NUMBER SYSTEM

Product of two numbers = HCF × LCM = 6×36 = 216
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM = 6×36 = 216

Prime numbers between 1 and 10 are: 2, 3, 5, 7 — Total = 4
1 మరియు 10 మధ్య ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7 — మొత్తం = 4

1000 = 10³, has 3 zeros.
1000 లో 3 సున్నాలు ఉన్నాయి.

Sum of squares = n(n+1)(2n+1)/6
n=3: 3×4×7/6=14=1²+2²+3² ✓
వర్గాల మొత్తం = n(n+1)(2n+1)/6

√50 ≈ 7.07 (not whole). So 50 is not a perfect square.
√50 ≈ 7.07 (పూర్ణ సంఖ్య కాదు). కాబట్టి 50 పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.

Sum = n(n+1)/2 = 100×101/2 = 5050
మొత్తం = 100×101/2 = 5050

Numbers in form p/q (q≠0) are Rational Numbers.
p/q రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలను భిన్న సంఖ్యలు అంటారు.

[32/2]+[32/4]+[32/8]+[32/16]+[32/32] = 16+8+4+2+1 = 31
Highest power of 2 in 32! = 31

120 = 2×2×2×3×5 = 2³×3×5. Largest prime factor = 5.
120 = 2³×3×5. అతి పెద్ద ప్రధాన కారణాంకం = 5.

2 is the only even prime number. All other even numbers are divisible by 2, so they are composite.
2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య. మిగతా అన్ని సరి సంఖ్యలు 2తో భాగింపబడతాయి కాబట్టి అవి సమ్మిళిత సంఖ్యలు.

Successor of 9999 = 9999+1 = 10000
9999 అనుగామి = 10000

1 is neither prime nor composite. Primes must have exactly 2 factors.
1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సమ్మిళిత సంఖ్య కాదు.

2 is the only even prime. All other even numbers are composite.
2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య.

37 ÷ 2 = 18 remainder 1 → Odd number.
37 ÷ 2 = 18 శేషం 1 → బేసి సంఖ్య.

3³ = 3×3×3 = 27
3³ = 3×3×3 = 27

1 has only one factor (itself), so it is neither prime nor composite.
1కి ఒక్క కారణాంకం మాత్రమే ఉంటుంది కాబట్టి అది ప్రధాన కాదు, సమ్మిళిత కాదు.

(−3)² = (−3)×(−3) = +9
(−3)² = (−3)×(−3) = +9 (రుణ × రుణ = ధన)

First multiple of 7 ≥100: 105. Last ≤200: 196.
Count = (196-105)/7 + 1 = 91/7 + 1 = 13+1=14
7 యొక్క గుణకారాలు: 105 నుండి 196 వరకు = 14

0.333...=1/3 is recurring. 0.125=1/8 terminates. 0.142857...=1/7 is cyclic recurring. √2 is irrational (non-terminating, non-recurring).
0.333...=పునరావృత. 0.125=పరిమిత. 0.142857...=చక్రీయ పునరావృత. √2=అకరణీయ (అంతం లేదు, పునరావృతం కాదు).

Product = HCF×LCM = 4×60 = 240.
Other number = 240÷12 = 20.
రెండవ సంఖ్య = 240÷12 = 20

12 is divisible by both 4 and 6, but 12÷24 is not whole.
So NO — divisible by 4 and 6 does NOT guarantee divisibility by 24. LCM(4,6)=12, not 24.
12 ను 4,6 రెండింటితో భాగించవచ్చు కానీ 24తో కాదు. కాబట్టి సమాధానం: కాదు.

Divisibility rule for 5: last digit must be 0 or 5.
5 భాగించే నియమం: చివరి అంకె 0 లేదా 5 ఉండాలి. 125 ÷ 5 ✓

By definition, 0! = 1. This is a mathematical convention.
0! = 1 (నిర్వచనం ప్రకారం).

Every number is perfectly divisible by all its factors by definition. This property defines a factor.
ప్రతి సంఖ్య దాని కారణాంకాలతో పూర్తిగా భాగింపబడుతుంది — ఇదే కారణాంకం యొక్క నిర్వచనం.

121: (1+1)-2=0 ✓ divisible by 11.
121: (1+1)-2=0 ✓ 11తో భాగింపబడుతుంది.

√144 = 12 because 12×12=144
√144 = 12 ఎందుకంటే 12×12=144

Twin primes: differ by 2 → (11,13). Perfect: 1+2+3=6. Armstrong: 1³+5³+3³=153. Palindrome: reads same both ways → 121.
జంట అభాజ్యాలు: తేడా 2 → (11,13). పరిపూర్ణ: 1+2+3=6. Armstrong: 1³+5³+3³=153. Palindrome: రెండు వైపులా ఒకే విధంగా → 121.

