NUMBER SYSTEM

Product of 3 consecutive integers is always divisible by 3! = 6.
Ex: 2×3×4=24(÷6=4✓), 3×4×5=60(÷6=10✓)
మూడు వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ 6తో భాగింపబడుతుంది.

999+1=1000. Carry propagates: units→tens→hundreds→thousands.
999+1=1000. అంకెలు వరుసగా carry అవుతాయి.

LCM(2,3,4,5)=60. Required number = 60+1=61
LCM(2,3,4,5)=60. కావలసిన సంఖ్య = 60+1=61

18÷3=6✓ and 18÷9=2✓. So number divisible by both 3 and 9.
18 ను 3 మరియు 9 రెండింటితో భాగించవచ్చు.

Predecessor of a number = number - 1. Predecessor of 100 = 99.
పూర్వగామి = సంఖ్య - 1. 100 పూర్వగామి = 99.

√144 = 12 because 12×12=144
√144 = 12 ఎందుకంటే 12×12=144

Sum of first n even numbers = n(n+1)
Ex: n=3 → 2+4+6=12 = 3×4=12 ✓
మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)

Divisibility rule for 11: Difference of alternating digit sums = 0 or 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ So 121 is divisible by 11.
11 భాగించే నియమం: మారు మారు(ALTERNATE NUMBERS) స్థానాల అంకెల మొత్తాల తేడా = 0 లేదా 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ కాబట్టి 121 ని 11తో భాగించవచ్చు.

Sum of first n odd numbers = n²
Ex: n=4 → 1+3+5+7=16=4² ✓
మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²

2¹÷3→r=2, 2²÷3→r=1, 2³÷3→r=2, 2⁴÷3→r=1 (cycle:2,1)
2¹⁰: power is even → remainder=1
2¹⁰ ÷ 3 → శేషం = 1

Every number is perfectly divisible by all its factors by definition. This property defines a factor.
ప్రతి సంఖ్య దాని కారణాంకాలతో పూర్తిగా భాగింపబడుతుంది — ఇదే కారణాంకం యొక్క నిర్వచనం.

For co-prime numbers, HCF=1, so LCM = product of the two numbers.
సహ-ప్రధాన సంఖ్యలకు HCF=1, కాబట్టి LCM = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం.

First multiple of 7 ≥100: 105. Last ≤200: 196.
Count = (196-105)/7 + 1 = 91/7 + 1 = 13+1=14
7 యొక్క గుణకారాలు: 105 నుండి 196 వరకు = 14

Primes 1-50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 → 15
ప్రధాన సంఖ్యలు = 15

Natural numbers start from 1 (7 is natural). Whole numbers include 0. Integers include negatives (-5). Rational numbers are fractions (3/4).
సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి మొదలవుతాయి (7). పూర్ణ సంఖ్యలలో 0 చేర్చబడుతుంది. పూర్ణాంకాలలో రుణ సంఖ్యలు ఉంటాయి (-5). అకరణీయ సంఖ్యలు భిన్నాలు (3/4).

12² = 12×12 = 144
12² = 144

3456 = 3000+400+50+6 = 3×1000 + 4×100 + 5×10 + 6×1
3456 విస్తృత రూపం = 3000+400+50+6

12=2²×3 → 12³=(2²)³×3³=2⁶×3³
Factors=(6+1)(3+1)=7×4=28
కారణాంకాల సంఖ్య = 7×4 = 28

[32/2]+[32/4]+[32/8]+[32/16]+[32/32] = 16+8+4+2+1 = 31
Highest power of 2 in 32! = 31

37 ÷ 2 = 18 remainder 1 → Odd number.
37 ÷ 2 = 18 శేషం 1 → బేసి సంఖ్య.

2 is the only even prime number. All other even numbers are divisible by 2, so they are composite.
2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య. మిగతా అన్ని సరి సంఖ్యలు 2తో భాగింపబడతాయి కాబట్టి అవి సమ్మిళిత సంఖ్యలు.

1 has only one factor (itself), so it is neither prime nor composite.
1కి ఒక్క కారణాంకం మాత్రమే ఉంటుంది కాబట్టి అది ప్రధాన కాదు, సమ్మిళిత కాదు.

n × (1/n) = 1. Every number multiplied by its reciprocal = 1.
ఒక సంఖ్య దాని విలోమతో గుణిస్తే 1 వస్తుంది.

HCF(8,9): factors of 8={1,2,4,8}, factors of 9={1,3,9}. Common=1. HCF=1 → Co-prime!
8 మరియు 9 కారణాంకాల ఉమ్మడి = 1 → సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు.

123: 1+2+3=6, 6÷3=2 ✓
123: 1+2+3=6, 6÷3=2 ✓ 3తో భాగింపబడుతుంది.

