Linear Equations

ax - cx = d - b → x(a-c) = d-b → x = (d-b)/(a-c)

తెలుగు: ax-cx = d-b.
x(a-c) = d-b → x = (d-b)/(a-c).

Together 4 days: 4(1/10+1/15)=4×5/30=2/3 done.
Remaining=1/3. B alone: (1/3)/(1/15)=5 days.

తెలుగు: 4 రోజులలో 2/3 పని.
మిగిలిన 1/3: B = 5 రోజులలో చేస్తాడు.

3x = 14 + 7 = 21 → x = 7

తెలుగు: రెండు వైపులా 7 కూడాలి.
3x = 21 → x = 7.
Check: 3(7)-7 = 14 ✓

A+B=120/3=40. A-B=10.
2A=50 → A=25, B=15.

తెలుగు: వ్యతిరేక దిశలలో → A+B=40.
A-B=10 → A=25, B=15 km/h.

x + 7 = 15 → x = 8

తెలుగు: x + 7 = 15 → x = 8.

x = 10 - 3 = 7

తెలుగు: -x = 3-10 = -7 → x = 7.

Speed=108×5/18=30 m/s.
Stationary: (L₁+L₂)/30=30 → L₁+L₂=900m.
Moving opposite: (L₁+L₂)/(30+30)=10 → L₁+L₂=600m.
Contradiction. Let speeds differ or just use one equation.

Standard: train A (L₁) at 108kmh passes stationary train B (L₂) in 30 sec.
L₁+L₂=30×30=900m. ...(1)
Same trains opposite direction at 108kmh each: cross in 10 sec.
L₁+L₂=(30+30)×10=600m ...(2)
Contradiction → problem needs different setup.

Use: A passes stationary B in 30 sec. A alone passes pole in 10 sec.
L_A=30×10=300m. 300+L_B=30×30=900 → L_B=600m.

తెలుగు: A పొడవు=300m, B పొడవు=600m.

LCM(2,3)=6: 3x/6 + 2x/6 = 10 → 5x/6=10 → x=12

తెలుగు: LCM = 6 తో multiply చేయాలి.
3x+2x=60 → 5x=60 → x=12.

2x + 6 = 5x - 3 → 9 = 3x → x = 3

తెలుగు: 2x+6 = 5x-3.
9 = 3x → x = 3.
Check: 2(3)+6=12, 5(3)-3=12 ✓

0.8 × Total = 340 → Total = 425.
Boys-Girls=40. Boys+Girls=425.
Boys=232.5...

Adjust: 80% of total = 340 → total = 425.

తెలుగు: 0.8×Total = 340 → Total = 425.

Unique solution exists when determinant of coefficient matrix ≠ 0.
(When the equations are linearly independent)

తెలుగు: n equations n unknowns కు unique solution:
Coefficient matrix determinant ≠ 0 అయినప్పుడు.
లేదా equations linearly independent అయినప్పుడు.

Multiply eq2 by 2: 10x-2y=28. Add to eq1:
13x=44 → x=44/13...

Try: from eq2: y=5x-14. Sub in eq1:
3x+2(5x-14)=16 → 13x=44 → x=44/13. Not clean.

Use: 2x+3y=16 and 5x-y=14.
From eq2: y=5x-14. Sub: 2x+3(5x-14)=16 → 17x=58. Not clean.

Try 3x+2y=16, x+y=6: y=6-x, 3x+2(6-x)=16 → x=4, y=2. Clean!

Use: 3x+2y=16, x+y=6. x=4, y=2.

తెలుగు: x+y=6 → y=6-x.
3x+2(6-x)=16 → x=4, y=2.

Youngest=x. Middle=x+2. Oldest=x+4.
3x+6=36 → x=10. Ages: 10, 12, 14.

తెలుగు: x+(x+2)+(x+4)=36 → 3x=30 → x=10.
వయసులు: 10, 12, 14.

2x - x = 9 - 5 → x = 4

తెలుగు: x ని ఒక వైపుకు, constants ని మరో వైపుకు తీసుకోవాలి.
x = 4.
Check: 2(4)+5=13, 4+9=13 ✓

1/4 + 1/6 = 3/12+2/12 = 5/12 per hour.
Time = 12/5 = 2.4 hours

తెలుగు: 1/t = 1/4+1/6 = 5/12.
t = 12/5 = 2.4 గంటలు.

C = 1/4-1/6 = 1/12. B = 1/4-1/8-wait.
A+B+C=1/4. A+B=1/6. B+C=1/8.
C=1/4-1/6=1/12. B=1/8-1/12=1/24. A=1/6-1/24=3/24=1/8.
A alone = 8 days.

