Quadratic Equations

New sum = (α+1/β)+(β+1/α) = (α+β)+((α+β)/αβ) = p+p/q = p(q+1)/q.
New product = (α+1/β)(β+1/α) = αβ+1+1+1/αβ = q+2+1/q = (q²+2q+1)/q = (q+1)²/q.
Equation: x²-p(q+1)/q × x + (q+1)²/q = 0.
Multiply by q: qx²-p(q+1)x+(q+1)²=0.

తెలుగు: New sum=p(q+1)/q, New product=(q+1)²/q.
qx²-p(q+1)x+(q+1)²=0.

x+x²=42 → x²+x-42=0.
(x+7)(x-6)=0 → x=6 లేదా x=-7.
Positive: x=6.

తెలుగు: x²+x-42=0 → (x+7)(x-6)=0.
x=6 (positive).

30=5×6, 5+6=11.
(x-5)(x-6)=0 → x=5 లేదా x=6.

తెలుగు: 5×6=30, 5+6=11.
మూలాలు x=5 మరియు x=6.

Let y=x². y²-13y+36=0 → (y-4)(y-9)=0.
y=4→x=±2; y=9→x=±3.
x=±2, ±3.

తెలుగు: y=x² అనుకుంటే y²-13y+36=0.
(y-4)(y-9)=0 → y=4 లేదా y=9.
x=±2 లేదా x=±3.

-15=5×(-3), 5+(-3)=2.
(x-5)(x+3)=0 → x=5 లేదా x=-3.

తెలుగు: (x-5)(x+3)=0.
మూలాలు: 5 మరియు -3.

If roots α,β → new roots nα,nβ.
Sum=n(α+β)=-nb/a. Product=n²αβ=n²c/a.
Equation: x²+(nb/a)x+n²c/a=0.
Multiply by a: ax²+nbx+n²c=0.

తెలుగు: New roots nα, nβ.
ax²+nbx+n²c=0 (replace b by nb, c by n²c).

α+β=5, αβ=6.
α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=125-90=35.

తెలుగు: α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β).
=125-3×6×5=125-90=35.

(2x-1)(x+2) = 0 → x=1/2 లేదా x=-2

తెలుగు: 2x²+3x-2: ac=2×(-2)=-4.
రెండు కారణాంకాలు: 4 మరియు -1 (4+(-1)=3, 4×(-1)=-4).
(2x-1)(x+2)=0 → x=1/2 లేదా x=-2.

(x-2)(x-3)=0 → x²-5x+6=0

తెలుగు: మూలాలు α,β అయితే (x-α)(x-β)=0.
(x-2)(x-3)=x²-5x+6=0.

x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0
x = 2 లేదా x = 3

తెలుగు: 6 = 2×3, 2+3 = 5.
(x-2)(x-3)=0 → x=2 లేదా x=3.

D=4-60=-56<0 → Complex (imaginary) roots. Not real roots.తెలుగు: D=(-2)²-4(3)(5)=4-60=-56<0. D<0 → వాస్తవ మూలాలు లేవు (complex roots).

= [α(β+1)+β(α+1)]/[(α+1)(β+1)]
= [2αβ+α+β]/[αβ+α+β+1]
= [2b-a]/[b-a+1].

తెలుగు: α+β=-a, αβ=b.
Numerator=2b+(-a)=2b-a.
Denominator=b+(-a)+1=b-a+1.
Answer=(2b-a)/(b-a+1).

f(0)=c=1.
f(1)=a+b+1=2 → a+b=1.
f(-1)=a-b+1=3 → a-b=2.
Adding: 2a=3 → a=3/2, b=-1/2.

తెలుగు: c=1. a+b=1, a-b=2.
a=3/2, b=-1/2.
f(x)=(3/2)x²-(1/2)x+1.

y=x²: y²-5y+4=0 → (y-1)(y-4)=0.
y=1→x=±1; y=4→x=±2.
All roots: ±1, ±2.

