Circles (వృత్తములు)

Chord మరియు arc మధ్య ఉన్న region

Segment = chord తో cut అయిన circle part.
Minor segment = smaller part (minor arc + chord).
Major segment = larger part.

Sector vs Segment:
Sector = Pie slice (2 radii + arc).
Segment = Chord + arc (radii లేదు).
గుర్తు: Segment లో center ఉండదు (minor segment లో)!

Both true. (1/4)×154=38.5. R applies sector formula correctly.
A, R రెండూ సత్యం. Sector వైశాల్యం=38.5.

6 cm

AM = 8 (half chord). OA=10 (radius).
OM² = OA²-AM² = 100-64 = 36 → OM=6 cm.

120°

∠OAP=∠OBP=90° (tangent⊥radius).
OAPB చతురస్రం: ∠APB+∠AOB = 180°.
∠AOB = 180°-60° = 120°.

గుర్తు: Tangent angle + Center angle = 180° (OAPB quadrilateral).

60°

∠APC = ½(arc AC + arc BD) = ½(80°+40°) = 60°.

Intersecting Chords Angle Theorem:
Angle = ½ × (sum of intercepted arcs).
గుర్తు: Vertically opposite arcs కూడుతాయి, సగం తీస్తారు!

Center=(-D/2, -E/2); r=½√(D²+E²-4F)

x²+y²+Dx+Ey+F=0 completing the square:
(x+D/2)²+(y+E/2)² = D²/4+E²/4-F.
Center = (-D/2, -E/2).
r = ½√(D²+E²-4F).

Condition for real circle: D²+E²-4F > 0.

r = 11 cm

Arc length = (θ/360°)×2πr.
22π/3 = (120/360)×2πr = (1/3)×2πr.
22/3 = 2r/3 → 2r = 22 → r=11 cm.

180°

∠APB+∠AQB = 180°.
Theorem: ఒక chord యొక్క రెండు వేర్వేరు arcs పై inscribed angles supplementary!

Proof: P minor arc side → ∠APB = (major arc AB)/2.
Q major arc side → ∠AQB = (minor arc AB)/2.
మొత్తం = (major+minor arc)/2 = 360°/2 = 180°.
Cyclic quadrilateral AQBP లో opposite angles!

3 cases: center inside, on, outside angle; each → central=2×inscribed

Case 1: Center O inside ∠APB.
Draw PO extend to meet circle at Q.
△OAP isosceles (OA=OP=r) → ∠OAP=∠OPA.
∠AOQ = 2∠OPA (exterior angle theorem).
Similarly ∠BOQ = 2∠OPB.
∠AOB = ∠AOQ+∠BOQ = 2∠APB. ✓

Cases 2,3 (center on/outside arc): Similar argument.

2:1

Area ∝ r². Area ratio = 4:1 = r₁²:r₂².
r₁/r₂ = √4 = 2. Ratio = 2:1.

8 cm

Externally tangent: d = r₁ + r₂ = 5+3 = 8 cm.
Internally tangent: d = |r₁-r₂| = |5-3| = 2 cm.

గుర్తు:
External tangency → centers far apart → d = r₁+r₂.
Internal tangency → one inside other → d = r₁-r₂.

Center=(2,3), r=2

Complete square:
(x²-4x+4)+(y²-6y+9) = -9+4+9 = 4.
(x-2)²+(y-3)²=4.
Center=(2,3), r=2.

78.5 cm²

r = d/2 = 5 cm.
Area = πr² = 3.14×25 = 78.5 cm².

Area = 616 cm²; Circumference = 88 cm

Area = πr² = (22/7)×14² = (22/7)×196 = 22×28 = 616 cm².
Circumference = 2πr = 2×(22/7)×14 = 2×44 = 88 cm.

గుర్తు: r=14 (14 is 2×7) — 22/7 తో easily calculate అవుతుంది!

Both true. C=2πr. R shows d=2r so πd=2πr.
A, R రెండూ సత్యం. C=2πr.

Circle పై vertex ఉండి, రెండు chords sides గా ఉన్న angle

Inscribed angle = circle boundary పై ఉన్న vertex నుండి circle పై రెండు points కి గీసిన chords మధ్య angle.

Central angle vs Inscribed angle:
Central angle: vertex = center.
Inscribed angle: vertex = circle boundary.
Key relation: Central angle = 2 × Inscribed angle (same arc)!

A is true: equidistant chords are equal. R is false: equal chords are equidistant from centre.
A సత్యం. R అసత్యం: సమాన జీవలు కేంద్రానికి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

OM = 5 cm

AM = 12 (half chord).
OM² = OA²-AM² = 169-144=25 → OM=5 cm.

5-12-13 triple!