Div by 2: last digit even. Div by 3: digit sum div by 3. Div by 4: last 2 digits div by 4. Div by 9: digit sum div by 9.
2 చే భాగింపు: చివరి అంకె సరి. 3 చే భాగింపు: అంకెల మొత్తం 3 చే భాగం. 4 చే భాగింపు: చివరి 2 అంకెలు 4 చే భాగం. 9 చే భాగింపు: అంకెల మొత్తం 9 చే భాగం.

1 is neither prime nor composite. Primes must have exactly 2 factors.
1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సమ్మిళిత సంఖ్య కాదు.

Product = HCF×LCM = 4×60 = 240.
Other number = 240÷12 = 20.
రెండవ సంఖ్య = 240÷12 = 20

91 = 7×13 → Composite number.
91 = 7×13 → సమ్మిళిత సంఖ్య.

N = 2³×3². Number of factors = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12
కారణాంకాల సంఖ్య = (3+1)(2+1) = 12

Trailing zeros = [25/5]+[25/25] = 5+1 = 6
చివరలో సున్నాలు = [25/5]+[25/25] = 5+1 = 6

216 = 6×6×6 = 6³ → Perfect cube.
216 = 6³ → పరిపూర్ణ ఘనం.

A prime number has exactly 2 factors: 1 and itself.
ఒక ప్రధాన సంఖ్యకు సరిగ్గా 2 కారణాంకాలు ఉంటాయి: 1 మరియు స్వయంగా.

Prime numbers between 1 and 50:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
Total = 15
1 మరియు 50 మధ్య ప్రధాన సంఖ్యలు:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
మొత్తం = 15

Divisibility rule for 5: last digit must be 0 or 5.
5 భాగించే నియమం: చివరి అంకె 0 లేదా 5 ఉండాలి. 125 ÷ 5 ✓

0.333...=1/3 is recurring. 0.125=1/8 terminates. 0.142857...=1/7 is cyclic recurring. √2 is irrational (non-terminating, non-recurring).
0.333...=పునరావృత. 0.125=పరిమిత. 0.142857...=చక్రీయ పునరావృత. √2=అకరణీయ (అంతం లేదు, పునరావృతం కాదు).

√2 is irrational as it cannot be expressed as p/q.
√2 అభిన్న సంఖ్య ఎందుకంటే దీన్ని p/q రూపంలో రాయలేము.

Whole numbers: 0,1,2,3... Smallest is 0.
పూర్ణ సంఖ్యలు: 0,1,2,3... అతి చిన్నది 0.

Sum of squares of first n natural numbers = n(n+1)(2n+1)/6
For n=3: 3×4×7/6 = 84/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓
మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = n(n+1)(2n+1)/6
n=3: 3×4×7/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓

103 is prime and greater than 100, so 103 is NOT a factor of 100!.
Hence 100! mod 103 ≠ 0. By Wilson's theorem for prime p: (p-1)! ≡ -1 mod p.
For p=103: 102! ≡ -1 (mod 103). 100! = 102!/(102×101).
Shortcut: 100! mod 103 = 100! mod 103. Since gcd(103,100!)=1 → remainder ≠ 0.
This is a concept question: remainder is NOT zero.
శేషం 0 కాదు (103 ప్రధాన సంఖ్య, 100 కంటే పెద్దది).

Natural numbers start from 1. Zero is a whole number but NOT a natural number.
సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి ప్రారంభమవుతాయి. 0 పూర్ణ సంఖ్య కానీ సహజ సంఖ్య కాదు.

Factors of 12: 1,2,3,4,6,12. Factors of 18: 1,2,3,6,9,18.
HCF = 6
12 కారణాంకాలు: 1,2,3,4,6,12. HCF=6

Face value of a digit is the digit itself regardless of position.
ముఖ విలువ స్థానంతో సంబంధం లేకుండా అంకె అదే ఉంటుంది. 7 ముఖ విలువ = 7.

2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32
2⁵ = 32

1000 = 10³, has 3 zeros.
1000 లో 3 సున్నాలు ఉన్నాయి.

Primes < 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 Sum = 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77 మొత్తం = 77

Sum = n(n+1)/2 = 100×101/2 = 5050
మొత్తం = 100×101/2 = 5050

LCM(2,5)=10. 2-digit multiples of 10: 10,20,30,40,50,60,70,80,90 → 9 numbers
LCM=10. 2 అంకెల గుణకారాలు: 9

0 is a Whole Number. It is neither positive nor negative, neither prime nor composite.
0 పూర్ణ సంఖ్య. ధన కాదు, రుణ కాదు.

Sum of first n natural numbers = n(n+1)/2
= 10×11/2 = 55
మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)/2 = 10×11/2 = 55