తెలుగు: y=x² ఉంచి quadratic చేయాలి.
(y-1)(y-4)=0 → x=±1, x=±2.

x+y=15, x²+y²=113.
(x+y)²-2xy=113 → 225-2xy=113 → xy=56.
x²-15x+56=0 → (x-7)(x-8)=0 → x=7,y=8.

తెలుగు: xy=56. x²-15x+56=0.
(x-7)(x-8)=0 → సంఖ్యలు 7 మరియు 8.

x + 1/x = 10/3 → 3x²-10x+3=0.
(3x-1)(x-3)=0 → x=1/3 లేదా x=3.

తెలుగు: x+1/x=10/3 → 3x²-10x+3=0.
x=3 లేదా x=1/3.

By Irrational Conjugate Root Theorem:
If coefficients are rational and one root is p+√q, other is p-√q.

తెలుగు: Rational coefficients ఉన్నప్పుడు irrational మూలాలు conjugate జతలుగా వస్తాయి.
(p+√q) మూలమైతే (p-√q) కూడా మూలమే.

(x+5)(x-4)=0 → x=-5 లేదా x=4.

తెలుగు: -20=5×(-4), 5+(-4)=1.
మూలాలు: x=-5 మరియు x=4.

Graph is a parabola.
a>0: opens upward (U-shape); a<0: opens downward. Roots = x-intercepts (where parabola crosses/touches x-axis). D>0: 2 x-intercepts; D=0: 1 tangent point; D<0: no x-intercepts.తెలుగు: Parabola వక్రరేఖ. a>0: పైకి తెరుచుకుంటుంది; a<0: కిందికి. మూలాలు = x-axis తో ఖండన బిందువులు. D>0: 2 points; D=0: 1 point; D<0: 0 points.

f(x)=(x-1)(x-2)>0.
Roots 1 and 2. a>0 (opens up).
f(x)>0 outside roots: x<1 లేదా x>2.

తెలుగు: (x-1)(x-2)>0.
Parabola upward → positive outside roots.
x<1 లేదా x>2.

3(x²-4)=0 → x²=4 → x=±2

తెలుగు: 3ను common factor తీయాలి.
x²=4 → x=±2.

x² = 9 → x = ±3
లేదా: (x+3)(x-3)=0 → x=-3 లేదా x=3

తెలుగు: x²=9 → x=±3.
లేదా వర్గభేదం: (x+3)(x-3)=0.

(x+3)(x-2) = 0 → x=-3 లేదా x=2

తెలుగు: -6 = 3×(-2), 3+(-2)=1.
(x+3)(x-2)=0 → x=-3 లేదా x=2.

Subtract: 8x-p=0 → x=p/8.
Substitute in eq1: (p/8)²-6(p/8)+p=0.
p²/64-3p/4+p=0 → p²/64+p/4=0 → p(p/64+1/4)=0.
p=0 or p=-16. If p=-16: x=-16/8=-2.
If p=0: x=0.
Common root = -2 (with p=-16) or 0 (with p=0).

తెలుగు: eq1-eq2: 8x-p=0 → x=p/8.
p=-16 → x=-2.
సాధారణ మూలం = -2.

(x-4)(x+2)>0.
Roots: 4 and -2.
Solution: x < -2 లేదా x > 4.

తెలుగు: (x-4)(x+2)>0.
మూలాలు -2 మరియు 4.
Solution: x<-2 లేదా x>4.

Sum of roots = 3+2i.
Other root = (3+2i)-1 = 2+2i.

తెలుగు: మూలాల మొత్తం = 3+2i.
రెండవ మూలం = (3+2i)-1 = 2+2i.

(x-4)²=0 → x=4 (సమాన మూలాలు)

తెలుగు: (x-4)²=0.
x=4 రెండుసార్లు (repeated root).

D≥0: 4(k-3)²-4k²≥0.
(k-3)²-k²≥0 → k²-6k+9-k²≥0 → 9-6k≥0 → k≤3/2.

తెలుగు: D≥0 కావాలి.
4(k-3)²-4k²≥0 → 9-6k≥0 → k≤3/2.

x=0 లేదా x-4=0 → x=4

తెలుగు: x=0 లేదా x=4.

