుండి 12 తీసివేయాలి.
x = 8.

From eq1: y=2x-1. Sub in eq2: x+2(2x-1)=8 → 5x=10 → x=2, y=3.
Point (2,3) is intersection.

తెలుగు: x=2, y=3. Graph లో ఇవి రెండు రేఖలు (2,3) వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
Graphical solution = Point of intersection = (2,3).

h+r=50, 2h+4r=140 → h+2r=70.
r=20, h=30.

తెలుగు: h+r=50, 2h+4r=140.
రెండవ నుండి మొదటి తీసివేస్తే: r=20, h=30.

x + 7 = 15 → x = 8

తెలుగు: x + 7 = 15 → x = 8.

Pass marks = 185+15 = 200
40% of Total = 200 → Total = 500

తెలుగు: ఉత్తీర్ణత మార్కులు = 185+15 = 200.
40%×Total = 200 → Total = 500.

5 yrs ago: (A-5)=2(B-5) → A=2B-5.
10 yrs later: (A+10)+(B+10)=55 → A+B=35.
(2B-5)+B=35 → 3B=40 → B=40/3...

Adjust: A-5=2(B-5), A+B=40 (10 yrs later, sum=60).
A=2B-5. 2B-5+B=40 → 3B=45 → B=15, A=25.

Check: 5 yrs ago: A=20=2×10=2×B(10 yrs ago)=2×10 ✓.
10 yrs later: 35+25=60 ✓. Present A=25, B=15.

తెలుగు: A-5=2(B-5), A+B=40.
B=15, A=25.

Cross multiply: 3(3x+1) = 4(2x-3)
9x+3 = 8x-12 → x = -15

తెలుగు: Cross multiply చేయాలి.
9x+3 = 8x-12 → x = -15.
Check: (3(-15)+1)/4=(-44)/4=-11; (2(-15)-3)/3=(-33)/3=-11 ✓

If a/l=b/m but c/n≠b/m → parallel lines → no solution (inconsistent).
If a/l≠b/m → intersecting → unique solution (consistent).
If a/l=b/m=c/n → same line → infinite solutions.

తెలుగు: a/l≠b/m → రేఖలు ఖండించుకుంటాయి → unique solution.
a/l=b/m≠c/n → parallel → no solution.
Consistent = solution ఉన్న system.

xy=18, 10x+y-(10y+x)=27 → 9x-9y=27 → x-y=3.
xy=18, x-y=3: x=6,y=3 → 63-36=27 ✓. Number=63.

తెలుగు: xy=18, x-y=3.
x=6, y=3 → సంఖ్య=63.
Check: 6×3=18 ✓, 63-36=27 ✓

60(t+2) = 90t → 60t+120 = 90t → 30t=120 → t=4 hours (after Train2 starts)

తెలుగు: 60(t+2)=90t → t=4 గంటలు (రైలు2 బయలుదేరిన తర్వాత).

Only trivial solution when ad-bc ≠ 0 (determinant ≠ 0).
If ad-bc=0 → infinite solutions (non-trivial exist).

తెలుగు: Determinant = ad-bc ≠ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే trivial solution (0,0).
ad-bc=0 అయితే → non-trivial solutions కూడా ఉంటాయి.

x + 3 = 10 → x = 7

తెలుగు: రెండు వైపులా 2 తో గుణించాలి.
x + 3 = 10 → x = 7.

ax - cx = d - b → x(a-c) = d-b → x = (d-b)/(a-c)

తెలుగు: ax-cx = d-b.
x(a-c) = d-b → x = (d-b)/(a-c).

Eq2 = 2 × Eq1 → same line → infinite solutions!
Ratio: a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂=1/2

తెలుగు: రెండవ equation మొదటి దానికి 2 రెట్లు.
అవి ఒకే రేఖను represent చేస్తాయి → infinite solutions.

0.06A+0.05(5000-A)=262
0.06A+250-0.05A=262 → 0.01A=12 → A=1200

తెలుగు: 0.06A+0.05(5000-A)=262.
0.01A=12 → A=₹1200.

x - 2x = -10 + 5 → -x = -5 → x = 5

తెలుగు: x-2x = -10+5.
-x = -5 → x = 5.