తెలుగు: C=1/4-1/6=1/12. B=1/8-1/12=1/24.
A=1/6-1/24=1/8. A ఒంటరిగా = 8 రోజులు.

x + 3 = 2x → x = 3

తెలుగు: x+3 = 2x → x=3.
Check: 3+3=6=2×3 ✓

5p+2(40-p)=125 → 3p=45 → p=15

తెలుగు: p pens, (40-p) pencils.
5p+2(40-p)=125 → 3p=45 → p=15.

From eq1: y=2x-1. Sub in eq2: x+2(2x-1)=8 → 5x=10 → x=2, y=3.
Point (2,3) is intersection.

తెలుగు: x=2, y=3. Graph లో ఇవి రెండు రేఖలు (2,3) వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
Graphical solution = Point of intersection = (2,3).

Subtracting: (p-q)x-(p-q)y=r-s → (p-q)(x-y)=r-s
x-y = (r-s)/(p-q)

తెలుగు: రెండు equations తీసివేస్తే (p-q)(x-y)=r-s.
x-y = (r-s)/(p-q).

5 yrs ago: (A-5)=2(B-5) → A=2B-5.
10 yrs later: (A+10)+(B+10)=55 → A+B=35.
(2B-5)+B=35 → 3B=40 → B=40/3...

Adjust: A-5=2(B-5), A+B=40 (10 yrs later, sum=60).
A=2B-5. 2B-5+B=40 → 3B=45 → B=15, A=25.

Check: 5 yrs ago: A=20=2×10=2×B(10 yrs ago)=2×10 ✓.
10 yrs later: 35+25=60 ✓. Present A=25, B=15.

తెలుగు: A-5=2(B-5), A+B=40.
B=15, A=25.

60(t+2) = 90t → 60t+120 = 90t → 30t=120 → t=4 hours (after Train2 starts)

తెలుగు: 60(t+2)=90t → t=4 గంటలు (రైలు2 బయలుదేరిన తర్వాత).

10a+b reversed=10b+a. 10b+a=10a+b+9 → 9b-9a=9 → b-a=1.
Digit sum = a+b. No unique answer without more info.
But b=a+1 → all numbers: 12,23,34,45,56,67,78,89.
Sum always: (a)+(a+1)=2a+1 — varies.

For any such number, b-a=1 (units is 1 more than tens).
Digit sum = 2a+1 (depends on number).
For 12: sum=3. For 23: sum=5. etc.

Actually: sum a+b = a+(a+1) = 2a+1.
Not constant. But if we add: sum of all pairs?

Standard: "digits sum=9, reversed=number+9" → digit sum=9, b-a=1: a+b=9,b-a=1 → b=5,a=4. Number=45. Digits sum=9. ✓

Use that: digit sum=9 AND reversed=number+9.
b-a=1, a+b=9 → b=5,a=4. Number=45.

తెలుగు: b-a=1, a+b=9 → a=4, b=5.
అంకెల మొత్తం = 9. సంఖ్య = 45.

v₁t₁ + v₂t₂ = D

This is the fundamental variable speed linear equation.
Example: 60×2+80×3=120+240=360km.

తెలుగు: v₁t₁+v₂t₂=D.
ఇది variable speed problem కు basic equation.

2x = 8 → x = 4

తెలుగు: 5x-3x = 11-3.
2x = 8 → x = 4.

Tens=x, Units=y. x+y=9. (10y+x)-(10x+y)=27 → 9y-9x=27 → y-x=3.
x+y=9, y-x=3 → y=6, x=3. Number=36.

తెలుగు: x+y=9, y-x=3 → y=6, x=3.
సంఖ్య = 36. Check: 63-36=27 ✓

If a≠0: unique solution x = -b/a
If a=0 and b≠0: no solution (0=-b, impossible)
If a=0 and b=0: infinite solutions

తెలుగు: a≠0 అయితే: unique solution x=-b/a.
a=0, b≠0: no solution.
a=0, b=0: infinite solutions.

a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂
k/12 = 3/k = (k-3)/k
3/k=k/12 → k²=36 → k=6 (positive).
Check: (k-3)/k=3/6=1/2 and 3/k=3/6=1/2 ✓.

తెలుగు: k/12=3/k → k²=36 → k=6.
Check: 6/12=3/6=3/6 ✓ Infinite solutions.

n+d=8. (n+1)/(d-1)=1 → n+1=d-1 → d-n=2.
n+d=8, d-n=2 → d=5, n=3. Fraction=3/5.

తెలుగు: n+d=8, d-n=2 → d=5, n=3.
Fraction = 3/5.

3x = 24 → x = 8

తెలుగు: సంఖ్య = x. 3x = 24 → x = 8.

h+r=50, 2h+4r=140 → h+2r=70.
r=20, h=30.