24 cm

Chord center నుండి distance = inner radius = 5 cm (tangent condition).
Half chord² = 13²-5² = 169-25=144 → half chord=12.
Full chord = 24 cm. ✓

Triangle exterior కి tangent, రెండు sides extensions కి tangent అయిన circle

Excircle opposite to A (I_A):
✦ Side BC కి externally tangent.
✦ AB మరియు AC extensions కి tangent.
✦ Internal angle bisector A మరియు external bisectors B,C కలిసే point = I_A.

Excircle radius r_A = Δ/(s-a).
(Δ=area, s=semi-perimeter, a=BC)
ప్రతి triangle కి 3 excircles!

x²+y²=16 (Circle center origin, r=4)

PA²=(x-3)²+y², PB²=(x+3)²+y².
PA²+PB²=2x²+18+2y²=50.
2(x²+y²)=32.
x²+y²=16. Circle, r=4!

r₁² = r₂² + r₃² ... wait, let me think

Outer circle radius R, middle r, inner touches chord at center.
Chord AB of outer (radius R) tangent to middle (radius r):
Distance from center to chord = r.
If chord passes through inner center (radius r₃=0, just a point), and inner circle has center on chord...

Actually: outer radius = R, middle = r, and inner center = origin.
Chord tangent to middle → distance to center = r.
Chord passes through inner center (at origin) → distance = 0.
Contradiction unless inner = degenerate.

Standard: Chord of outer tangent to middle. Half chord = √(R²-r²).
This is the standard concentric circle problem.
R² = r² + (half chord)².

Perimeter = 2r + arc length = 2r + (θ/360)×2πr

Sector perimeter = 2 radii + arc length.
= 2r + (θ/360°)×2πr.

ఉదా: r=7, θ=60°:
Perimeter = 14 + (60/360)×44 = 14 + 44/6 = 14+22/3 ≈ 21.33 cm.

Both true. Perpendicular from centre bisects chord. R correctly names it.
A, R రెండూ సత్యం. జీవ ప్రమేయం.

π:4

Inscribed circle: r=5.
Circle area = 25π.
Square area = 100.
Ratio = 25π:100 = π:4.

π/4 ≈ 0.785 → circle covers ~78.5% of square area!

PC = 9

PA² = PB × PC.
36 = 4 × PC → PC = 9 cm.

మూడు circles యొక్క pairwise radical axes కలిసే point

Radical Center:
మూడు circles C₁, C₂, C₃.
Radical axis(C₁,C₂), Radical axis(C₂,C₃), Radical axis(C₁,C₃) → అన్నీ ఒక point వద్ద కలుస్తాయి.
ఆ point = Radical center.

Radical center నుండి మూడు circles కి equal power!

Both true. Angle in semicircle=90° (Thales' theorem). R correctly names it.
A, R రెండూ సత్యం. అర్ధవృత్తంలో కోణం=90°.

O=circumcenter, I=incenter; OI=distance between them

Euler's formula: OI² = R(R-2r) = R²-2Rr.
O = circumcenter (circumscribed circle center).
I = incenter (inscribed circle center).
OI = distance between circumcenter and incenter.

Euler's inequality: R ≥ 2r (equality → equilateral triangle).
ఇది Triangle + Circles combined important result!

A is true: central angle=2×inscribed angle. R is false: central angle is double the inscribed angle, not equal.
A సత్యం. R అసత్యం: కేంద్ర కోణం=2×పరిధి కోణం, సమానం కాదు.

అవుతుంది (3²+4²=25); Tangent: 3x+4y=25

3²+4²=9+16=25 ✓ → point on circle.
Tangent at (x₁,y₁) to x²+y²=r²: xx₁+yy₁=r².
Tangent at (3,4): 3x+4y=25.

Standard formula: Tangent at (x₁,y₁) to circle x²+y²=r² is xx₁+yy₁=r².

50°

∠AOB = 2×∠ACB = 80° (central=2×inscribed).
OA=OB (radii) → △OAB isosceles.
∠OAB = ∠OBA = (180°-80°)/2 = 50°.

(k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)

Descartes' Circle Theorem:
Curvature k = 1/r.
(k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²).

Used to find the 4th circle tangent to 3 given mutually tangent circles.
Apollonian gasket creates infinite tangent circles from this theorem!

రెండు circles కి equal power ఉన్న points locus — perpendicular to line joining centers

Radical axis:
ఒక point నుండి రెండు circles కి equal power ఉంటే ఆ point radical axis పై ఉంటుంది.
Radical axis = centers ని join చేసే line కి perpendicular.

Radical center: మూడు circles యొక్క radical axes కలిసే point.
Intersecting circles లో: common chord = radical axis!

Nine-point circle, incircle ని internally tangent గా touch చేస్తుంది; excircles ని externally

Feuerbach's Theorem (1822):
Nine-point circle:
✦ Incircle ని internally tangent గా touch చేస్తుంది.
✦ మూడు excircles ని externally tangent గా touch చేస్తుంది.

