Circles (వృత్తములు)

r = 7 cm

πr² = 154.
(22/7)×r² = 154.
r² = 154×7/22 = 49.
r = 7 cm.

Chord ని bisect చేస్తుంది (Perpendicular Bisector Theorem)

Theorem: Center నుండి chord కి perpendicular వేస్తే chord ని exactly midpoint వద్ద bisect చేస్తుంది.
OM ⊥ AB → AM = MB.

Converse: Chord midpoint ను center తో కలిపితే chord కి perpendicular అవుతుంది.
చాలా problems లో ఈ property use అవుతుంది!

O=circumcenter, I=incenter; OI=distance between them

Euler's formula: OI² = R(R-2r) = R²-2Rr.
O = circumcenter (circumscribed circle center).
I = incenter (inscribed circle center).
OI = distance between circumcenter and incenter.

Euler's inequality: R ≥ 2r (equality → equilateral triangle).
ఇది Triangle + Circles combined important result!

Diameter = 2 × Radius

Circle లో center నుండి boundary కి ఉన్న దూరం = Radius (r).
ఒక end నుండి center గుండా మరొక end కి = Diameter (d).
d = 2r లేదా r = d/2.

గుర్తు: Diameter అంటే circle గుండా వెళ్ళే longest chord!
ఉదా: r=5 → d=10; d=14 → r=7.

CD = 2√(r²-36); First find r

r² = 9²+4² = 81+16=97.
CD/2 = √(97-36)=√61. CD=2√61 ≈ 15.62 cm.

Hmm: Let me compute r from AB:
AM=9, OM=4. r²=81+16=97.
CM²=97-36=61. CD=2√61.

Circle ని సరిగ్గా ఒక point వద్ద touch చేసే line

Tangent = circle ని exactly one point వద్ద touch చేసే line.
ఆ point ని "point of tangency" అంటారు.

Tangent ఎల్లప్పుడూ radius కి perpendicular గా ఉంటుంది!
ఉదా: టైర్ రోడ్ ని touch చేసే point — road tangent to tire circle!

77/3 ≈ 25.67 cm²

Sector area = (θ/360°) × πr².
= (60/360) × (22/7) × 49.
= (1/6) × 154 = 77/3 ≈ 25.67 cm².

Formula గుర్తు: Sector area = (θ/360) × πr².
Full circle θ=360° → Area=πr² (check ✓)!

2:1

Area ∝ r². Area ratio = 4:1 = r₁²:r₂².
r₁/r₂ = √4 = 2. Ratio = 2:1.

రెండు circles కి equal power ఉన్న points locus — perpendicular to line joining centers

Radical axis:
ఒక point నుండి రెండు circles కి equal power ఉంటే ఆ point radical axis పై ఉంటుంది.
Radical axis = centers ని join చేసే line కి perpendicular.

Radical center: మూడు circles యొక్క radical axes కలిసే point.
Intersecting circles లో: common chord = radical axis!

AC×BD = AB×CD + BC×DA = 15+24 = 39

Ptolemy: AC×BD = AB×CD + BC×DA.
= 3×5 + 4×6 = 15+24 = 39.

Tangent-chord angle = inscribed angle in alternate segment

Theorem (Alternate Segment Theorem / Tangent-Chord Angle):
Tangent PQ మరియు chord AB వద్ద angle = alternate segment లో inscribed angle.

∠PAB = ∠ACB (C alternate segment లో).
ఇది "Tangent-chord angle = angle in alternate segment"!
Exam లో చాలా important theorem.

PC = 9

PA² = PB × PC.
36 = 4 × PC → PC = 9 cm.

Common chord పై ప్రతి point నుండి రెండు circles కి equal power

Common chord AB పై point P:
Power w.r.t. circle 1: PA×PB (chord P వద్ద).
Power w.r.t. circle 2: PA×PB (same, since A,B on both circles).
Equal power → P on radical axis.
కాబట్టి common chord ⊆ radical axis.
Both perpendicular to line of centers → they coincide!

Arc length = (θ/360°) × 2πr

Arc length = (θ/360) × 2πr = (θ/360) × circumference.
θ = angle subtended at center.

ఉదా: θ=90°, r=7 → Arc = (90/360)×2×(22/7)×7 = ¼×44 = 11 cm.
గుర్తు: Full circumference θ=360° → L=2πr ✓.

Both true. External tangents are equal (A). Tangent-radius=90° (R). But R is a separate property, not direct explanation of equal length.
A, R రెండూ సత్యం. కానీ R వేరే గుణం; నేరు వివరణ కాదు.