Rational Root Theorem: any rational root p/q (in lowest terms) satisfies:
p divides c (constant term)
q divides a (leading coefficient)

Example: 2x²-5x+2=0. Possible rational roots: ±1/2, ±1, ±2.
Roots: 1/2 and 2. ✓

తెలుగు: Rational root p/q:
p, constant term (c) ని భాగించాలి.
q, leading coefficient (a) ని భాగించాలి.

D=0: (k+3)²-16k=0.
k²+6k+9-16k=0 → k²-10k+9=0.
(k-1)(k-9)=0 → k=1 లేదా k=9.

తెలుగు: D=(k+3)²-16k=0.
k²-10k+9=0 → k=1 లేదా k=9.

D<0: 16-4k<0 → k>4.

తెలుగు: D=16-4k<0 → 4k>16 → k>4.

α²+β²=(α+β)²-2αβ=p²-2q. For this to equal -p²: p²-2q=-p² → 2p²=2q → q=p².
α²β²=(αβ)²=q².
Equation: x²-(p²-2q)x+q²=0. This equals x²+p²x+q² only if -(p²-2q)=p² → q=p².

తెలుగు: α²+β²=p²-2q. α²β²=q².
p²-2q=-p² అయినప్పుడే (అనగా q=p²) అవుతుంది.

(x+2)² = 0 → x = -2 (రెండుసార్లు)

తెలుగు: (x+2)² = 0 → x=-2 (సమాన మూలాలు).

(α²+β)(α+β²) = α³+α²β²+αβ+β³
= (α³+β³)+αβ(α+β²... wait:
= α³+α²β²+αβ+β³
= (α³+β³)+αβ(αβ+1)
= (S³-3PS)+P(P+1)
= S³-3PS+P²+P.

తెలుగు: α³+α²β²+αβ+β³=(α³+β³)+αβ(αβ+1).
= S(S²-3P)+P(P+1)=S³-3PS+P²+P.

For ax²+bx+c=0: Sum = -b/a, Product = c/a
Sum = 7, Product = 12

తెలుగు: మూలాల మొత్తం = -b/a = 7.
మూలాల లబ్ధం = c/a = 12.

ac=-30. Factors: -10×3 (sum=-7).
6x²-10x+3x-5=0 → 2x(3x-5)+1(3x-5)=0.
(2x+1)(3x-5)=0 → x=-1/2 లేదా x=5/3.

తెలుగు: (2x+1)(3x-5)=0.
x=-1/2 లేదా x=5/3.

2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2

తెలుగు: 2x²=8 → x²=4 → x=±2.

Sum=4+(-3)=1, Product=4×(-3)=-12.
x²-x-12=0.

తెలుగు: మొత్తం=1, లబ్ధం=-12.
x²-(1)x+(-12)=0 → x²-x-12=0.

(2x-1)²=0 → x=1/2 (సమాన మూలాలు).

తెలుగు: 4x²-4x+1=(2x-1)²=0.
x=1/2 రెండుసార్లు.

α/β+β/α=(α²+β²)/αβ=((α+β)²-2αβ)/αβ=(b²/a²-2c/a)/(c/a)=(b²-2ac)/ac.
3αβ=3c/a.
Total=(b²-2ac)/ac+3c/a=(b²-2ac+3c²)/(ac).

తెలుగు: α/β+β/α=(b²-2ac)/ac.
3αβ=3c/a. మొత్తం=(b²-2ac+3c²)/ac.

If common root α: aα²+bα+c=0 ...(1), bα²+cα+a=0 ...(2).
(1)-(2): (a-b)α²+(b-c)α+(c-a)=0.
Also α=1 satisfies if a+b+c=0.
If a+b+c=0: a³+b³+c³=3abc.

తెలుగు: a+b+c=0 అయినప్పుడు common root α=1.
a+b+c=0 → a³+b³+c³=3abc.

x(x+1)=72 → x²+x-72=0.
(x+9)(x-8)=0 → x=8 లేదా x=-9.
Positive: 8 మరియు 9.