Feuerbach point = nine-point circle మరియు incircle tangency point.
One of the most beautiful theorems in triangle geometry!

Circle ని రెండు points వద్ద కట్ చేసే line

Secant = circle ని exactly two points వద్ద intersect చేసే line.
Secant = Chord ను extend చేసిన line.

Tangent vs Secant:
Tangent → 1 point (touch).
Secant → 2 points (cut through).
గుర్తు: "Sec" = cut చేయడం!

90° (Right angle)

Thales' Theorem: Diameter పై inscribed angle = 90°.
AB diameter అయినప్పుడు circle పై ఏ point P అయినా:
∠APB = 90°.

Proof: Radius OA=OB=OP → Isosceles triangles.
గుర్తు: "Angle in semicircle is a right angle" — exam లో most important theorem!

90°

Tangent ⊥ Radius at point of contact → angle = 90°.
ఇది Tangent problems లో foundation!
ఉదా: OT=5 (radius), TP=12 (tangent) → OP=√(25+144)=13 (Pythagoras).

r = 7 cm

πr² = 154.
(22/7)×r² = 154.
r² = 154×7/22 = 49.
r = 7 cm.

CD = 2√(r²-36); First find r

r² = 9²+4² = 81+16=97.
CD/2 = √(97-36)=√61. CD=2√61 ≈ 15.62 cm.

Hmm: Let me compute r from AB:
AM=9, OM=4. r²=81+16=97.
CM²=97-36=61. CD=2√61.

Arc = circle boundary యొక్క ఒక భాగం; Minor < semicircle, Major > semicircle

Arc = circle పై రెండు points మధ్య boundary.
Minor arc = smaller part (< 180°). Major arc = larger part (> 180°).
Semicircle = exactly 180°.

గుర్తు: AB chord రెండు arcs చేస్తుంది — minor (చిన్నది) మరియు major (పెద్దది)!

Circle (Apollonius circle)

Apollonius circle:
PA/PB = k (constant, k≠1) → Locus = circle.
k=1 → locus = perpendicular bisector of AB (special case).

This circle is called Apollonius circle of A and B for ratio k.
Named after ancient Greek mathematician Apollonius of Perga!

2:1

Central angle : Inscribed angle = 2:1.
Same arc పై central = 2× inscribed.

ఉదా: Arc AB subtends 80° at center → 40° at any point on remaining circle.

l² + d² = r²

Perpendicular bisects chord.
Half chord = l, radius = OA = r, distance = d = OM.
Right triangle OMA: l²+d²=r².

ఇది standard relation: l=√(r²-d²), d=√(r²-l²).

(x-3)²+(y+4)²=25

Center (3,-4), r=5:
(x-3)²+(y-(-4))²=5².
(x-3)²+(y+4)²=25.

Expanded: x²-6x+9+y²+8y+16=25 → x²+y²-6x+8y=0.

Triangle circumcircle పై point P నుండి మూడు sides కి feet collinear అయినప్పుడు ఆ line Simson line

Simson Line Theorem:
Triangle ABC circumcircle పై point P నుండి BC, CA, AB కి perpendiculars వేస్తే feet D, E, F collinear → DEF = Simson line.

Converse: D,E,F collinear → P circumcircle పై ఉంటుంది.
Elegant theorem connecting circles and lines!

r = 7 cm

(90/360)×(22/7)×r² = 38.5.
(1/4)×(22/7)×r² = 38.5.
r² = 38.5×4×7/22 = 49 → r=7.

రెండు radii మరియు arc మధ్య ఉన్న region

Sector = "pie slice" shape.
రెండు radii (OA మరియు OB) మరియు arc AB మధ్య ఉన్న area.

Minor sector = smaller angle, Major sector = larger angle.
గుర్తు: Sector = OA + arc AB + OB అనే boundary తో ఉన్న region.
Segment తో confuse కావద్దు: Segment = chord + arc (radius లేదు)!

Supplementary (మొత్తం 180°)

Cyclic quadrilateral (circle లో inscribed quadrilateral):
Opposite angles మొత్తం = 180°.
∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°.

ఉదా: Rectangle circle లో ఉంటుంది → 90°+90°=180° ✓.
ఇది circle + quadrilateral topics రెండింటిలో వస్తుంది!

Diameter = 2 × Radius

Circle లో center నుండి boundary కి ఉన్న దూరం = Radius (r).
ఒక end నుండి center గుండా మరొక end కి = Diameter (d).
d = 2r లేదా r = d/2.

గుర్తు: Diameter అంటే circle గుండా వెళ్ళే longest chord!
ఉదా: r=5 → d=10; d=14 → r=7.