A number is divisible by 8 if its last 3 digits are divisible by 8.
ఒక సంఖ్య చివరి 3 అంకెలు 8తో భాగింపబడితే, ఆ సంఖ్య 8తో భాగింపబడుతుంది.

7¹=7, 7²=49(unit:9), 7³=343(unit:3), 7⁴=2401(unit:1)
7⁴=2401 → unit digit = 1

Sum of squares of first n natural numbers = n(n+1)(2n+1)/6
For n=3: 3×4×7/6 = 84/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓
మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = n(n+1)(2n+1)/6
n=3: 3×4×7/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓

0 is a Whole Number. It is neither positive nor negative, neither prime nor composite.
0 పూర్ణ సంఖ్య. ధన కాదు, రుణ కాదు.

360 = 2³×3²×5. Distinct prime factors: 2,3,5 → 3
360 = 2³×3²×5. ప్రత్యేక ప్రధాన కారణాంకాలు: 2,3,5 → 3

999+1=1000. Carry propagates: units→tens→hundreds→thousands.
999+1=1000. అంకెలు వరుసగా carry అవుతాయి.

36 = 6×6 → Perfect square.
36 = 6×6 → పరిపూర్ణ వర్గం.

123: 1+2+3=6, 6÷3=2 ✓
123: 1+2+3=6, 6÷3=2 ✓ 3తో భాగింపబడుతుంది.

12² = 12×12 = 144
12² = 144

3456 = 3000+400+50+6 = 3×1000 + 4×100 + 5×10 + 6×1
3456 విస్తృత రూపం = 3000+400+50+6

Divisibility rule for 11: Difference of alternating digit sums = 0 or 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ So 121 is divisible by 11.
11 భాగించే నియమం: మారు మారు(ALTERNATE NUMBERS) స్థానాల అంకెల మొత్తాల తేడా = 0 లేదా 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ కాబట్టి 121 ని 11తో భాగించవచ్చు.

Factors of 12: 1,2,3,4,6,12. Factors of 18: 1,2,3,6,9,18.
HCF = 6
12 కారణాంకాలు: 1,2,3,4,6,12. HCF=6

4 = 1×4 = 2×2 → has more than 2 factors → Composite.
4 = 1×4 = 2×2 → 2 కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు → సమ్మిళిత సంఖ్య.

Primes < 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 Sum = 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77 మొత్తం = 77

In 3578: 3=thousands, 5=hundreds, 7=tens, 8=units. Place value of 5 = 500.
3578లో 5 వందల స్థానంలో ఉంది → స్థాన విలువ = 500.

128 = 2⁷. So x=7.
128 = 2⁷. కాబట్టి x=7.

Sum = n(n+1)/2 = 10×11/2 = 55
మొత్తం = n(n+1)/2 = 55

126: even (div by 2) ✓. 1+2+6=9 (div by 3) ✓. So 126 divisible by 6.
126: సరి సంఖ్య ✓. అంకెల మొత్తం=9 ✓. 126 ని 6తో భాగించవచ్చు.

Primes 1-50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 → 15
ప్రధాన సంఖ్యలు = 15

91 = 7 × 13. So 91 is a Composite number, NOT a prime.
91 = 7 × 13. కాబట్టి 91 సమ్మిళిత సంఖ్య, ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

13²⁰⁰: cycle of 3 is 3,9,7,1(period 4). 200÷4=50→unit=1
7²⁰⁰: cycle 7,9,3,1(period 4). 200÷4=50→unit=1
Sum unit digit: 1+1=2

A repunit with 100 digits: since 100 is even, 11 divides it.
Repunit(n) is divisible by 11 if n is even.
100 అంకెల 1 → 100 సరి సంఖ్య → 11తో భాగింపబడుతుంది.

103 is prime and greater than 100, so 103 is NOT a factor of 100!.
Hence 100! mod 103 ≠ 0. By Wilson's theorem for prime p: (p-1)! ≡ -1 mod p.
For p=103: 102! ≡ -1 (mod 103). 100! = 102!/(102×101).
Shortcut: 100! mod 103 = 100! mod 103. Since gcd(103,100!)=1 → remainder ≠ 0.
This is a concept question: remainder is NOT zero.
శేషం 0 కాదు (103 ప్రధాన సంఖ్య, 100 కంటే పెద్దది).