తెలుగు: x(x+1)=72 → x²+x-72=0.
(x-8)(x+9)=0 → x=8.
సంఖ్యలు: 8 మరియు 9.

α+β=5, αβ=6.
(α-β)² = (α+β)²-4αβ = 25-24 = 1.

తెలుగు: (α-β)² = (α+β)²-4αβ.
= 25-24 = 1.

Roots: α,2α. Sum=3α=14/k, Product=2α²=8/k.
From sum: α=14/3k.
2(14/3k)²=8/k → 2×196/9k²=8/k → 392/9k=8 → k=49/9...
Hmm, let me try: sum=3α=14/k, product=2α²=8/k.
(3α)²/(2α²) = (14/k)²/(8/k) → 9/2 = 14²/(8k) = 196/8k = 49/2k.
9/2 = 49/2k → k=49/9.

Verify: roots in ratio 1:2, sum=14/k=14×9/49=18/7, product=8/k=72/49.
α+2α=18/7 → α=6/7. 2α²=2×36/49=72/49 ✓.

Let me use a cleaner problem: 2x²-kx+18=0, one root double.
Roots α,2α. Sum=k/2, Product=9=2α² → α²=9/2. Hmm.

Use: 2x²-14x+k=0. Roots α,2α. Sum=7=3α → α=7/3. Product=2α²=2×49/9=98/9=k/2 → k=196/9. Not clean.

Try: 2x²+bx+4=0, roots α,2α. Product=2=2α² → α=1. Sum=-b/2=-3 → b=6.
Equation: 2x²+6x+4=0 → x²+3x+2=0. Roots -1,-2. -2=-2×(-1) ✓ but negative.

Final clean: kx²-14x+8=0. Try k=9/2... let's just state k=49/9 or adjust problem.

Use: 3x²-14x+8=0. Product=8/3=2α², sum=14/3=3α → α=14/9. 2(14/9)²=2×196/81=392/81≠8/3.

Use simple: x²-6x+k=0, roots α,2α. Sum=6=3α → α=2. Product=2α²=8=k. ✓

Actually: x²-6x+8=0. k would be 8 here.
Roots: α=2, 2α=4. 2+4=6 ✓, 2×4=8=k ✓. k=8!

But question has kx²-14x+8=0. Let's say answer is k=49/9 and round question.

Better: use kx²-14x+8, solution k=49/9. Answers: 7/3, 49/9, 9/49, 7/9.

తెలుగు: మూలాలు α,2α. 3α=14/k, 2α²=8/k.
9/2=49/(2k) → k=49/9.

2x²-8x+5 = 2(x²-4x)+5
= 2(x²-4x+4-4)+5
= 2(x-2)²-8+5 = 2(x-2)²-3.
Vertex: (2,-3).

తెలుగు: 2(x²-4x)+5 = 2(x-2)²-8+5 = 2(x-2)²-3.
Vertex form: 2(x-2)²-3. Vertex=(2,-3).

a=1,b=-7,c=10.
D=49-40=9. √D=3.
x=(7±3)/2 → x=5 లేదా x=2.

తెలుగు: x=(-(-7)±√9)/2 = (7±3)/2.
x=5 లేదా x=2.

Roots: α and 1/α.
Product = α×(1/α) = 1 = c/a → c=a → ac=a².
OR simply: c/a=1 → a=c.

తెలుగు: మూలాల లబ్ధం = c/a = 1 → a=c.
a=c అయినపుడు మూలాలు విలోమాలు.

Sum = α+(-α) = 0 = -b → b=0.
Product = α×(-α) = -α² = c.
c is negative, b=0.

తెలుగు: మొత్తం=0 → b=0.
లబ్ధం=-α²=c (ప్రతికూల).
Equation: x²+c=0 (b=0).

α+β=-3, αβ=1.
α²+β²=(α+β)²-2αβ=9-2=7.
α⁴+β⁴=(α²+β²)²-2(αβ)²=49-2=47.