A is true: equidistant chords are equal. R is false: equal chords are equidistant from centre.
A సత్యం. R అసత్యం: సమాన జీవలు కేంద్రానికి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

220°

Inscribed ∠B=70° → minor arc AC = 2×70° = 140°.
Major arc AC = 360°-140° = 220°.

OM = 5 cm

AM = 12 (half chord).
OM² = OA²-AM² = 169-144=25 → OM=5 cm.

5-12-13 triple!

90° (Right angle)

Thales' Theorem: Diameter పై inscribed angle = 90°.
AB diameter అయినప్పుడు circle పై ఏ point P అయినా:
∠APB = 90°.

Proof: Radius OA=OB=OP → Isosceles triangles.
గుర్తు: "Angle in semicircle is a right angle" — exam లో most important theorem!

A is true: area=πr². R is false: if r doubles, area=π(2r)²=4πr²; area becomes 4 times not 2 times.
A సత్యం. R అసత్యం: r రెట్టింపు→వైశాల్యం 4 రెట్లు.

50°

PA=PB (equal tangents) → △PAB isosceles.
∠PAB=∠PBA=(180°-80°)/2=100°/2=50°.

Triangle circumcircle పై point P నుండి మూడు sides కి feet collinear అయినప్పుడు ఆ line Simson line

Simson Line Theorem:
Triangle ABC circumcircle పై point P నుండి BC, CA, AB కి perpendiculars వేస్తే feet D, E, F collinear → DEF = Simson line.

Converse: D,E,F collinear → P circumcircle పై ఉంటుంది.
Elegant theorem connecting circles and lines!

r = 5

PA=PB=5√3, ∠APB=60° → ∠APO=30° (OA⊥PA).
tan(∠APO) = OA/PA... wait: ∠OPA=30°.
sin(∠OPA)=OA/OP... but OA⊥PA.
tan(30°)=OA/PA=r/(5√3).
1/√3 = r/(5√3) → r=5.

Check: OP=√(r²+PA²)=√(25+75)=10. ∠OPA=arcsin(5/10)=30° ✓

r = 7 cm

(90/360)×(22/7)×r² = 38.5.
(1/4)×(22/7)×r² = 38.5.
r² = 38.5×4×7/22 = 49 → r=7.

True — Equal chords equidistant from center

ఒకే circle లో:
Equal chords → Center నుండి equal distance.
Converse కూడా true: Equal distance → Equal chords.

Proof: Perpendicular from center to chord bisects it.
Equal chords → equal half-lengths → equal distances (Pythagoras).

56 cm²

Sector area = (90/360)×πr² = ¼×(22/7)×196 = ¼×616=154 cm².
Triangle area = ½×r×r×sin90° = ½×14×14=98 cm².
Segment = Sector - Triangle = 154-98=56 cm².

40°

Alternate Segment Theorem:
Tangent-chord angle = inscribed angle in alternate segment.
∠QPT=40° → angle in alternate segment = 40°.

8 cm

AM² = r²-d² = 25-9=16 → AM=4.
Chord = 2×4 = 8 cm.

3-4-5 Pythagorean triple!

8 cm

r=10. Half chord=6.
d=√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8 cm.

PA = 12 cm

OA⊥PA → PA²=OP²-OA²=169-25=144 → PA=12.
Also PB=12 (equal tangents).

Central angle for semicircle = 180°. Inscribed = half = 90°.

AB = diameter → Central angle ∠AOB = 180°.
Inscribed angle theorem: Inscribed angle = ½ × Central angle.
∠APB = 180°/2 = 90°. ✓

ఇది Thales theorem యొక్క proof!

50°

∠AOB = 2×∠ACB = 80° (central=2×inscribed).
OA=OB (radii) → △OAB isosceles.
∠OAB = ∠OBA = (180°-80°)/2 = 50°.

Circle ని రెండు points వద్ద కట్ చేసే line

Secant = circle ని exactly two points వద్ద intersect చేసే line.
Secant = Chord ను extend చేసిన line.

Tangent vs Secant:
Tangent → 1 point (touch).
Secant → 2 points (cut through).
గుర్తు: "Sec" = cut చేయడం!

∠C=105°, ∠D=100°

Opposite angles supplementary:
∠A+∠C=180° → ∠C=105°.
∠B+∠D=180° → ∠D=100°.
Check: 75+80+105+100=360° ✓

6√2 cm

Square inscribed in circle: diagonal = diameter = 12.
Side = diagonal/√2 = 12/√2 = 6√2 cm.