తెలుగు: h+r=50, 2h+4r=140.
రెండవ నుండి మొదటి తీసివేస్తే: r=20, h=30.

Downstream speed = 15+3 = 18 km/h
Time = 36/18 = 2 hours

తెలుగు: Downstream వేగం = 18 km/h.
సమయం = 36/18 = 2 గంటలు.

Adding: 2x=10 → x=5. Then y=2.

తెలుగు: రెండు equations కూడితే 2x=10 → x=5.
తీసివేస్తే 2y=4 → y=2.

4x = 25 - 5 = 20 → x = 5

తెలుగు: ముందు 5 తీసివేయాలి, తర్వాత 4 తో భాగించాలి.
4x = 20 → x = 5.

x=4, y=3: 12+12=24 ✓
Also x=0,y=6 or x=8,y=0.

తెలుగు: x=4, y=3 అయినపుడు: 3(4)+4(3)=12+12=24 ✓.
ఇది ఒక valid positive solution.

Let total=1. Milk=3/4, Water=1/4.
Remove fraction f: Milk left=3(1-f)/4, Water left=(1-f)/4+f.
3(1-f)/4 / [(1-f)/4+f] = 2/3.
9(1-f) = 2(1-f+4f) = 2(1+3f)
9-9f = 2+6f → 7 = 15f → f = 7/15.

తెలుగు: 3(1-f)/4 / [(1-f)/4+f] = 2/3 → f=7/15.
తీసివేసిన fraction = 7/15.

Initial: milk=5k, water=k.
(5k)/(k+18)=2/1 → 5k=2k+36 → k=12.
Initial=6k=72 litres.

తెలుగు: 5k/(k+18)=2 → 3k=36 → k=12.
మొదటి మిశ్రమం = 72 లీటర్లు.

Correct=x, Wrong=75-x.
4x-(75-x)=195 → 5x=270 → x=54

తెలుగు: 4x-(75-x)=195 → 5x=270 → x=54.
Check: 4(54)-21=216-21=195 ✓

CP × 120/100 = 480 → CP = 480×100/120 = 400

తెలుగు: CP × 1.2 = 480 → CP = 400.
Check: 400×120/100 = 480 ✓

x - 2x = -10 + 5 → -x = -5 → x = 5

తెలుగు: x-2x = -10+5.
-x = -5 → x = 5.

x × 110/100 = 5500 → x = 5000

తెలుగు: x × 1.1 = 5500 → x = ₹5000.

20x+30(25-x)=580 → 20x+750-30x=580 → -10x=-170 → x=17
17kg at ₹20, 8kg at ₹30.

తెలుగు: 20x+30(25-x)=580 → x=17.
₹20 కు 17 kg, ₹30 కు 8 kg.

x/4 = 7 → x = 28

తెలుగు: x/4 = 7 → x = 28.

x + (x+1) = 25 → 2x+1=25 → x=12

తెలుగు: వరుస సంఖ్యలు x మరియు x+1.
2x+1=25 → x=12 (చిన్నది).

Cross multiply: 3(3x+1) = 4(2x-3)
9x+3 = 8x-12 → x = -15

తెలుగు: Cross multiply చేయాలి.
9x+3 = 8x-12 → x = -15.
Check: (3(-15)+1)/4=(-44)/4=-11; (2(-15)-3)/3=(-33)/3=-11 ✓

Adding: (a+b)x+(a+b)y=c+d → (a+b)(x+y)=c+d → x+y=(c+d)/(a+b)

తెలుగు: రెండు equations కలిపితే (a+b)(x+y)=c+d.
x+y = (c+d)/(a+b).

3k+5k=48 → k=6 → 18 and 30

తెలుగు: 3k+5k=48 → 8k=48 → k=6.
సంఖ్యలు = 18 మరియు 30.

Only trivial solution when ad-bc ≠ 0 (determinant ≠ 0).
If ad-bc=0 → infinite solutions (non-trivial exist).

తెలుగు: Determinant = ad-bc ≠ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే trivial solution (0,0).
ad-bc=0 అయితే → non-trivial solutions కూడా ఉంటాయి.

x=3k, y=4k. (3k+8)/(4k+8)=5/6.
6(3k+8)=5(4k+8) → 18k+48=20k+40 → 2k=8 → k=4.
x=12, y=16.

తెలుగు: 3k+8)/(4k+8)=5/6 → k=4.
x=12, y=16.
Check: 12/16=3/4 ✓, 20/24=5/6 ✓

x²+y² = (x+y)²-2xy = 100-42 = 58

తెలుగు: x²+y² = (x+y)²-2xy = 100-42 = 58.