తెలుగు: α²+β²=7. α⁴+β⁴=(α²+β²)²-2(αβ)².
=49-2=47.

p+q=3, pq=2.
p/q+q/p = (p²+q²)/(pq) = ((p+q)²-2pq)/pq = (9-4)/2 = 5/2.

తెలుగు: p/q+q/p = (p²+q²)/pq = ((p+q)²-2pq)/pq.
= (9-4)/2 = 5/2.

α+β=2, αβ=-1. Let Sn=αⁿ+βⁿ.
S1=2, S2=(α+β)S1-αβ×2=4+2=6... wait.
S2=(2)²-2(-1)=4+2=6.
S3=(α+β)S2-αβS1=12+2=14.
S4=(α+β)S3-αβS2=28+6=34.
S5=(α+β)S4-αβS3=68+14=82.

తెలుగు: Sn=(α+β)Sn₋₁-αβSn₋₂.
S1=2,S2=6,S3=14,S4=34,S5=82.

Sum=(p+q)+(p-q)=2p=p → p=0.
Product=(p+q)(p-q)=p²-q²=q → -q²=q → q²+q=0 → q=0 or q=-1.
If p=0,q=-1: equation x²+1=0 (no real roots).
If p=0,q=0: x²=0 (trivial).

తెలుగు: మొత్తం=2p=p → p=0.
q(q+1)=0 → q=0 లేదా q=-1.
Non-trivial: p=0, q=-1.

(b/2)² = (6/2)² = 9.
x²+6x+9 = (x+3)².

తెలుగు: (b/2)² = 9 కూడాలి.
x²+6x+9 = (x+3)².

(x-5)(x+2) = 0 → x=5 లేదా x=-2

తెలుగు: -10 = 5×(-2), 5+(-2)=3.
(x-5)(x+2)=0 → x=5 లేదా x=-2.

For ax² + bx + c = 0:
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

తెలుగు: ax²+bx+c=0 కు సాధారణ సూత్రం:
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a.
ఇది discriminant (b²-4ac) వాడుతుంది.

D = 0-4(1)(1) = -4 < 0 → No real roots. x² = -1 → no real solution.తెలుగు: D=-4<0 → వాస్తవ మూలాలు లేవు. x²=-1 అసాధ్యం (వాస్తవ సంఖ్యలకు).

When D=0: x=(-b±√0)/2a = -b/2a.
Both roots give same value → repeated.
Geometrically: parabola touches x-axis at one point.

తెలుగు: D=0 → x=(-b±0)/2a=-b/2a.
రెండు మూలాలూ ఒకే విలువ → repeated root.
Geometrically: parabola x-axis ని tangent గా తాకుతుంది.

x(x-5)=0 → x=0 లేదా x=5.

తెలుగు: x ని common factor తీయాలి.
x(x-5)=0 → x=0 లేదా x=5.

D=25+24=49. √D=7.
x=(-5±7)/4 → x=1/2 లేదా x=-3.

తెలుగు: x=(-5±7)/(2×2)=(-5±7)/4.
x=2/4=1/2 లేదా x=-12/4=-3.

For ax²+bx+c=0 with roots α,β:
Sum: α+β = -b/a
Product: αβ = c/a

Generalizes to higher degree polynomials too.

తెలుగు: Vieta's Formulas:
మూలాల మొత్తం = -b/a.
మూలాల లబ్ధం = c/a.
ఇవి polynomial equations కి చాలా useful.

α²+β²=(α+β)²-2αβ → 9=9-2αβ → αβ=0.
Equation: x²+3x+0=0 → x(x+3)=0.

తెలుగు: 9=(-3)²-2αβ=9-2αβ → αβ=0.
Equation: x²-(-3)x+0=0 → x²+3x=0.

x² - (sum)x + product = 0
x² - 5x + 6 = 0

తెలుగు: x² - (మొత్తం)x + లబ్ధం = 0.
x² - 5x + 6 = 0.

Roots: α and 2α.
Sum: 3α=-b → α=-b/3.
Product: 2α²=c → 2(b²/9)=c → 2b²=9c.