Area of square = side² = (6√2)² = 72 cm².

Circle (Apollonius circle)

Apollonius circle:
PA/PB = k (constant, k≠1) → Locus = circle.
k=1 → locus = perpendicular bisector of AB (special case).

This circle is called Apollonius circle of A and B for ratio k.
Named after ancient Greek mathematician Apollonius of Perga!

Hexagon conic లో circumscribed అయినప్పుడు three main diagonals concurrent

Brianchon's Theorem:
Conic section చుట్టూ circumscribed hexagon లో (sides tangent to conic):
Three main diagonals concurrent point వద్ద కలుస్తాయి.

Dual of Pascal's theorem:
Pascal (inscribed) → collinear.
Brianchon (circumscribed) → concurrent.

Special case: Circle చుట్టూ hexagon → diagonals concurrent!

Perimeter = 2r + arc length = 2r + (θ/360)×2πr

Sector perimeter = 2 radii + arc length.
= 2r + (θ/360°)×2πr.

ఉదా: r=7, θ=60°:
Perimeter = 14 + (60/360)×44 = 14 + 44/6 = 14+22/3 ≈ 21.33 cm.

Same arc పై (same segment లో) inscribed angles సమానంగా ఉంటాయి

Theorem: Same chord AB యొక్క same side లో ఉన్న circle పై అన్ని inscribed angles equal.
∠APB = ∠AQB (P, Q same segment లో ఉంటే).

ఉదా: ఒక stadium చుట్టూ ఉన్న అన్ని spectators కి same chord "football goal" same angle లో కనిపిస్తుంది!

(k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)

Descartes' Circle Theorem:
Curvature k = 1/r.
(k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²).

Used to find the 4th circle tangent to 3 given mutually tangent circles.
Apollonian gasket creates infinite tangent circles from this theorem!

PA = PB (Equal tangents)

Theorem: External point నుండి circle కి గీసిన రెండు tangents సమానంగా ఉంటాయి.
PA = PB.

Proof: △OAP ≅ △OBP (RHS: OA=OB=r, ∠A=∠B=90°, OP common).
PA = PB. ✓
గుర్తు: ఒక point నుండి circle కి ఒకే distance — tangent lengths equal!

P'=(0,8)

OP = 2. OP×OP'=16 → OP'=8.
P' same direction: P'=(0,8).

Circle inversion maps inside↔outside.
Lines not through O → circles; circles through O → lines!

C = 2πr (లేదా πd)

Circumference = circle యొక్క perimeter (boundary length).
C = 2πr = πd.
π ≈ 3.14159... (irrational number).

ఉదా: r=7 → C = 2×(22/7)×7 = 44 cm.
గుర్తు: π = 22/7 approximation exam లో చాలా use అవుతుంది!

A is true: central angle=2×inscribed angle. R is false: central angle is double the inscribed angle, not equal.
A సత్యం. R అసత్యం: కేంద్ర కోణం=2×పరిధి కోణం, సమానం కాదు.

Both true. (1/4)×154=38.5. R applies sector formula correctly.
A, R రెండూ సత్యం. Sector వైశాల్యం=38.5.

Both true. Angle in semicircle=90° (Thales' theorem). R correctly names it.
A, R రెండూ సత్యం. అర్ధవృత్తంలో కోణం=90°.

50°

PA=PB → ∠PAB=∠PBA=65°.
∠APB = 180°-65°-65° = 50°.

మూడు circles యొక్క pairwise radical axes కలిసే point

Radical Center:
మూడు circles C₁, C₂, C₃.
Radical axis(C₁,C₂), Radical axis(C₂,C₃), Radical axis(C₁,C₃) → అన్నీ ఒక point వద్ద కలుస్తాయి.
ఆ point = Radical center.

Radical center నుండి మూడు circles కి equal power!

x²+y²=16 (Circle center origin, r=4)

PA²=(x-3)²+y², PB²=(x+3)²+y².
PA²+PB²=2x²+18+2y²=50.
2(x²+y²)=32.
x²+y²=16. Circle, r=4!

అవుతుంది (3²+4²=25); Tangent: 3x+4y=25

3²+4²=9+16=25 ✓ → point on circle.
Tangent at (x₁,y₁) to x²+y²=r²: xx₁+yy₁=r².
Tangent at (3,4): 3x+4y=25.

Standard formula: Tangent at (x₁,y₁) to circle x²+y²=r² is xx₁+yy₁=r².