NUMBER SYSTEM

Divisibility rule for 11: Difference of alternating digit sums = 0 or 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ So 121 is divisible by 11.
11 భాగించే నియమం: మారు మారు(ALTERNATE NUMBERS) స్థానాల అంకెల మొత్తాల తేడా = 0 లేదా 11.
121 → (1+1) - 2 = 0 ✓ కాబట్టి 121 ని 11తో భాగించవచ్చు.

Divisibility rule for 5: last digit must be 0 or 5.
5 భాగించే నియమం: చివరి అంకె 0 లేదా 5 ఉండాలి. 125 ÷ 5 ✓

97 is prime (not divisible by 2,3,5,7). 98=2×49, 99=9×11.
97 ప్రధాన సంఖ్య. రెండంకెల అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య.

36 = 6×6 → Perfect square.
36 = 6×6 → పరిపూర్ణ వర్గం.

Natural numbers start from 1. Zero is a whole number but NOT a natural number.
సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి ప్రారంభమవుతాయి. 0 పూర్ణ సంఖ్య కానీ సహజ సంఖ్య కాదు.

13²⁰⁰: cycle of 3 is 3,9,7,1(period 4). 200÷4=50→unit=1
7²⁰⁰: cycle 7,9,3,1(period 4). 200÷4=50→unit=1
Sum unit digit: 1+1=2

Product of two numbers = HCF × LCM = 6×36 = 216
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = HCF × LCM = 6×36 = 216

Prime numbers between 1 and 10 are: 2, 3, 5, 7 — Total = 4
1 మరియు 10 మధ్య ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7 — మొత్తం = 4

2¹÷3→r=2, 2²÷3→r=1, 2³÷3→r=2, 2⁴÷3→r=1 (cycle:2,1)
2¹⁰: power is even → remainder=1
2¹⁰ ÷ 3 → శేషం = 1

Sum of first n odd numbers = n²
Ex: n=4 → 1+3+5+7=16=4² ✓
మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²

Sum of squares of first n natural numbers = n(n+1)(2n+1)/6
For n=3: 3×4×7/6 = 84/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓
మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = n(n+1)(2n+1)/6
n=3: 3×4×7/6 = 14 = 1²+2²+3² ✓

Whole numbers: 0,1,2,3... Smallest is 0.
పూర్ణ సంఖ్యలు: 0,1,2,3... అతి చిన్నది 0.

Predecessor of a number = number - 1. Predecessor of 100 = 99.
పూర్వగామి = సంఖ్య - 1. 100 పూర్వగామి = 99.

Unit digits of 7: 7¹=7, 7²=9, 7³=3, 7⁴=1 (cycle=4)
50÷4=12 remainder 2 → unit digit=9
50÷4=12 శేషం 2 → unit digit=9

Primes between 1-10: 2,3,5,7 → Total=4
ప్రధాన సంఖ్యలు: 2,3,5,7 → మొత్తం=4

3³ = 3×3×3 = 27
3³ = 3×3×3 = 27

3456 = 3000+400+50+6 = 3×1000 + 4×100 + 5×10 + 6×1
3456 విస్తృత రూపం = 3000+400+50+6

Primes 1-50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 → 15
ప్రధాన సంఖ్యలు = 15

LCM(2,3,4,5)=60. Required number = 60+1=61
LCM(2,3,4,5)=60. కావలసిన సంఖ్య = 60+1=61

2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32
2⁵ = 32

120 = 2×2×2×3×5 = 2³×3×5. Largest prime factor = 5.
120 = 2³×3×5. అతి పెద్ద ప్రధాన కారణాంకం = 5.

N = 2³×3². Number of factors = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12
కారణాంకాల సంఖ్య = (3+1)(2+1) = 12

12=2²×3 → 12³=(2²)³×3³=2⁶×3³
Factors=(6+1)(3+1)=7×4=28
కారణాంకాల సంఖ్య = 7×4 = 28

Unit digits of powers of 3 cycle: 3,9,7,1 (period 4).
100÷4=25 remainder 0 → unit digit = 1
3 యొక్క శక్తుల యూనిట్ అంకెలు చక్రం: 3,9,7,1. 100÷4=25 → unit digit=1

37 ÷ 2 = 18 remainder 1 → Odd number.
37 ÷ 2 = 18 శేషం 1 → బేసి సంఖ్య.