తెలుగు: మూలాలు α మరియు 2α.
3α=-b → α=-b/3. 2α²=c.
2b²=9c.

D<0: 9+8k<0 → k<-9/8.తెలుగు: D=9-4(2)(-k)=9+8k<0. k<-9/8.

a ≠ 0 (leading coefficient must be non-zero)
If a=0, it becomes linear equation bx+c=0.

తెలుగు: a≠0 అవసరం.
a=0 అయితే bx+c=0 అనే linear equation అవుతుంది.

Let common root=α. 2α²-3α+p=0 ...(1), α²-4α+q=0 ...(2).
(1)-2×(2): 5α+p-2q=0 → α=(2q-p)/5.
Sub in (2): (2q-p)²/25-4(2q-p)/5+q=0.
(2q-p)²-20(2q-p)+25q=0.

తెలుగు: α=(2q-p)/5.
(2q-p)²-20(2q-p)+25q=0.

= (α+1+β+1)/((α+1)(β+1)) = (α+β+2)/(αβ+α+β+1).
= (5+2)/(6+5+1) = 7/12.

తెలుగు: Numerator=α+β+2=7.
Denominator=αβ+α+β+1=6+5+1=12.
= 7/12.

α+β=-p, αβ=q.
α²+β² = (α+β)²-2αβ = p²-2q.

తెలుగు: α²+β² = (α+β)²-2αβ = p²-2q.

ac=9. Factors: -1×-9, sum=-10.
(3x-1)(x-3)=0 → x=1/3 లేదా x=3.

తెలుగు: (3x-1)(x-3)=0.
x=1/3 లేదా x=3.

Minimum at x = -b/2a (vertex).
Minimum value = c - b²/4a = (4ac-b²)/4a.

తెలుగు: a>0 అయినప్పుడు parabola upward → minimum.
x=-b/2a వద్ద minimum.
Minimum value = (4ac-b²)/4a.

Original: α+β=S, αβ=P.
New roots: αβ(α+β)=PS and S.
New sum = PS+S = S(P+1).
New product = PS×S = PS².
New equation: x²-S(P+1)x+PS²=0.

తెలుగు: కొత్త మూలాలు: PS మరియు S.
కొత్త మొత్తం=S(P+1), కొత్త లబ్ధం=PS².
Equation: x²-S(P+1)x+PS²=0.

(α-β)²=(α+β)²-4αβ = (-b/a)²-4(c/a) = b²/a²-4c/a = (b²-4ac)/a². ✓

తెలుగు: (α-β)²=(α+β)²-4αβ.
= b²/a² - 4c/a = (b²-4ac)/a².

D = b²-4ac = 36-36 = 0

తెలుగు: a=1, b=-6, c=9.
D = (-6)²-4(1)(9) = 36-36 = 0.
D=0 → సమాన మూలాలు.

Vertex at t=-b/2a = -20/(2×-5) = 2 sec.
h_max = -5(4)+40+1 = -20+40+1 = 21m.

తెలుగు: t=-b/2a=2 వద్ద గరిష్టం.
h=-5(4)+20(2)+1=21 మీటర్లు.

Subtract: (a-c)x²+(c-a)=0 → (a-c)(x²-1)=0.
If a≠c: x²=1 → x=±1.
Common root = ±1.

తెలుగు: రెండు equations తీసివేస్తే (a-c)(x²-1)=0.
x=±1 సాధారణ మూలాలు.

D = b² - 4ac
D > 0 → Two distinct real roots
D = 0 → Two equal (repeated) roots
D < 0 → No real roots (complex roots)తెలుగు: D = b²-4ac. D>0 → రెండు వేర్వేరు వాస్తవ మూలాలు.
D=0 → రెండు సమాన మూలాలు.
D<0 → వాస్తవ మూలాలు లేవు.

20(X+3)=600 → X+3=30 → X=27.
This is linear! Let's use: X(X+3)=180.
X²+3X-180=0 → (X+15)(X-12)=0 → X=12.

తెలుగు: X(X+3)=180 → (X+15)(X-12)=0 → X=12.

w(w+7)=60 → w²+7w-60=0.
(w+12)(w-5)=0 → w=5.
Width=5m, Length=12m.

తెలుగు: w(w+7)=60 → w²+7w-60=0.
w=5 (positive). Length=12, Width=5.

x²-(α+β)x+αβ=0 → x²-7x+12=0.

తెలుగు: x²-7x+12=0.
Check: మూలాలు 3,4: 3+4=7 ✓, 3×4=12 ✓

(α+1)(β+1) = αβ+(α+β)+1 = 8+6+1 = 15.

తెలుగు: (α+1)(β+1) = αβ+α+β+1.
= 8+6+1 = 15.

x = ±4

తెలుగు: x=+4 లేదా x=-4.
రెండూ valid: (4)²=16 ✓, (-4)²=16 ✓

Yes! Complex Conjugate Root Theorem.
For quadratic with real coefficients: complex roots occur in conjugate pairs.
If p+iq is a root, p-iq must also be a root.

తెలుగు: అవును! Complex Conjugate Root Theorem.
వాస్తవ coefficients ఉన్న polynomial కు complex మూలాలు conjugate జతలుగా వస్తాయి.
(p+iq) మూలమైతే (p-iq) కూడా మూలమే.

α=(-b+√D)/2a, β=(-b-√D)/2a where D=b²-4ac.
α-β = 2√D/2a = √D/a = √(b²-4ac)/a. ✓

తెలుగు: α-β = (√D)/a = √(b²-4ac)/a.
ఇది discriminant ను వర్గమూలం తీసి a తో భాగించడం.

x²-6x=-5.
(x-3)²-9=-5 → (x-3)²=4.
x-3=±2 → x=5 లేదా x=1.

తెలుగు: (x-3)²=4 → x-3=±2.
x=5 లేదా x=1.

-12=4×(-3), 4+(-3)=1.
(x-4)(x+3)=0 → x=4 లేదా x=-3.

తెలుగు: -12=4×(-3), వాటి మొత్తం=1.
మూలాలు: x=4 మరియు x=-3.

Sum=3+√5, Product=3√5.
మూలాలు 3 మరియు √5 (3×√5=3√5 ✓, 3+√5 ✓).

తెలుగు: లబ్ధం=3√5, మొత్తం=3+√5.
(x-3)(x-√5)=0 → x=3 లేదా x=√5.

x² = 25 → x = ±5

తెలుగు: వర్గమూలం తీసుకోవాలి.
x = +5 లేదా x = -5.
Check: (5)²=25 ✓, (-5)²=25 ✓

x² = 0 → x = 0 (repeated root)
D = 0, so equal roots both = 0.

తెలుగు: x²=0 → x=0 (రెండుసార్లు).
D=0 → సమాన మూలాలు.
మూలాలు: 0 మరియు 0.

Roots: 2k and 3k.
Sum=5k=-b → k=-b/5.
Product=6k²=c.
6(b²/25)=c → 6b²=25c.

తెలుగు: మూలాలు 2k మరియు 3k.
5k=-b → k=-b/5. 6k²=c.
6b²/25=c → 6b²=25c.

α+β=3, αβ=1 → α+1/α=3 (since αβ=1 → 1/α=β).
(α+1/α)²=α²+2+1/α²=9 → α²+1/α²=7.

తెలుగు: αβ=1 కాబట్టి 1/α=β.
α+1/α=α+β=3.
(α+1/α)²=9 → α²+1/α²=9-2=7.

D = 16 - 16 = 0 → Equal roots
x = (4)/2 = 2 (both roots equal 2)
Also: (x-2)² = 0

తెలుగు: D=16-16=0 → సమాన మూలాలు.
(x-2)²=0 → x=2 (రెండుసార్లు).

(x+2)(x+3) = 0 → x=-2 లేదా x=-3

తెలుగు: 6=2×3, 2+3=5.
(x+2)(x+3)=0 → x=-2 లేదా x=-3.