91 = 7 × 13. So 91 is a Composite number, NOT a prime.
91 = 7 × 13. కాబట్టి 91 సమ్మిళిత సంఖ్య, ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

Successor of 9999 = 9999+1 = 10000
9999 అనుగామి = 10000

Natural numbers are positive integers starting from 1.
సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి మొదలయ్యే ధన పూర్ణాంకాలు.

√50 ≈ 7.07 (not whole). So 50 is not a perfect square.
√50 ≈ 7.07 (పూర్ణ సంఖ్య కాదు). కాబట్టి 50 పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.

12² = 12×12 = 144
12² = 144

0 is a Whole Number. It is neither positive nor negative, neither prime nor composite.
0 పూర్ణ సంఖ్య. ధన కాదు, రుణ కాదు.

A number is divisible by 4 if its last 2 digits are divisible by 4.
ఒక సంఖ్య చివరి 2 అంకెలు 4తో భాగింపబడితే, ఆ సంఖ్య 4తో భాగింపబడుతుంది.

LCM(2,5)=10. 2-digit multiples of 10: 10,20,30,40,50,60,70,80,90 → 9 numbers
LCM=10. 2 అంకెల గుణకారాలు: 9

Multiples of 4: 4,8,12,16... Multiples of 6: 6,12,18...
LCM = 12
4 గుణకారాలు: 4,8,12... 6 గుణకారాలు: 6,12... LCM=12

In 3578: 3=thousands, 5=hundreds, 7=tens, 8=units. Place value of 5 = 500.
3578లో 5 వందల స్థానంలో ఉంది → స్థాన విలువ = 500.

24: 1,2,3,4,6,8,12,24. 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. GCD=12
GCD = 12

Every number is perfectly divisible by all its factors by definition. This property defines a factor.
ప్రతి సంఖ్య దాని కారణాంకాలతో పూర్తిగా భాగింపబడుతుంది — ఇదే కారణాంకం యొక్క నిర్వచనం.

By definition, 0! = 1. This is a mathematical convention.
0! = 1 (నిర్వచనం ప్రకారం).

999+1=1000. Carry propagates: units→tens→hundreds→thousands.
999+1=1000. అంకెలు వరుసగా carry అవుతాయి.

Integers include: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3...
పూర్ణాంకాలు: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3...

√144 = 12 because 12×12=144
√144 = 12 ఎందుకంటే 12×12=144

Natural numbers start from 1. Zero is a whole number but NOT a natural number.
సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి మొదలవుతాయి. 0 పూర్ణ సంఖ్య కానీ సహజ సంఖ్య కాదు.

103 is prime and greater than 100, so 103 is NOT a factor of 100!.
Hence 100! mod 103 ≠ 0. By Wilson's theorem for prime p: (p-1)! ≡ -1 mod p.
For p=103: 102! ≡ -1 (mod 103). 100! = 102!/(102×101).
Shortcut: 100! mod 103 = 100! mod 103. Since gcd(103,100!)=1 → remainder ≠ 0.
This is a concept question: remainder is NOT zero.
శేషం 0 కాదు (103 ప్రధాన సంఖ్య, 100 కంటే పెద్దది).

12 = 2²×3. Factors of 12: 1,2,3,4,6,12.
If divisible by 12, must be divisible by all factors: 1,2,3,4,6,12.
12 కారణాంకాలు: 1,2,3,4,6,12. 12తో భాగింపబడే సంఖ్య వాటన్నింటితో భాగింపబడుతుంది.

Numbers in form p/q (q≠0) are Rational Numbers.
p/q రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలను భిన్న సంఖ్యలు అంటారు.

101: not div by 2,3,5,7 (√101≈10). So 101 is prime.
101: 2,3,5,7 తో భాగింపబడదు (√101≈10). కాబట్టి 101 ప్రధాన సంఖ్య.

Product of 3 consecutive integers is always divisible by 3! = 6.
Ex: 2×3×4=24(÷6=4✓), 3×4×5=60(÷6=10✓)
మూడు వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ 6తో భాగింపబడుతుంది.

A repunit with 100 digits: since 100 is even, 11 divides it.
Repunit(n) is divisible by 11 if n is even.
100 అంకెల 1 → 100 సరి సంఖ్య → 11తో భాగింపబడుతుంది.

For co-prime numbers, HCF=1, so LCM = product of the two numbers.
సహ-ప్రధాన సంఖ్యలకు HCF=1, కాబట్టి LCM = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం.

Primes < 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 Sum = 2+3+5+7+11+13+17+19 = 77 మొత్తం = 77